В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Но тогда, согласно п. 2 этого параграфа, ортонормированный базис е,, е„..„е„, е„„преобразуется с помощью матрицы Р в ортонормированный базис, Выше было выяснено, что при таком преобразовании матрицы В квадратичной формы определитель !(е1 В этой матрицы представляет собой инвариант. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е.
Из рассуждений в доказательстве теоремы следует, что инвариантами общего уравнения гиперповерхности второго порядка будут также величины ганя А н гапд В. 6. Центр гнперповерхностн второго порядка. Попытаемся найти такой параллельный перенос, прн котором общее уравнение (7.76) не содержало бы слагаемого 2В' (х') (или, если обратиться « к уравнению (7.82), то слагаемых 2 ~~ (!»х» » ! Иными словами, будем искать параллельный перенос (т, е. координаты х„х„..., х„точки х), при котором обратятся в нуль все коэффициенты Ь». Обращаясь к формулам (7.84), найдем, что искомые координаты х„х„..., х„точки х представляют собой решение следующей системы линейных уравнений: ~ а!»х»+ о» = О, й = 1, 2, ..., и.
! ! (7.93) л '= ° а~»х!х»+ с' = О. и ! (7.94) Уравнения (793) называются у раен ен и ям и и ен тра ю гичерповгрхности второго порядка, аточкам с координатами (х„х„...; х„), где (х„х„..., х„) — решение системы (7.93), называется ц е н т р о м этой поверхности. Поясним наименование «центр» гиперповерхности. Пусть начало координат помещено в центр х, т. е..произведен искомый параллельный перенос. Тогда уравнение поверхности В примет вид 7 71 ГИПВРПОВВРХНОсти ВТОРОГО ПОРЯДКА 221 Пусть точка х с координатами (х(, хг, „х„') расположена на В. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению (7.94). Очевидно, точка — х с координатами ( — х~', — хг, ..., — х„'), симметричная с точкой х относительно точки х, также расположена на В, ибо ее координаты тоже удовлетворяют уравнению (7.94).
Таким образом, если у гиперповерхности 3 есть центр, то оп7носительно центра точки 8 располагаются симметрично парами. 3 а м е ч а н и е 1. Если гиперповерхность В второго порядка имеет центр, то инварианты бе1 А, бе1 В и свободный член с' в уравнении (7.94) связаны соотношением бе1 В = с' бе1 А. (7.95) Действительно, для уравнения (7.94) получим ам... а7л О де1В= ело. алло О ... О с' Из последней формулы и вытекает (7,95). Наличие центра у гиперповерхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (7.93). Если уравнения центра имеют единственное решение, то еиперповерхность 8 будем называть цен т ральн ой. Так как определитель системы (7.93) равен бе1 А, а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является отличие от нуля ее определителя, то мы можем сделать следующий вывод: для того чтобы гиперповерхность В была центральной, необходимо и достаточно, чтобы бе1 А чь О.
3 ам е ч а н н е 2. Если начало координат перенесено в центр центральной гиперповерхности В, то уравнение этой гиперповерхности будет иметь вид (7.96) вм В 6ь| ' веьл Е аглХУХЬ+ — '=О Действительно, после переноса начала в центр уравнение гнперповерхности примет вид (7.94), Так как для центральной гиперповерхности бе1 А чь О, то из формулы (7.95) найдем с' бе1 В/бе1 А, Подставляя это выражение для с' в формулу (7.94), мы и получим уравнение (7.96). 7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса, По теореме 7.8 существует такой ортонормированный базис, в котором квадратичная форма А (х,х) записывается в виде суммы квадратов. Обозначим этот базис через (ел), а координаты БИЛИНЕЙНЫЕ Н КВАДРАТИЧНЪ|Е ФОРМЫ Егл.
