В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 53
Текст из файла (страница 53)
,и в! Следовательно, всякая точка Р, неподвижная в системе коор- динат (т', х', у', г') (а следовательно, и вся эта система координат), движется относительно системы (1, х, у, г) с постоянной скоростью о = рс в направлении оси Ох, Итак, р = о7с, где о — скорость движения системы ((', х', д', г') относительно системы (х, у, г, (). Отметим, что так как 0 < о < с, то О < () < !. Перепишем теперь следующим образом формулы (8.79): ~ — — ел ! —— ~/ ! — —" се с1 Формулы (8 80) представляют собой формулы перехода от инерциальной системы (1, х, д, г) к другой инерциальной системе (!', х', у', г'), Эти формулы называются ф о р м у л а м и Л ар е н ц а.
$ 5. Тензор момента инерции Рассмотрим твердое тело, закрепленное в точке О. Пусть г = ОМ вЂ” радиус-вектор точки М этого тела, и — скорость точки М. Как известно, момент импульса )У определяется соотношением )ч'= ) (гп] дт, где У вЂ” объем тела, дт =рдУ (р — плотность тела). Обозначая через У' — контравариантные координаты вектора й( и используя формулу (8.60) для векторного произведения, получим У = ! смг о дт ю Г с е с (8.81) ТЕНЗОР МОМЕНТА ИНЕРЦИИ 2В9 Тензор ,)р = ()ср,с',рг'г" г(т, (8.84) фигурирующий в правой части соотношений (8.83), называется тензором момента инерции. Преобразуем выражение (8.84) для тензора момента инерции. Для этой цели обратимся к формуле (8.65). По этой формуле с 8 имеем сыср„= аррбр~ — ярр6,.
Поэтому ,г,' = ~ (сррб', — у„б.') г"г' бт. (8.85) Если в выражении (8.85) опустить индекс ( с помощью метрического тензора, то в результате получим часто используемую формулу для координат дважды ковариантного тензора момента инерции: Х~р ~ (гррр гггр) г(т (8.86) р Тензор момента инерции широко используется в механике твердого тела. Для примера запишем с помощью этого тензора выражение для кинетической энергии Т, Имеем Т=-р-) с'дт= — ) д,р'СГпт.
2 Но поскольку пг = ср„ыгг", выражение для Т примет вид Т вЂ” ~ посррс(~Я гРО г Пт = — ы ы ~ йосррс(~г йт Р Отсюда, согласно (8.84), найдем Т= — аРв',грр. (напомним, что сн = н с,м, где сгм — координаты дискримиг (р нантного тензора в данном базисе пространства Е', см и 6 9 3 этой главы). По теореме Эйлера существует мгновенная ось вращения тела Обозначая через гэ вектор мгновенной угловой скорости, получим и = (ыг! Снова обращаясь к формуле (8,60) для векторного произведения, найдем (8.82) Подставляя найденное выражение о' в правую часть (8.81) и учитывая независимость ыр от переменных интегрирования, получим следующее выражение для У'. Ф' = ~ ср ср„г г"в~ йл = вр ~ с~~сррг~г" г(т = вру р, (8.83) У Р глава в ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП В этой главе будут изложены основные понятия теории групп и указаны некоторые приложения этой теории.
Важность теории групп определяется многочисленными ее приложениями в физике. $1. Понятие группы. Основные свойства групп 1, Законы композиции. Будем говорить, что в множестве А определен з а к о н к о м п о з и ц и и, если задано отображение Т упорядоченных пар элементов из А в множество А. При этом элемент с из А, поставленный с помощью отображения Т в соответствие элементам а, Ь из А, называется к о м п о з и ц и е й этих элементов. Композиция с элементов а н Ь обозначается символом аТЬ: с = аТЬ. Для композиции элементов а, Ь множества А используются и другие формы записи.
Наиболее употребительными являются аддитиенал форма записи с = а + Ь и мультипликатиенал форма записи с = аЬ. В случае аддитивной формы записи композиции соответствующий закон композиции обычно называется с л о ж е н и е м, а при мультипликативной форме — у и н о ж е и и е м. Закон композиции называется а с с о ц и а т и в н ы м, если для любых элементов а, Ь, с множества А выполняется соотношение аТ (ЬТс) = 1аТЬ) Тс Закон композиции называется к о м м у т а т и в н ы м, если для любой пары а, Ь ~ А выполняется соотношение аТЬ = ЬТа Элемент е множества А называется н е й т р а л ь н ы м относительно закона Т, если для любого элемента а множества А выполняется соотношение аТе = а. Примерами законов композиции могут служить обычные сложение и умножение в множестве вещественных чисел.
