В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Мы должны еще убедиться, что векторы е', е', ..., е" образуют базис Пусть некоторая линейная комбинация этих векторов равна нулю а,е' + а,е'+ + сг„е" = О. Умножая скалярно последнее равенство последовательно на вн ем ..., е„и используя (8.2), получим а, = О, а, = О, ..., а„= О. Следовательно, векторы е', е',, е" линейно неза- висимы, т. е. образуют базис.
Итак, взаимный базис е' и для базиса е; существует и опреде- ляется единственным образом. 3 а м е ч а н и е 1. В силу симметрии соотношений (8.2) отно- сительно в, н е', взаимным базисом для базиса е' будет базис ео Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о взаимных базисах еь е'. 3 а м е ч а н и е 2. Если базис в„е„...„е ортонормирован- ный, то взаимный базис е~ совпадает с данным базисом, действи- тельно, полагая в этом случае е' = и;, мы убедимся, что соотно- шения (8.2) выполняются.
Используя свойство единственности взаимного базиса, мы убедимся в справедливости замечания. Пусть во е' — взаимные базисы, а х — произвольный вектор пространства. Разлагая вектор х по базисным векторам в, и е', получим ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ Координаты (х„х„..., х„) вектора х в базисе е' называются ковариантными кооординатами вектора х, а а координаты (х', х', ..., х') этого вектора в базисе е, называются к о н т р а в а р и а н т н ы м и к о о р д и н а т а м и вектора х. Эти наименования будут разъяснены в следующем пункте. Для сокращения записи формул, в которых фигурируют однотипные слагаемые (примерами таких формул могут служить соотношения (8.5)), мы будем пользоваться в дальнейшем соглашением о суммировании.
Это соглашение заключается в следующем. Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов, часть из которых нижние, а другая часть — верхние. При этом договариваются все нижние индексы обозначать различными символами Верхние индексы также договариваются обозначать различными символами. Если в этом выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой нижний, то считают, что по этим индексам производится суммирование, т.
е. индексам последовательно даются значения 1, 2, ..., и, а затем складываются полученные слагаемые. Например, х,е'=х,е'+х,е'+ .. +х„е", б,'=6~~+бз+ +6„", 8'мх'хг = (дых'х!) + (8мхэх~) + ° ° ° + (д„тх"х/) = = (дих'х' + йьтх'хт + ° ° ° + д,„х'х") + +(кмхх +кмхх +.
+кыхх")+ +(й„,х х'+8„,Х х +" +й„„х х"), С помощью соглашения о суммировании формулы (8.5) записываются следующим компактным образом: х = х,е', х = х'е; (8.8) 3 а м е ч а н и е 3. Верхние и нижние одинаковые индексы, о которых говорилось а соглашении о суммировании, обычно называются индексами суммирования. Ясно, что индексы суммирования могут обозначаться любыми одинаковыми символами. При этом не изменится выражение, в которых они фигурируют. Например, х;е' и х,е~ представляют собой одно и то же выражение. Получим теперь явное выражение для ковариантных и контра- вариантных координат вектора х.
Для этого умножим скалярно первое из равенств (8.8) на ен а второе на е' Учитывая затем соотношения (8.2), найдем (х, е;) = х~ (е', е,) = х,б,' = х,, (х, е~) = х' (еи е') = х'6~~ = х~. Итак, хт — — (х, е,), хг =(х, е!). (8.7) тензоры 1гл, а С помощью соотношений (8.7) запишем формулы (8.6) в следующем виде: х=(х, е)е", х=(х, е9е, (8.8) Соотношения (8.8) называются ф о р м у л а м и Г и б б с а '). Обратимся еще раз к вопросу о построении взаимных базисов.
С помощью формул (8.8) имеем е'=(е', е))ен е,=(е„е,)ец (8.9) Введем обозначения уц — — (ец е)), уц=(е', ег). (8.10) С помощью этих обозначений перепишем соотношения (8.9) следующим образом; е'=Уцен е, =диет (8.!1) Итак, для построения базиса е' по базису е, дастшпочно знать матрицу (й"т), а для построения базиса е, по базису е' достаточно знать матрицу (уц). Докажем, что указанные матрицы взаимно обратны Отметим, что так как элементы обратной матрицы могут быть вычислены через элементы данной матрицы, то ясно, что с помощью соотношений (8.1!) решается вопрос о построении взаимных базисов Итак, установим, что матрицы (уз) и (уц) взаимно обратны.
Умножая первое из равенств (8.1!) скалярно на еа, получим (е', еа) = йц (ен еа). Из этого соотношения, учитывая (8.2) и (8.10), найдем ~ 1 при (=й, о ф 1 0 при ачьй. Таким образом, произведение матриц (уц) и (уц) представляет собой единичную матрицу Следовательно, матрицы (дц) и (уц) взаимно обратны. 3. Преобразования базиса и координат. Г!усть е, и е' — заданные взаимные базисы, а еа и е' — некоторые новые взаимные базисы, элементы которых мы обозначим штрихованными индексами. Фактически это означает, что мы вводим новый натуральный ряд !', 2', 3', .