г точки х в этом базисе обозначим через х|, хе„..., х„'. Кроме того, буквами Л„Л„..., Л„обозначим собственные значения самосопряженного оператора А, матрнца которого в ортонормированном базисе совпадает с матрнцей квадратичной формы А (х, х) (см. замечание в и. 4 этого параграфа). Используя теперь выводы теоремы 7.8, запишем квадратичную форму А (х, х) в координатах (х|, хз, ..., х„') точки х в базисе «ее» следующим образом: и А (», х) = ~„'Л„'ха, (7.97) Итак, перейдем от базиса «ва» к базису «е;». Так как формулы преобразования коордннат точек при таком преобразовании линейны н однородны (см.
замечание и. 2 этого параграфа, формулы (?.75)), то группа старших членов н линейная часть уравнения гиперповерхности 3 преобразуются автономно. На основании этого н в силу (7,97) уравнение гнперповерхностн 5 в базисе «еа» будет иметь следующий внд '): е ~' Л„ха'+ 2 ~~ ~Ь;ха + с = О.
(7.98) а=| а | Приведение любого уравнения гиперповерхности 5 второго порядка к виду (7.98) будем называть с т а н д а р т н ы м у и р о щ си и ем этого уравнения (путем преобразования ортонормированного базиса). 8. Упрощение уравнения центральной гнперповерхностн второго порядка. Класснфнкацня центральных гнперповерхностей. Выводы, сделанные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных гиперповерхностей второго порядка. Решение этого вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр гнперповерхностн (7.66) мы приведем ее уравнение к виду (7.96).
После этого произведем стандартное упрощение уравнения (7.96). В результате, очевидно, мы получим, согласно (7.98), следующее уравнение центральной позер хностн второго порядка: Л х| + Лехе +... + Л„х„+ — О, (7.99) в котором Л, — собственные числа матрицы А квадратичной формы А (х, х) в уравнении (7.62), а ха — координаты точки м в окончательном ортонормированном базисе «еа». Отметим, во-первых, что все собственные числа Ла, й 1, 2..., ..., и, отличны от нуля.
«) Напоииии, что при переходе пт ортоиориированного базиса к ортонориированноиу свободный члек с в уравнении поверхности Я не меняется (си. третью из формул (7.В7)). ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Девствительно, подсчитывая де! А для уравнения (7.99), получим сне! А = Л,Л, ... Л„, а так как для центральной поверхности бе! А Ф О, то, очевидно, что все Л» чь О. Договоримся далее все положительные собственные числа матрицы А нумеровать первыми индексами, а отрицательные— последующими.
Таким образом, найдется такой номер р, что Л,>0, Л,>О...,„Л„>0, Л ы«о, Л~,(0, ..., Л„е О. Введем теперь следующие обозначения: де1 В если знп — А ~ О, то положим ! "~ =, де1 А ! ! ~Л» — — —, при В=1,2,, „р, де1А ! ! 1Л» = — —, при й = р+ 1,..., л; де!В ! ае де1 В если здп — = 0 то положим де1 А 1 Л»= —, при В=1, 2, ..., р, а» 1 — — при а= р+ 1, ...,л. а» (7.100) (7.!01) "! "и (7,103) Тогда очевидно, уравнение (7.99) может быть переписано следующим образом (при этом мы заменим обозначение координат х» на х»): «е, «е 4, Р! + + + аз! аег Уравнение (7.102) называется к а н он и чески м у р а вн е н и е м центральной гиперловеохности второго порядка.
Величины а„, й = 1, 2, ..., л, называются полуосями центральной гилерловерхности второго порядка. Они могут быть вычислены по формулам (7.100) и (7.101). С помощью канонического уравнения (7.102) дадим следующую к л а с с и ф и к а ц и ю центральных гиперповерхностей. о де1 В 1. р = л, здп — = — 1. В этом случае гиперповерхность де1 А 3 называется (л — 1)мерным эллипсоидом. Каноническое уравнение такого эллипсоида обычно запись1- вают в виде 224 БилинеЙные и каАЛРАтичные Формы ггл. т Если а! = ае = ° = а„= 14, то (л — 1)-мерный эллипсоид пред- ставляет собой сферу радиуса 1!' в л-мерном пространстве. ее! В 3 а м е ч а н и е 1. В случае р = О, здп = 1 мы также ее! А получаем (и — 1)-мерный эллипсоид.
