В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 60
Текст из файла (страница 60)
2) Двумерное представление группы О. Выберем в Е' какой-либо базис е„ и, и рассмотрим в этом базисе матрицы А<'> и В<'> линейных невырожденных преобразований А<'> и В<3>: А<'> =, В<3> = (так как бе1 Аи> = 1 и де1 В<'> — 1, то Ам> и Всв — невы- рожденные преобразования) Преобразования А<'> и В<'> образуют подгруппу в группе ОЕ (2). Непосредственной проверкой (путем перемножения матриц А<3> н В<3>) убеждаемся, что умножение операторов А<" н В<3> задается таблицей (9.35) Мы получим двумерное представление Р<3> (б) группы б с помощью соотношений Рсп (3) А<3>, Р<'> (Р> = В<3>. (9.36) Действительно, сравнивая таблицы (9.34) и (9.35), мы видим, что (9.36) определяет иэоморфиэм группы О на подгруппу «А<3>, В<3>) группы ОЕ (2), а следовательно, и представление этой группы.
3) Трехмерное представление группы 6. Рассмотрим в Е' линейное преобразование А<'>, задаваемое матрицей Г1 О 03 ,4<3> =10 > 0 0 0 1 Это преобразование образует подгруппу в группе ОЕ (3) с законом умножения А'3>А<3' = А<3>, Как и в случае одномерного представления, мы получаем трехмерное представление Р">О с помощью соотношений: Р<3> (У) — 4<3>,,Р<3> (Р) —,4<3>. 4) Четырехмерное представление группы б. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП преобразования А1'> и В14>, зад Рассмотрим в Ех линейные ваемые матрицами 1 010 0 о >~оо А(4>— оо!! о о о>о ! о !>Оо 1 О!О 0 В(4> 0 0)0 1 0 О!1 О Преобразования А>м и В14> образуют подгруппу в группе ОЕ (4) с законом умножения, аадаваемым таблицей, аналогичной таблице (9.35) (с заменой индекса 2 на индекс 4).
Очевидно, мы получаем четырехмерное представление Е>14> (6) группы б с помощью со- отношений Рн> (У) — А1» Г>(4> (Р) Вн>. 3 а м е ч а и и е. Нетрудно видеть, что матрицы А1'> и Вн> можно записать в виде А"' ( „,), В"' ( Поэтому представление Е>14> (О) можно условно записать в виде Р14> (6) Ра> (6) + 01'> (6) = 2Ю1'> (6). Совершенно аналогично можно условно записать 014> (6) в виде 014> (6) = 30п> (6). Используя это замечание, читатель без труда построит представление группы б любой конечной размерности, П р и м е р 2. В и.
5 $2 этой главы мы доказали, что только что рассмотренная группа симметрии 6 >4, Р) трехмерного про. странстза представляет собой нормальный делитель группы 0 (3) (группа ортогональных преобразований пространства Е'). В том же пункте мы доказали„что подгруппа ВО (3) собственных ортого. нальных преобразований группы 0 (3) изоморфна фактор-группе группы О (3) по нормальному делителю (4, Р). Тзк как группа гомоморфно отображается на каждую свою фактор-группу, то 0 (3) гомоморфно отображается на группу БО (3) Кзк мы видели в п. 5 $ 3 этой главы, указанный гомоморфизм осуществляется следующим образом.
Если а — собственное преобразование из 0(3), то ему из ЕО (3) ставится в соответствие это же самое преобразование. Если а' — несобственное преобразование, то ему ставится в соответствие собственное преобразование Ра'. Таким образом, мы получаем трехмерное представление РО (3) группы ортогоиальных преобразований посредством гРуппы 30 (3) собственных ортогональных преобразований. АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоморфизм трупп 265 Аягебраическое дополнение 29 Альтернироваиие тензора 243 Ассоциативный закон композиции 260 Аффинная система координат 250 Аффниисе пространство 41 Базис 48 — взаимный 229 — представления 282 Базисные столбцы 39 — строки 39 Базисный минор 39 Бесконечномер нос линейное ство Беспорядок Билинейная форма 152, 186 — — выршкдениая 191 — — кососиммезричная 153, 188 — — невырожденяая 191 — — симметричная 153, 188 Блок матрицы 15 Блочная матрица 15 Буюлсовското — Коши неравенство 85, 98 прострел.
