В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

В п. 1 $ 4 гл. 8 (формула (8.69)) было введено понятие длины а (х) вектора х, которая вычисляется по формуле а (х) = (зйп Ф (х)) ~Гз'. (х) (. С помощью втой формулы все ненулевые векторы псевдоевклидова пространства разделяются на в р ем е н и п одаб н ы е (о (х) ) 0)„п р о с т р а н с т в е н н о и о д о б н ы е (а (х) < О) и и з о т р о п н ы е (а (х) = О). Было доказано, что множество концов временнподобных (пространственноподобных, нзотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой, образует конус Т (конус простраиственноподобных векторов обозначается буквой 5).

Конус Т по соглашению ') разделяется на две связные компоненты Т' н Т (конус будущего и конус прошлого) так, что каждая из этих компонент вместе с вектором х содержит любой вектор Хх, где Х ) О. Описанное разделение векторов в псевдоевклндовом пространстве дает возможность выделить из группы Лоренца Ь (л) некоторые подгруппы. Именно, подгруппа группы Е (п), преобразования которой переводят любой времениподобный вектор снова во времениподобныйвектор,называется полной группой Лоренца. Для нее используется обозначение ЬА (и).

«) В п. 2 $ В гв. 8 впя пространства Минковского дзи з~ указано, кзк разделяется конус Т яа связные компоненты Т+ я Т и лается физическая интерпретация этих коипонеит. элямвнты таории грипп Выделяется еще одна подгруппа группы Е (п). В эту подгруппу входят преобразования, определитель матрицы которых положителен.

Эта подгруппа обозначается Ь+ (и) и называется собственной группой Лоренца. Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат подгруппе Ьг (и), также образуют подгруппу. Ее часто называют группой Лоренца и обозначают символом Ет (и). В заключение этого пункта мы отметим, что группы Лоренца, в отличие от ортогональных груни, некомпактны е). Для примера докажем некомпактность группы Е ф (2). В п. 3 5 4 гл.

8 мы полностью описали эту группу. Напомним, что если в Етп. и введена система координат (х, у) так, что квадрат интервала задается формулой зз = хз — у*, (9.25) то преобразования Лоренца из группы Е т (2) пространства Етп, и задаются формулами х — ру (9.26) — У1 — р* Рассмотрим в плоскости (х, у) вектор х с координатами (О, 1). По формуле (9.26) этот вектор перейдет в вектор хв с координатами (9.27) Обратимся теперь к последовательности преобразований Лоренца (9.26), определяемой значениями р„из соотношения 1 — р„= —, л=1,2, ...

з ! (9.28) а ы ' Согласно (9.27) и (9.28) вектор х перейдет при действии указанной последовательности преобразований Лоренца в следующую последовательность векторов (х„) с координатами ( — у'н — 1, У н). (9.29) ') В п. 3 этого параграфа было введено понятие сходимости элемеытов в группу Оь (л) в и-мерном евклидовом пространстве и связанное с понятием сходммостн понятие компактной группы.

Эти понятия легко переносятся нз случай группы в произвольном конечно. мерном линейном пространстве У. Сначала вводятся понятие сходимостн точек в У (например, можно выбрать в У систему координат и рассматривать сходиМосгь последоватехьыости векторов (хм) как сходимость последовательностей координат этих зектОроз. После этого в полной аналогии с определением схо. димости в случае группы ОЬ (л) в евклндовом пространстве вводытся понятие сходимостн в группе, заданной в линейном пространстве, и определяется поня. тие компактной группы в тахом пространстве.

281 пэвдставлвния ггкпп Таким образом, из бесконечной последовательности преобразований Лоренца в группе Ь т (2), определенной соотношениями (9.26), для значений й из равенств (9.28) нельзя выделить сходящуюся последовательность (напомним, что последовательность элементов А„ группы называется сходящейся к элементу А, если для любого е последовательность (А„х) сходится к Ах), ибо последовательность (9.29) неограниченная.

Геометрическая иллюстрация некомпактности группы Ь ~ (2) заключается в следующем. Согласно (9.25) окружность радиуса единица в псевдоевклидовой плоскости будет гиперболой х' — у' = 1, являющейся не- компактным множеством. При действии рассмотренной выше последовательности преобразований из группы Е т (2) заданная точка на этой окружности преобразуется в бесконечно большую последовательность точек на указанной выше гиперболе, а нз бесконечно большой последовательности точек нельзя выделить сходящуюся последовательность.

