В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

е то множество элементов 6, которое при гомоморфизме ( отображается в единицу группы ОЬ (я). 2. Матрицы линейных представлений, Эквивалентные представления. Рассмотрим представление Рво (6) группы 6. В этом представлении каждому элементу у из 6 отвечает линейное преобразование Рпи (у).

Матрицу этого линейного преобразования в базисе представления 0нп (6) мы будем обозначать Р'"'~ ~(у) илн О),"1 (у). В зависимости от выбора базиса в пространстве представлений будет меняться и матрица 0)у' (у), отвечающая элементу у. Естественно поэтому возникает вопрос об э к в и в а л е н т н ы х п р е д с т а в л е н н я х группы в одном и том же пространстве. Сформулируем определение эквивалентности предстанлений: Определение.

Представления Ош ~ (6) и Ош > (6) еруппы О в одном и том же пространстве Е" называются э к в и в а л е н ти ы м и, если сушествует такое невырожденное линейное преобразование С пространства Е", что для каждого элемента у Е О справедливо соотношение 0<~ > (у) = С гРш ) (у) С. Понятие эквивалентности играет важную роль в теории пред. ставлений, главным образом в перечислении и классификации представлений.

Выбор базиса в пространстве представлений важен еще и потому, что в каком-либо базисе матрицы, отвечающие элементам группы, могут иметь стандартный, достаточно простой вид, который позволяет сделать важные заключения об исследуемом представлении. В следующем пункте мы дадим некоторую классификацию предстзвлений, опираясь иа специальный вид матриц. элвмвнты таозии ггупп 3.

Прнводямые и непряводимые представленяя. В этом пункте мы обсудим вопрос о том, при каких условиях данное представ. ление Р (б), заданное в пространстве Е", индуцирует в год. пространстве Е' этого пространства представление П (б) Этот вопрос тесно связан с вопросом об описании данного представления с помощью более простых представлений, которые имеют меньшую размерность, чем заданное. С решением поставленного вопроса тесно связано понятие инвариантного подпространства линейного преобразования (линейного оператора). Напомним, что подпространство Е' называется инвариантиым подпространством линейного оператора А, если для каждого элемента х из Е' элемент Ах принадлежит Е' (см $ 3 гл.

5). Иными словами, подпространство Е' инвариантно, если действие оператора А на элементы зтого подпространства не выводит их нз этого подпространства. Отметим, что само пространство Е" и нулевой элемент пространства являются инвариантными подпространствами любого линейного оператора. Можно ввести понятие инвариантного подпространства для представления е) (б). Именно, лодоространство Е' называется инва р и анти им для аредсоимления 0 (б), если оно инвариантно для всякого оператора из с) (б). Очевидно, что на инвариантном под~ространстве представления О (б) индуцируется некоторое представление В (б).

Следует отметить, что иредставлеине б (б) не сводится к представлению О (б), если инвариантное подпространство Е' не совпадает с Е". Поясним теперь понятие п р и вод и мого представления. Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления В (б) имеют вид ви в1в(ом ( )~ (9.30) О [Ав О 0 савв г'ам аЫ где А„А„А, и б соответственно обозначают матрицы ~ 1ж ° 1 () вм '1 ~, (а„), (О, О). Легко проверить, что произведение матриц вм вида (9.30) подчиняется закону т.

е. произведение матриц вида (9.30) есть матрица вида (9.30). Более того, прн умножении матриц этого вида изолированно перемножаются матрицы А( н А~ и матрицы Аз и Аз. пэвдстхвлвния гэкпп Рвп вм1 Таким образом,мы видим, что матрица А, = 1 ) образу. ~в„в„/ ет двумерное представление рассматриваемой группы, а матрица А, = (а„) образует одномерное представление этой же группы.

В таких случаях говорят, что представление Р (6) п р и в о. д н м о. Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах порядка и) операторов представления имеют вид (9.31) где А, н А, — квадратные матрицы, вообще говоря, разных порядков, то ясно, что матрицы А, и А, образуют представления, сумма размерностей которых равна и. В этом случае представление называется в п о л н е п р ив о д н м ы и. Отметим, что операторы, матрицы которых имеют вид (9.31), фактически редуцируются к двум операторам, действующим независимо в двух ннэариантных подпространствах, Заметим также, что представление, индуцнруемое яа ннварнантном подпространстве данным представлением Р (6), называется ч а с т ь ю представления Р (6).

В заключение этого пункта сформулируем понятие н е п р ив о д и м о г о представления. Представление Р (6) группы 6 называется н ел р ив о дим ы м, если у этого представления существуют лишь два инвариантных надпространства: Е" и О. В противном случае представление называется п р н в о. д н и ы м. Роль непрнводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводнмые. 4. Характеры.