Оба эти закона коммутативны. Нейтральным элементом для сложения является нуль, для умножения — единица. $1! ПОНЯТИЕ ГРУППЪ|. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП 26! 2. Понятие группы. Некоторые свойства групп. Сформулируем следующее определение. Определение 1. Множество А, в котором определен закон композиции Т, называется г р у и и о й б, если этот закон ассоциативен, существует нейтральный элемент е относительно закона Т и для каждого элемента а множества А существует обратный элемент а 1, т. е, такой элемент, для которого аТа ' = = е.
Если использовать мультипликативную форму записи композиции элементов, то определению ! можно придать следующую форму. Определение 2. Множество А элементов а, Ь, с, ..., в котором определен закон композиции, называемый умножением и ставящий в соответствие каждой паре элел|ентов а, Ь множества А определенный элемент с = аЬ этого множества, называется г р у и и о й б, если этот закон удовлетворяет следующим требованиям: 1'. а (Ьс) = (аЬ) с (ассоциативность). 2'. Существует элемент е множества А такой, что для любого элемента а этого множества ае = а (существование нейтрального элемента).
3'. Для любого элемента а множества А существует обратный элемент а ' такой, что аа ' = е. Обычно нейтральный элемент е называется е д и н и ц е й группы б. Если закон композиции Т, действующий в группе б, является коммутотивным, то группа б называется к о м м у т а т и вн ой или а бе левой. Для абелевых групп часто используется аддитивная форма записи композиции элементов, В этом случае нейтральный элемент абелевой группы называется н у л е м. Рассмотрим примеры групп.
1) Множество 2 целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, операция сложения целых чисел представляет собой, очевидно, закон композиции. Ясно, что этот закон ассоциативен и коммутативеи. Нейтральным элементом (нулем) является целое число нуль. Обратным элементом для целого числа а служит целое число — а. 2) Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения. Эта операция представляет собой закон композиции. Очевидно, этот закон ассоциативен и коммутативен.
Нейтральным элементом является вещественное число единица. Обратным элементом для числа а > О служит число 1/а. 3) Линейное пространство образует абелеву группу относительно сложения элементов. Эта операция представляет собой закон композиции. Согласно аксиомам линейного пространства ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП !ГЛ, Э этот закон ассоциатнвен и коммутативен Нейтральным элементом является нулевой элемент пространства, обратным элементом для элемента к — элемент — к. 4) Пусть ВСР— равносторонний треугольник (см.
рис. 9.1) Рассмоти рим следующее множество А опера. ций, совмещающих треугольник с самим собой 1' Поворот а на 2П~З вокруг центра О, переводящий В в С. 2'. Поворот )) на 4п/3, переводящий В в Р. 3, Симметрия Б„переводящая С в Р. Ряс 9.!. 4'. Симметрия Ю„переводящая Р в В, б'. Симметрия В„переводящая В в С. 6'. Тождественная операция 1. Следующая таблица представляет закон композиции элементов множества А: а З 5, 5, 5, 5р)!~Р)а 5! (Правило пользования этой таблицей легко усматривается на примере последовательного проведения операций Вм а затем Вя ВвВ1 = !) ) Приведенный закон композиции ассоциативен, но не коммутативен, существует нейтральный элемент — тождественная операция 1. Каждая операция имеет обратную (в каждой строке и столбце таблицы имеется тождественная операция). Таким образом, множество А операций с указанным законом композиции представляет собой группу, очевидно, не коммутатнвную. б) Группы перестановок.
Взаимно однозначное отображение г произвольного множества Е на себя называется п е р е с т а н о в к о й множества Е. При $ 1! ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП 263 этом всякий элемент а множества Е переходит в элемент ( (а), обратная перестановка 7' ' переводит ( (а) в а. Перестановка 7' (и) = а для любого а множества Е называется т о ж д е с т в е иной перестановкой. Если множество Е состоит из элементов а, Ь, с, ..., то перестановку ( этого множества записывают следующим образоуп а ~ ( (а! ! (Ь) ! (с) . ) ' В множестве Р перестановок множества Е естественным образом определяется закон композиции: если ~, и (, — перестановки Е, то последовательное проведение ~,.~, этих перестановок представляет собой некоторую перестановку множества Е.
Легко видеть, что композиция ассоциативна. Если множество Р содержит тождественную перестановку, обратную перестановку для каждой своей перестановки ( и вместе с любыми двумя перестановками ~„ /, их композицию ), ~п то, очевидно, Р представляет собой группу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
