В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Эта операция и дает следующие координаты тензора, полученного свертыванием по верхнему и нижнему индексам с номерами т и и: (8,31 *, А А' 5! 5п лл р =Ь '...Ь" ...Ь рЬ !.. Ь'и .Ь'РА ! "т" "р (832) А ''' Ат ''' ',;"' !'' ' !' '! 5р 'р р р Произведем теперь суммирование в правой и левой частях (8.32) по выделенным индексам й' и 5„'.
Для этого достаточно положить эти индексы равными а' и воспользоваться соглашением о суммировании. В результате мь! получим некоторое равенство. Найдем выражения в левой и правой частях этого равенства В левой части мы получим, очевидно, выражение *,'...а ...А !'Р., а', .. !" !'" ''' р (8.33) В правой же части произведение ЬА" на Ь " равно 6»", т. е, равно единице при й = !'„ = а и равно нулю при Ь„ ~ !'„. Таким образом, в правой части мы получим следующее выражение: Ь '...Ь 'Ь '...Ь РА ', А А ! ( А ''' А !"'' С' 5! а" 5Р.
! р ! р Сравнив выражения (8.33) и (8.34), мы убедимся, что величины а! а А,, „преобразуются при переходе к новому базису по закону преобразования координат тензора. Очевидно, этот тензор будет типа (р — 1, д — 1). 3 а м е ч а н и е Термин «свертывание тензоров» употребляется еще и в следующем смысле. Рассмотрим два тензора А и В, у координат первого из которых имеется по крайней мере один верхний индекс й, а у координат второго — по крайней мере один нижний индекс й (8.34) Р 5лл А!'! (в выражении (8.31) мы использовали соглашение о суммировании).
Проверим, что величины (8.31) действительно образуют координаты тензора типа (р — 1, 5) — !). Для этого обратимся к фор. мулам (8.19). Перепишем этн формулы в следующем виде, выделив интересующие нас индексы (эти индексы мы подчеркнем квадратными скобками): твнзоры 242 [гл. а Составим произведение АВ этих тензоров и затем проведем операцию свертывания тензора АВ по верхнему индексу й и нижнему индексу ~'. Для этой операции обычно употребляется терминология: <сверл»ывание тензоров А и В по индексам й и [», 5'.
Перестановка индексов Этаоперациязаключается в том, что в любом базисе индексы у каждой координаты тензора подвергаются одной и той же перестановке. Это означает, что мы иным образом <нумеруем» координаты данного тензора. Читателю предлагается проверить, что в результате получается тензор (отличиый, вообще говоря, от данного), 6'. Симметрирование и альтернирование. Предварительно введем понятия с и м м е т р и ч н о г о и к о с о с и м м е т р и ч н о г о тензоров. Тензор А с координатами а, л Ч "Чн гни" [» (8.35) называется с и м м е т р и ч н ы м по нижним индексам [ и [„, если при перестановке этих индексов ') координаты тензора А не меняют своего значения, т.
е. <, е <,...а А ,.. ... „... = Ай ...[„.. л ...< . (8.36) Соотношение (8.36) называется у с л о в и е м с и м м е т р и и тензора А по нижним индексам с номерами т и п. Тензор А называется к ос о с и м м е т р и ч н ы м по нижним индексам [„ и [„, если при перестановке этих индексов справедливо соотношение [м' [м' »н' л» [»»и "лм' Соотношение (8.37) называется условием кососиммел<рии тензора А по нижним индексам с номерами т и и. Аналогично вводится понятие симметрии и кососимметрии тензора по двум верхним индексам. 3 а м е ч а н и е. Если условие симметрии (кососимметрии) по нижним индексам 1 и [„ выполняется для тензора А в данной системе координат, то оно выполняется и в любой другой системе координат.
Перейдем теперь к описанию о п е р а ц и и с и м м е т р ирования. Пусть А — тензор типа (р, д) с координатами (8.35). Переставим у каждой координаты нижние индексы с номерами т и и и затем построим тензор А[,,[ с координатами / а...а .а, а (8.38) ') Напомним, что прн перестановие индексов у координат тензора мы получаем координаты, вообще говора, другого тензора. з з> мвтгичискиитвнзог. опвгации в тинзогиых овознлчвниях зчз Операция построения тензора А<,,> называется о п е р ац и е й с и м м е т р и р о в а н и я тензора А по нижним индексам с номерами т и и. Отметим, что координаты (8,38) тензора А<, „> обычно обозна. чаются символами А.'; ч <<" (<т" '<»1 ' (8.