и считаем, что индекс У принимает значения 1', 2',, н'. Таким образом, индексы 1 и У независимо принимают различные значения: 1=1,2, ..., и, У=1', 2',..., и'. Используя введенное в предыдущем пункте соглашение о суммировании, запишем формулы преобразования базисных векторов. В результате получим: ') Д. У Гиббс (1339 — 1903) — американский физик. теоретик » 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ 233 1) формулы перехода от старого базиса ес к новому базису ес и формулы обратного перехода е, =Ь'е„нс — — Ь',ес, 1=1,2, ..., и,!' !',2', ...,и', (8.12) 2) формулы перехода от старого базиса г' к новому ео и формулы обратного перехода ес = 6,' е', ес = 6,'.е', 1= 1, 2, „и, !' = Г, 2', ..., п' (8,13! Так как преобразования (8.12) (равно как н преобразования (8,!3)) Взаимно обратны, то матрицы (Ь,' ) и (Ь,' ) (равно как и матрицы (6,'.) и (Бс )) взаимно обратны Докажем, что матрицы (Ьсс ) (Бсс ) тождественны.
Тем самым будет доказана тождественность и матриц (Ь,' ) и (Бс ) Для доказательства умножим скалярно первое из равенств (8 12) на и», а второе из равенств (8 13! — на е» Учитывая соотношения (8.2), получим (ес, е')=Ьсс (е„е") =Ьс с6»с =Ьс, (ес. е» ) = Бс (е', е, ) = Бсс 6» = 6»с . Из этих соотношений при Ь =1, Ь' = с' получим Ьс с=(еи, е'), Бс с=(Е,, Е'). (8.14) (8.15! Поскольку правые части соотношений (8.14) и (8.!5) равны, то равны и левые части Иными словами, Ьс = 6,', а это н означает тождественность матриц (Ьс ) и (Бс ) Отметим, что элементы Ь;'.
матрицы (Ьс с) могут быть вычислены по формулам (8!4). Итак, справедливо утверждение: Для перехода от базиса Ес, Е' к базису Нс, ви достаточно знать лишь матрицу (Ьс ) перехода от базиса е; к базису ес (матрица (Ь, ') вычисляется по матрице (Ьс )). Приведем полную сводку формул преобразований базисных векторов: с ес =Ьс н„нс = Ьс'ас, ) (8. 16) е'=Ьс'в, е Ьсе'.1 Перейдем к выводу формул преобразования координат вектора х при переходе к новому базису Пусть хс — ковариантные координаты х в базисе е...
е'. Тогда, согласно (8.1), имеем кг = (х е, ). Подставляя в правую часть этого соотношения выражение для е, из формул (8.!6), найдем хс = (х, Ь,' е,) = Ь,' (х, ес) = Ь,' с . [гл. а танзоры 234 Мы приходим к следующему выводу: формулы преобразования кавариантных координат вектора х при переходе к новому базису имеют вид х~ =Ь1 х,. (8.17) Следовательно, при переходе к новому базису ковариантные координаты веюпора х преобразуются с помощью матрицы (Ь' ,) прямого перехода от старого базиса к новому. Это согласование преобразований и объясняет наименование ковариантные «) координаты вектора. Рассмотрим теперь преобразование контравариантных координат вектора х Подставляя в правую часть соотношения х' = (х, е') выражение для е' из формул (8.16), получим после преобразований х' Ь1 х'. (8.18) Мы видим, что при переходе к новому базису контравариантные координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы (Ь1 ) обратного перехода от нового базиса к старому.
Это несогласование преобразований и объясняет термин контраеариантные *«) координаты вектора, 5 2. Понятие теизора. Основные операции над тензорами а" а 1 ! а а а "а Ад «Ь ЬРЬ ° Ь А ю р 1 о «« (8, 19) в которых Ь11 — элементы матрицы (Ь,') перехода от базиса Е а. к базису е1, а Ьа — элементы матрицы обратного перехода от е, меь ") Коварнантный — согласованно изменяющийся.
"! Контраварнантный — прптнвопсложно нвменяющнйсв, 1. Понятие тензора. В этом параграфе мы рассматриваем произвольное (не обязательно евклидова) вещественное и-мерное линейное пространство Е«. Определение. Т е н з о р ам А типа (р, о) (р раз ковариантным и у раз контраварионтным) называется геометрический объект, который !) в каждом базисе е, линейного пространстпва Ь«определяется п1"«координатами А1',,а (индексы 11, ..., Ьр, й„.„, Ф 1 ' р независимо принимают значения 1, 2, ..., и, 2) обладает тем свойством, что его координаты А ! «в базисе е1 связаны с коорди3 1 а натами А1и,,1« в базисе е, соотношениЯми й й! пОнятие тензОРА. Основные ОпеРАции нАД тензОРАми 235 (8.20) После сделанных замечаний убедимся в корректности определей "й й "й й й ния тензора Пусть А,',', А ',т, А,с,» — координаты теи.
вора А в базисах ес, вс и в,- соответственно, По формулам (8.19), переходя последовательно от ес к всч а затем к вс- получим А *"'в Ь ЬРЬ ...ЬСА й "й' С С й й й "й С".С С С й й С" С~ и Р Р 1 С и (8.21) (8.22) Число г = р + с! называетсл р а н гам тензара. 3 а м е ч а н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