В теории представлений групп н в особенности в теории представлений конечных групп полезную роль играют инварианты линейных преобразований, образующих представление. Важность ннварнантов ясна еще н потому, что они не зависят от выбора базиса представления н поэтому в определенном смысле характеризуют представление. Пусть Р (6) — л-мерное представление группы б н Р~г (у)— матрица оператора, отвечающего элементу у из 6. Ха рант е ром элемента у Е б в предснигвлении Р (6) называется число Х М)-Р'(у) =Р'(у)+Р'(у)+" +Р" (у) Таким образом, характер элемента у есть след матрицы омратора Р (д).

Так как след матрицы линейного оператора представляет собой инвариант (см. п. 3 5 2 гл. 5), то характер любого элемента аве элементы теоРии ГРупп не зависит от базиса представления и поэтому является инвар понтом. Итак, каждому элементу й Е б представления 0 (б) отвечает число — характер этого элемента. Поскольку у различных элементов могут быть одинаковые характеры, то следует выяснить вопрос о том, каким элементам группы отвечают одинаковые характеры. Для решения этого вопроса введем понятие сопряженных элементов н классов сопряженных элементов в данной группе б.

Элемент Ь С б называется сон ряжен н ым элементу а Е б, если существует такой элемент и Еб, что иай' Ь. (9.32) Отметим следующие свойства сопряженных элементов: 1) Каждый элемент а сопряжен самому себе. Действительно, если е — единица группы, то, очевидно, справедливо соотношение еае ' а, которое н означает, что а — элемент, сопряженный а. 2) Если элемент Ь сопряжен элементу а, то элемент а сопряжен элементу Ь. Это свойство сразу же вытекает из (9.32). Действительно, умножая обе части (9.32) слева на и ' и справа на и, получим и 'Ьи а. Замечая, что обратным элементом для элемента и ' является элемент и, мы убедимся в справедливости сформулированного свойства.

3) Если Ь вЂ” сопряженный элемент для а и с — сонрюсенный элемент для Ь, то с — соиряженный элемент для а Действительно, так как с о(нг' и Ь = иай', то, очевидно, с оиаи Ъ '. (9.33) Так как обратным элементом для элемента ои является элемент и зо ', то иэ (9.33) следует, что элемент с сопряжен элементу а. Объединим в один класс все те элементы группы, которые сопряжены данному элементу а. Таким образом, согласно свойству 3), каждый элемент класса сопряжен любому элементу этого класса, Очевидно, два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Вернемся теперь к представлениям групп. Пусть а и Ь вЂ сопряженн элементы, т. е. справедливо соотношение (9.32): Ь =иаи'. (9.32) Обратимся к операторам 0 (а), 0 (Ь), 0 (и) и 0 (и '). Согласно определению представления группы ойератор .0 (й') является обратным для оператора 0 (и), т. е, 0 (и ') (О (и)) '. Обращаясь опять к определению представления, получим, согласно (9,32), соотношение 0 (Ь) = 0 (и) 0 (а) (О (и)) ' Перейдем теперь к матрицам операторов, фигурирующих в последнем соотношении.

Мы видим, что матрицу оператора 0 (Ь) пРздстлалвния ГРупп можно рассматривать как матрицу оператора Р (а) при переходе к новому базису с матрицей перехода Р (и) (см. и. 2 й 2 гл. б). Поскольку при таких преобразованиях след матрицы инвариаи ген и по определению равен характеру элемента, мы можем за ключить, что х (а) = Х (Ь). Итак„характеры всех элементов, принадлежащих одному классу сопряженных элементов, равны друг другу. Очевидно также, что характеры элементов для эквивалентных представлений совладают.

Понятие характера в теории представлений используется обычно следующим образом. Пусть данная группа 6 может быть разбита на конечное число различных классов сопряженных элементов К„К„..., К,. Тогда каждому элементу класса К, в данном представлении Р (6) (и в любом эквивалентном ему представлении) отвечает один и тот же характер т1. Поэтому представление Р (6) можно описать с помощью набора характеров у„х„..., т„который можно рассматривать как координаты вектора в евклндовом пространстве размерности у. Таким образом, различным представлениям будут отвечать различные векторы. Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представлений групп, 5. Примеры представлений групп. П р н м е р 1. Пусть 6 — группа симметрии трехмерного пространства, состоящая из двух элементов: тождественного преобразования е (единица груопы) и отражения Р относительно начала координат.

Таким образом, 6 = (е, Р). Умножение элементов группы задается следующей таблицей: (9.34) 1) Одномерное представление группы 6. Выберем в пространстве Е' базис е1 и рассмотрим матрицу Ап1 линейного невырожденного преобразования Ап> в этом пространстве: Ап1 *= (1). Очевидно, преобразование А<п образует подгруппу в группе 6Е (1) линейных преобразований пространства Е', причем умножение в этой подгруппе задается таблицей 11) л л11 1 л(11 Очевидно, мы получим одномерное представление Р<11 (6) группы 6 <ГЛ. 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП с помощью соотношений Р">(3) = А<'>, Р<'>(Р) А<'> (эти соотношения задают гомоморфизм группй С в ОЕ (1), а следовательно, и ее представление).

Характеристики

Список файлов книги