7. Унитарные группы. В этом пункте мы обратимся к комплексному линейному пространству. В полной аналогии с п. 2 этого параграфа можно рассматривать группы линейных преобразований такого пространства. Так как комплексное число определяется двумя вещественными числами (действительной и мнимой частью), то полная линейная группа ОЬ (и) преобразований и-мерного комплексного линейного пространства нзоморфна полной линейной группе преобразований вещественного 2п-мерного пространства 6Ь (2п) (вместо этого символа часто пишут ОЕ, (2л, )г), подчеркивая тем самым, что речь идет о группе преобразований вещественного пространства).

В полной линейной группе преобразований комплексного евклидова пространства по аналогии с вещественным евклидовым пространством рассматриваются так называемые унитарные группы У (п), являющиеся аналогом ортогональных групп (напомним, что в 5 7 гл. 5 унитарные преобразования (унитарные операторы) определялись как линейные преобразования, сохраняющие скалярное произведение; таким же образом в вещественном случае определялись и ортогональные преобразования). Как и в вещественном случае, в группе 0 (и) унитарных преобразований выделяется подгруппа 50 (и), для которой определители унитарных преобразований равны единице.

й 3. Представления групп В предыдущем параграфе мы рассматривали группы линейных преобразованиИ линейного пространства, Таким образом, линей иые преобразования исследовались с точки зрения их групповых ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП еае свойств. При этом не игнорируются геометрические и другие свойства линейных преобразований. В этом параграфе нас будет интересовать в определенном смысле обратный вопрос — в какой мере свойства абстрактно заданной группы могут быть охарактеризованы посредством групп линейных преобразований. Один из способов решения этого вопроса заключается в гомоморфном (н, в частности, изоморфном) отображении абстрактной группы на подгруппу (или на всю группу) линейных преобразований. Таким образом, возникает понятие и р е д с т а в л е н и я данной группы с помощью подгруппы группы линейных преобразований *). Изучение различных представлений данной группы позволяет выявить важные свойства группы, нужные для различных приложений.

Во многих разделах физики (кристаллография, теория относительности, квантовая механика и т. д.) требуется построение представлений различных групп (конечных и дискретных подгрупп группы И, (3), групп О (3), Е (3), 0 (3), 50 (3) и т. д.). Эти построения выходят далеко за рамки начальных понятий теории групп и не могут рассматриваться в данном руководстве.

Яы ограничимся некоторыми понятиями, используемымн в теории представлений и примерами. 1. Линейные представления групп. Терминология. Определение. Л и н е й н ы м и р е д с т а в л е н и е м группы О в коначномерном евклидовом пространстве Ее называется такое отображение у, посредством которого каждому элементу а втой группы ставится в соответствие линейное преобразовомие Т, пространства Е" так, что для любых а, и а, из О выполняетсяле соотношение Ты,~л Т«,Т«,. Таким образом, линейное представление группы б в конечно» мерном евклидовом пространстве Е" есть гомоморфизм втой группы на некоторое подмножество линейных преобразований этого пространства.

Используется следующая терминология: пространство Е" называется пространством представления, размерность и этого пространства называется р а з м е р н о с т ь ю п р е д с т а в л е н и я, базис в пространстве Е" называется базисом представления, Заметим, что гомоморфный образ у (б) группы О также называется представлением этой группы в пространстве представлений. В дальнейшем для краткости и-мерные линейные представления группы мы будем называть просто представлениями этой группы. «) Конечно, можно рассматривать и белее пбщка вопрос и прелстааленан данков группы путем птображеима ее на какую-либо группу преобрааоиавня.

аз) пгздстявлания гэгпп Для обозначения представления группы 6 используется сим. вол 0 (6); различные представления данной группы отмечаются индексом (иапример, Роц (6)). Символом Рпп (у) будем обозна. цать линейное преобразование (линейный оператор), отвечающее элементу у Е 6 в представлении Роп (6). Тривиальным представлением группы 6 называется гомоморфное отображение 6 в единичный элемент группы ОЬ (н).

Если отображение г" группы 6 на подгруппу ОЬ (н) является изоморфизмом, то представление называется т о ч н ы м. Очевидно„не у всякой группы есть точное и-мерное представление для заданного н, Например, у группы О (10), конечно, ие может быть точного одномерного представления (это следует, в частности, нз того, что группа О (Ц абелева, а группа О (Ю) не абелева). Отметим, что при гомоморфном отображении г группы 6 в ОЬ (и) получающееся представление группы изоморфио фактор- группе Ойегп у, где кегп г — так называемое ядро гомоморфизма (, т.

Характеристики

Список файлов книги