39) Очевидно, для теизора А<„, „> выполняется условие симметрии (8.36) по нижним индексам с номерами т и и. Операция симметрнрования тензора и о в е р х н и м и н д е кс а м с номерами т и л определяется аналогично. Построенный теизор обозначается символом А< ">. Для координат тензора А< ° '> используется обозначение, аналогичное обозначению (8.39) координат тензора А<,,> О п е р а ц и я а л ь т е р н и р о в а н и я тензора А по нижним индексам с номерами л> и и производится следующим образом. У каждой координаты тензора А переставляются нижние индексы с номерами и и л и затем строится тензор А[, „1 с коор- динатами > / ь>..л Ф,..л — <>...<~...<»...>р — <, <»...<м...<р) (8.40) Очевидно, для тензора А[,,> выполняется условие кососимметрии (8.37) по нижним индексам > и <„.
Операция альтериирования тензора и о в е р х н и м и н де кс а м >' и <'„определяется аналогично. Построенный гензор обозначается символом А[ ° ">. Для координат тензора А[ ° "> используется обозначение, аналогичное обозначению (8.41) координат тензора А[,„>, В заключение отметим очевидное равенство А=А<щ,»>+А[т, »>. ф 3. Метрический тензор. Основные операции векторной алгебры в тензорных обозначениях 1.
Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве. В $ 2 гл. 7 говорилось о том, что скалярное произведение в конечномерном линейном пространстве может быть задано с помощью Операция построения тензора А[, „> называется о и е р ацией альтернирования тензора А понижниминдексам с номерами л> и и, Координаты (8АО) тензора А[„, „1 обычно обозначаются символами А>1"' 1>< < 1 < (8.41) твизогы и'л з билинейной формы, полярной некоторой положительно определенной квадратичной форме. В этом параграфе мы будем считать, что в рассматриваемом конечномерном евклидовом пространстве Е" скалярное произведение задано такого типа билинейной формой А (х, у). В п 2 предыдущего параграфа (пример 3) мы убедились, что коэффициенты матрицы билинейной формы могут рассматриваться как координаты тензора Эти коэффициенты для билинеиной формы А (х, у), с помощью которой задается скалярное умножение в Е", мы обозначим через е»».
Таким образом, дц — координаты некоторого тензора 6 в базисе е„ е,, ..., е„. Этот тензор типа (2, 0) называется м е т р и ч е с к и м т е н з о р о м пространства Е". Напомним, что координаты е»» тензора 6 определяются соотно- шениями д»» — — А(ео е,) (8.42) (см, формулу (8.23)). Заметим также, что так как форма А (х, у) симметрична (А (х, у) = А (у, х)), то, согласно (8.42), е»» = е»», т. е. метрический тензор 6 симметричен по нижним индексам» и ).
Пусть х и у — произвольные векторы в Е", х' и у» — координаты этих векторов в базисе е,, е„..., е„. Скалярное произведение (х, у) векторов х и у равно А (х, у). Обращаясь к выражению (8.24) для билинейной формы в данном базисе и используя равенство (х, у) = А (х, у), получим следующую формулу для скалярного произведения (х, у) векторов х и у: (х у) = й»х'у. (8,43) В частности, скалярные произведения (е„е») базисных векторов е; и е» равны дц.
(8.45) е»»=А(е', е»), получим следующее выражение для (х, у): (8.48) (Х, у) = д»»х»р» (ео е») =е»» (8.44) (это следует из равенства (ец е») = А (ец е») и из формулы (8.42); впрочем, формулу (8.44) легко получить и непосредственно из (8.43)). Рассмотрим теперь наряду с базисом е„е„..., е„взаимный базис е', е', ..., е". Пусть х = х,е' и у = у;е» вЂ” разложения векторов х и у по векторам взаимного базиса Тогда для скалярного произведения (х, у) получим следующую формулу: (х, у) = А (х, у) = А (х,е', у»е») = А (е', е») х»ул Обозначая й з! мвтйическия танзог опеййции в тензогных овознйчиниях 24з Как и в п.
2 предыдущего параграфа (см, пример 3), легко убедиться, что йп представляют собой координаты тензора типа (О, 2) симметричного по индексам ! и !. Этот тензор типа (О, 2) также называется метрическим тензором пространства Е" Мы будем обозначать его тем же символом 6, что и введенный выше метрический тензор типа (2, 0): в следующем пункте мы выясним, что координаты пп и ди можно рассматривать как ковариантные и контравариантные координаты одного и того же тензора В дальнейшем эти координаты ды и 80 мы так и будем называть ковариантными и контравариантными координатами тензора 6.
В конце и. 2 $ ! этой главы, исследуя вопрос о построении взаимных базисов, мы ввели величины л» и ди по формулам (8.10). Сравнивая эти формулы с формулами (8.42) и (8,45), мы приходим к выводу, что эти величины представляют собой ковариантные и контравариантные координаты метринеского тензора 6. В этом же п 2 4 ! мы доказали, что матрицы, элементами которых являются координаты дн и йп, взаимно обратные. Это означает, что справедливо соотношение д"йййй —— 6». (8.47) Таким образом, координаты йи тензора 6 могут быть по- строены по координатам л» и наоборот (для этого надо обратиться к известному способу построения элементов обратной матрицы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
