В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Решением будет авемент х и 'а'. ГРУППЫ ПРРОБРАЗОВАНИй 271 Обращаясь далее к уравнению ха = а' и проводя аналогичные рассуждения, мы убедимся, что х Е Н. Но тогда а' = ха, т. е. а' б На. Таким образом, А = аН = На. Теорема доказана. Теорема У.у(теорема о гомоморфпзмах групп). Пусть 7" — гомоморфизм группы 6 на 6 и Н вЂ” тоги нормальный делитель группы 6, элементам которого соответствуют при гомоморфизме 7" единица группы б «). Тогда группа б и фактор-группа б/И ивом орфны.
До к а з а тел ь с т во. Установим взаимно однозначное соответствие между элементами группы 6 и смежными классами по нормальному делителю Н: элементу а группы б поставим в соответствие тот смежный класс, который с помощью 7' отображается в а. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно, ибо, согласно свойству 3' смежных классов (см. п. 4 этого параграфа), эти классы не пересекаются, Если определить умножение этих классов как подмножеств группы б и воспользоваться утверждением, доказанным в конце предыдущего пункта, то легко видеть, что установленное только что взаимно однозначное соответствие есть нзоморфизм. Но классы смежности и есть элементы фактор- группы.
Теорема доказана. й 2. Группы преобразований В этом параграфе изучаются группы невырожденных линейных преобразований линейного и, в частности, евклидова пространства, !. Невырожденные линейные преобразования. В п. 1 2 1 гл. 5 было введено понятие линейного оператора. Напомним, что линейным оператором А называлось такое отображение линейного пространства У в линейное пространство ЯУ, при котором образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента. Мы будем рассматривать так называемые н г вы р аж де ин ы в линейныг операторы, отображающие данное конечномерное линейное пространство у' в это же пространство.
При этом линейный оператор А называется невырождгнны.н, если пе! А чь Ф О ««). Отметим следующее важное свойство нгвырождгнных операторов: каждый такой оператор отображает пространство )г на себя взаимно однозначно. «) По теореме 9.4 О прелставляет собоа Группу. ««) Напомним, что бе! д бмл введен в п. 2 б 2 гл. б как определитель матрнпм линеаного оператора в данном базисе.
Там же было доказано, что значение бе! А ие зависит от выбора базиса. 1ГЛ. 9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Иными словами, если А — невырожденный оператор, то каждому элементу х с. У соответствует только один элемент у Е У, который может быть найден по формуле у=Ах, (9.10) и если у — любой фиксированный элемент пространства У, то существует только один элемент х такой, что у = Ах. Для доказательства второй части сформулированного утверждения обратимся к матричной записи действия линейного опе. ратора. Итак, если А = (ал) — матрица оператора А в данном базисе и элементы х и у имеют соответственно координаты х'.... х" и у", ..., у", то, согласно формуле (5.14) (см.
и. 1 $2 гл. б), соотношение (9.10) перепишется в виде у~ = ~, "а„'х', 1 1, 2, ..., и, 9=1 (9.11) и поэтому координаты х" можно рассматривать как неизвестные при заданных координатах у~. Так как оператор А невырождениый, т. е. де1 А чь О, система уравнений (9.11) имеет единственное решение для неизвестных х'. Это и означает, что для каждого фиксированно9о элемента у ~ У существует только один элемент х такой, что у = Ах. Итак, результат действия невырожденного линейного оператора можно рассматривать как отображение линейного пространства У на себя.
Поэтому при заданном невырожденном операторе мы можем говорить о невырожденном линейном преобразовании пространства У, или, короче, о линейном преобразовании пространсгпва У. и. Группа линейных преобразований. Пусть У вЂ” и-мерное линейное пространство с элементами х, у, и, ... и 61. (и) — множество всех невырожденных линейных преобразований этого пространства. Определим в 6Ь (и) закон композиции, который в дальнейшем будем называть ум н аж е н и ем. Мы определим умножение линейных преобразований из 6Ь (и) так же, как было определено в п. 2 $ 1 гл.