Очевидно, в этом случае уравнение (7.102) может быть записано в виде (7.103). ее! В 2'. р = и, зйп — = 1. Гиперповерхность является мнимой и называется мнимым эллипсоидом. ее! В 3 а м е ч а н и е 2. Очевидно, в случае р = О, зяп — = — 1 ае! А мы также получаем мнимый эллипсоид, де! В 3'. 0 ( р ~ и, зйп — 4 чь О.
Центральные гиперповерхности называются в этом случае г и п е р б о л о и д а м и. Геометрические характеристики гиперболоида зависят от соотсе! в ношений чисел р и а и значения зйп —,„. ае! В 4'. Бяп — = О. Центральные гиперповерхности называются ее! А в этом случае в ы р о ж д е н н ы м и, Среди вырожденных гипер- поверхностей отметим так называемый в ы р о ж д е н н ы й э л л и п с о и д, отвечающий значениям р = 0 и р = и. 9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности вто- рого порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей. Пусть гиперповерхность 8, заданная уравнением (7,62), не яв- ляется центральной, т. е.
де(А =О. (7. 104) Произведем стандартное упрощение уравнения (7.62). В ре- зультате это уравнение примет вид (7.98). Подсчитаем бе1 А, ис- пользуя (7.98) (это возможно, так как де1 А — инвариант). Полу- чим, учитывая (7.104), де1А =Л!Л ...Л„=О. Таким образом, по крайней мере одно собственное значение Л„ матрипы А равно нулю. Подчеркнем, что не все собственные зна- чения равны нулю, нбо иначе квадратичная форма А (х, х) была бы тождественно равной нулю, мы же предполагаем (см.
п. 1 $1 этой главы), что эта форма ненулевая. Оставим в выражении (7.98) лишь те слагаемые в первой сумме, которые отвечают ненулевым собственным значениям, а затем произведем такую перенумерацию базисных векторов, чтобы пер- вым р базисным векторам е!', ..., ер отвечали все ненулевые соб- ственные значения Л,„ Л„ ..., Лр (отметим, что р ганя А). Очевидно, после этого уравнение (7.98) может быть переписано следующим образом: л р л ~~ Лехе +2 ~~ Ьехе+2 ~ Ьех„'+с=О (7.106) е=! «=! е р+! $ Т1 225 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (здесь 0 ( р ( л, Л, ~ О, ..., Лр чь 0; кроме того, мы специально выделили первые р слагаемых второй суммы в уравнении (7.98)). Проведем теперь следующие преобразования.
1'. Для каждого номера Ь, 1 с л ~ р, объединим слагаемые с этим номером из первой и второй суммы в (7.105) и затем проделаем следующие преобразования (прн этом мы учитываем, что Л» чь О): /.8»», а» ~ ь» Л„х» +2Ь»х» = Л» !х» + 2 — х»+ — а) — — = Л» Л» Л» =Л»~х» + — ") (7.108) 83аа 459 Очевидно, после этих преобразований (7.105) запишется сле- дующим образом: Р Ь» 59 а ~Л»(х» + — ") + 2 ~ Ь»х»+с'=О, (7.!06) »=! » р+! где постоянная с' определяется равенством Р,г с' =с — у сэ»» (?. 107) ,~~ л» ' »=! Осуществим теперь параллельный перенос по формулам х»=х»+ —, Ь=1, 2, ..., р; х»=х», й= р+!,,и »» В результате уравнение (7.106) перейдет в уравнение Р а Д Л„х»'+2 ~~ Ь»х»+с'=О, »= ! » р+! причем с' определяется по формуле (7.107).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