50 23 Галилеевы системы 254 Гамильтона — Кэлн теорема 138 Гиббса формулы 232 Гиперболоид 224 Гинерповерхность второго порядка 211 — — — центральная 221 Главная диагональ 1! Гомоморфизм трупп 267 Грама определюпель 228 Группа 261 — абелева 261 — коммуштивиая 261 Вандермонда определитель 33 Ве ор 44 Верхней релаксации метод 174 Вещественное евкллдово лрссгрытство 82 Временилодобный вектор 254 Группа линейных преобразований 273 — Лоренца 278, 279 — ортсгоиальнмх преобразований 275 — перестановок 262 — симметричесяая 263 — собственных ортогональных пресбразовшп1й 276 Грушты унитарные 281 — циклические 277 Диагональ матрицы главная 11 — — побочная 11 Диагональная матрица 14 Дополнительный минор 25 Евклидаво пространство вещественное 82 — — комплексное 96 Единица труппы 261 Единичная матрица 14 Единичный оператор 108 Жорданова клеп:а 148 — форма матрицы 148 Закон инерции квадратичной формы 199 — композиции 260 Зейделя метод 174 Изоморфизм групп 264 — евклидовых пространств 94 — линейных пространств 52 Инвариант 235 — уравнения типерповерхности 218 Инвариантное подпростраиство оператора 120 Индекс инерции 200 — — отрицательный 200 — — положительный 200 Инерции закон 199 Канонические козффициенпя 192 Канонический базис 195 — вид квадратичной формы 192, 193 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Каноническое уравнение нецснтральной гинерноверхности второго порядка 226 — — центральной гинерноверхности второго порядка 223 Канелли — Кронекера теорема 68 Квадратичная форма 141, 190 — — вырожденная 191 — — знакоопределениая 191 — — знаконеремениая 191 — — квазизнакоопределениая 191 — — невырождениая 191 — — отрицательно определенная 191 — — положительно определенная 191 Квадратная матрица 10 — система 65, 69 Коммутативный закон композиции 260 Коммутирующие матрицы 13 — операторы 128 Комплексное еаклидово пространство 88 Композиция 260 Координаты ковариангные 231 — контр а вариантные 231 Корень из оператора 139 Кососимметричная билинейная форма 153, 188 Коши в Буняковскогонеравенство 85, 98 Коэффициенты линейной системы 65 Крамера формулы 70 Крнгернй Сильвестра 202 Критическая точка 208 Критическое значение 208 Кронекер 68,229 Кронексра символ 229 Кронекера — Канелли теорема 68 Кубическая норма 173 Кали — Гамильтона теорема 138 Лыранжа метод 193 Латлас 24 Лапласа теорема 25 Линейная зависимость строк 37 — — элементов линейного простран- ства 46 — комбинация строк 28 — — элементов линейного простран- ства 46 — независимость строк 38 — — элементов линейного простран- ства 46 — оболочка 54 — система 64 — форма 107 Линейное представление группы 282 — преобразование 107 — пространство бесконечномерное 50 291 Линейное пространство вещественное 41, 44 — — комплексное 44 Линейные пространства изоморфные 52 Линейный оператор 105, 152 — функционал 107 Лоренца группа 278, 279 — преобразования 256, 278 — формулы 258 Матрица 10 — билинейной формы 187, 188 — блочная 15 — диагональная 14 — единичная 14 — квадратичной формы 191 — квадратная 10 — линейного оператора 115 — невырождениая 37 — нулевая 14 — обратная 36, 37 — ортогональная 158 — — несобственная 159 — — собственная 159 — нолуторалинейной формы 126 — транснонированная 27 — унитарная 158 Матрицы коммутирующие 13 — порядок 10 Метод верхней релаксации 174 — Зезщеля 174 — Лагранжа 193 — регуляризации Тихонова 100 — Якоби 161, 195 Метрический тензор евюшдова пространства 244 — — нсевдоевклидова пространства 253 Минимаксное свойство собстаенных значений 135 Минковского неравенство 86 — пространство 255 Минор 18, 25 — базисный 39 — второго типа 25 — дополнительный 25 — первого типа 25 Многочлси характеристический 119, 154 Невырождениая матрица 37 Ненгральный закон композиции 260 Неоднородная система 65 Неопределенная система 65 Неравенство Коши — Буняковского 85, 98 — Минковского 86 ДЛЕДВИтНЫН УКДзйтВЛЬ 202 Неравенство треугольника 86, 99 Несобственное подпространство 53 Несовместная система 65 Нетривиально совместная система 67 Норма 86 — кубическая 173 — линейного оператора 130 — матрицы операторная 162, 173 — октаэдрическая 173 — сферическая 101, 173 — энермти+еская 169 Нормальная фундаментальная сово- купность решений 77 Нормальное решение 102 Нормальный делитель группы 267 — оператор 144 Нормированное пространство 86, 99 Нормы эквивалентные 169 Нулевая матрица 14 Нулевой оператор 108 Образ оператора 111 Обратная матрица 36, 37 Обратный оператор 1 09 Однородная система 65, 67, 75 Октазлрическая норма 173 Оператор линейный 105, 152 — нормавьный 144 — нулевой 108 — обратный 109 — ортогональный! 57 — положительно определенный 139 — положительный 138 — противоположный 108 — самосопряжениый! 28 — сопряженный 126 — тождественный 108 — ушпарный 143 Операторная норма матрицы 162, 173 Операторы коммутирующие 128 Определенная система 65 Определитель 17 — Вандермоида 33 — Грэма 228 — линейного оператора! 19 — произведения матриц 34, 35 — треугольный 32 Олрелелителя свойспю внтисщвмегрии — — линейное 28 — — равноправности строк и столб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