5 умножение линейных операторов. Именно, произведением АВ линейных преобразований А и В из множества 6Е. (и) мы назовем линейныи оператор, действующий по правилу (9. 12) (АВ) х= А (Вх). Отметим, что, вообще говоря, АВ эь ВА. Для того чтобы указанное произведение действительно было законом композиции (см.
и. 1 5 1 этой главы), достаточно доказать, что преобразование АВ является невырожденным, а это следует из того, что матрица линейного преобразования АВ равна грэппы преоврлзовдния й 2] произведению матриц преобразований А и В, а следовательно, йе1 (АВ) = йе1 А йе( В~ О, ибо бе1 А чь О и бе1 В чь О. Докажем теперь следующую теорему. Теорема У.д. Множество б1.
(и) невырожденных линейных преобразований линейного и-мерного пространства У с введенной выше операцией умножения представляет собой группу (называемую группой линейных преобразований линейного пространства у'). До к а з а тел ь от в о. Проверим требования 1', 2, 3'определения 2 группы (см. п. 2 9 1 этой главы). 1'. Ассоциативность умножения, т.
е. равенство А(ВС)= (АВ)С справедливо, поскольку, согласно (9.12), произведение линейных преобразований заключается в нх последовательном действии, и поэтому линейные преобразования А (ВС) и (АВ) С совпадают с линейным преобразованием АВС и. следовательно, тождественны. 2'. Суи1ествование единицы. Обозначим символом 1 тождественное преобразование.
Это преобразование невырожденное, так как йе11 = 1. Очевидно, для любого преобразования А из ОЕ (и) справедливо равенство А1 =1А = А. Следовательно, линейное преобразование 1 играет роль единицы. 3'. Суи«ествование обратного элемента. Пусть А — любое фиксированное невырожденное линейное преобразование. Обратимся к координатной записи (9.11) этого преобразования. Так как йе1 А ~ О, то из системы (9.11) можно по заданному у (по заданным координатам у~) единственным образом определить х (координаты хь).
Следовательно, определено обратное преобразование А э, которое, очевидно, будет линейным (это следует из (9.! Ц); кроме того, по самому определению А 'А = 1. Поэтому линейный оператор А ' играет роль обратного элемента для А. Итак, для операции умножения элементов из ОЬ (и) выполнены требования 1', 2, 3' определения 2 группы. Поэтому б). (и) — группа. Теорема доказана. 3.
Сходимость элементов в группе ОЬ (и). Подгруппы группы ОЬ (и). В этом и дальнейших пунктах этого параграфа мы будем рассматривать группу б(. (и) в и-мерном евклидовом пространстве У. Введем понятие сходимости в группе ОЕ (п). Определение. Последовательность элементов «А„«из б1. (и) называется с х о д я и1 е й с я к элементу А Е ОЬ (й), если для любого х из 1' последовательность «А„х«сходится к Ах*). «) Последовательность (А„х) представляет собой последовательность точек пространства У.
Поэтому сходнмосэь последовэтельнсстн (Аях) поннмветсн в обычном смысле. 10 так 459 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Ггл. 9 Понятие сходимостн в бЕ (п) мы используем ниже при введении так называемых компактных групп. Рассматривают следующие типы подгрупп группы ОЬ (п). 1'. Конечные подгруппы, т.
е. подгруппы, содержащие конечное число элементов. Примером конечной подгруппы может служить подгруппа отражений относительно начала координат, содержащая два элемента — тождественное преобразование и отражение относительно начала (см. пример 7 п. 2 5 1 этой главы). 2'. Дискретные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие счет* ное число элементов.
Примером такой подгруппы может служить подгруппа поворотов плоскости около начала координат на углы Ьр, й = О, -~1, ~2, ..., где <р — угол, несоизмеримый с и. 3'. Йепрерывные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие более чем счетное число элементов. Подгруппа всех поворотов трехмерного пространства вокруг фиксированной оси представляет собой пример непрерывной подгруппы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
