В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 46
Текст из файла (страница 46)
2'. Будем искать теперь такое преобразование ортонормиро- ванного базиса (и»», при котором первые р базисных векторов а!, ..., и' не меняются, за счет же изменения базисных векторов е',!, ..., е„' попытаемся преобразовать слагаемое 2 ~~ Ь»х» к виду »=р+! 2!»х„, где х„— и-я координата в новом базисе.
Отметим, что при такого вида преобразованиях свободный член с' не меняется. Заметим, во-первых, что если все коэффициенты Ь» в (7.108) равны нулю, то цель преобразования п. 2' достигнута — слагаеа мое 2 ~'„Ь»х» имеет вид 2!»х„", где )» = О. » р+! Итак, будем считать.
что по крайней мере один из коэффиа циентов Ь» в сумме ~~ Ь»х» отличен от нуля. Тогда мы можем рас» р+! сматривать эту сумму как некоторую линейную форму В (х), БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ !гл. т заданную в подпространстве Г, которое представляет собой линейную оболочку векторов е',н ..., в„'. Согласно лемме п. 1 $ 4 гл. б эта форма в указанном подпространстве может быть представлена в виде В" (х) = (й, х), где й — некоторый вектор подпространства У, Если мы теперь в подпространстве У" направим единичный вектор в„по вектору й, так что й= рв"„, а векторы вен, ..., е„~ выберем так, чтобы система в",н„..., в'„' „в„' была базисом Б то, очевидно, в этом базисе В (х) = (Ь, х) =- (А (е., х) = рх„, поскольку (е„, х) = х„. Таким образом, выбирая в г' базис опи.
л санным выше способом, мы преобразуем ~ олх„к виду рх„. А — РН Итак, можно указать такое преобразование базиса в(, ..., е„' в ортонормированный базис ен ..., е"„(при этом преобразовании векторы в~', ..., в' остаются неизменными), что уравнение (7.108) примет вид (при этом мы заменим обозначение координат х„на ХА) Р ~'„).АХА+ 2рх, + с' = О. (7. 109) А 1 Отметим, что в уравнении (7.!09) не исключается случай р = 0' Уравнение (7.109) называется к а н он и ч е с к и м у ра в н е н и е м нецентральной гиперповерхности второго порядка. С помощью канонического уравнения (7.109) дадим следующую к л а с с и ф и к а ц и ю нецентральных гиперповерхностей.
Возможны следующие случаи. 1'. р ~ О, р = ганя А = и — 1. В этом случае последние два слагаемых Б уравнении (7.!09) с' ъ запишем в виде 2пх„+ с' = 2р (х„+ — ! и сделаем параллельный перенос по направлению оси х„на величину — с'/2р. Чтобы не осложнять запись, не будем при этом менять обозначение координат В результате каноническое уравнение (7.109) примет вид )нх~~ + ° ° ° + Д„~х„~ + 2(лх„= О. (7. 110) Гиперповерхности второго порядка, каноническое уравнение которых имеет вид (7.!!0), называются п а р а б о л о и д а м и. 2' р = О, р = гапд А ( и, В этом случае каноническое уравнение (7.109) перепишется так: )лх~++Хрхр+с О (7.11! ) Очевидно, в подпространстве, являющемся линейной оболочкой векторов е~, ..., в', уравнение (7.!11) представляет собой каноническое уравнение центральной поверхности 5' второго порядка Чтобы получить представление о гиперповерхности 5 во всем пространстве, нужно в каждой точке поверхности 5' поместить плоскость, параллельную плоскости У" (линейная оболочка Ф т! ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА векторов е',и ..
е„'). Геометрическое месго таких плоскостеи образует поверхность 5 Таким образом, поверхность 5 представ ляет собой центральный цилиндр с направляющей поверхностью 5', определяемой уравнением (7.1!1), и образующими плоскостями, параллельными плоскости 1'" 3'. и~О, р=гапйА <и — 1. Г1оступая так же, как и в случае!', мы приведем каноническое уравнение (7.!09) к виду Х|х(+ ° + ХРх',+ 2рх =О. (7.112) Очевидно, в подпространстве, представляющем собой линей. ную оболочку векторов е(, ..., е', е„', уравнение (7.!!2) опреде лает параболоид 5'(см.
случай 1'). Чтобы получить представление о строении гиперповерхности 5 во всем пространстве, нужно в каждой точке 5' поместить плоскость, параллельн1ю плоскости У" (линейная оболочка векторов е',и , е,' 1). Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность 5 Таким образом, поверхность 5 представляет собой п а р а б о л о н д а л ь н ы й ц и л и н д р с направляющей поверхностью 5', определяемой уравнением (7.112), и образующими плоскостями, параллельньми плоскости У". ГЛАВА З ТЕНЗОРЫ В этой главе рассматриваются важные объекты, называемые т е н з о р а и и и характеризующиеся в каждом базисе совокупностью координат, специальным образом преобразующнхся при переходе от одного базиса к другому.
Тензоры широко используются в геометрии, физике н механике Понятие тензора возникает при изучении различных анизотропных явлений (например, при изучении распределения скоростей распространения света в кристалле в зависимости от направления его распространения) $ 1. Преобразование базисов и координат В данном параграфе, носящем вспомогательный характер, мы рассмотрим законы преобразования координат в произвольном вещественном евклидовом пространстве Е" Возникающие при этом наводящие соображения делают более прозрачным понятие тензора, вводимого в следующем параграфе. !.
Определители Грама*). В этом пункте мы укажем способ, с помощью которого можно выяснить вопрос о линейной зависимости системы векторов ем е„,, е„в евклидовом пространстве. Введем для этого так называемый определитель Грама указанной системы векторов. Определителем Г р а м а системы векторов е„ и„ ... , еа называется следующий определитель: (ег ег) (е1 еа) (ег, еа) (е,, ед (е, еа) ". (еа, еа) (8,1) (ею ег) (еа, еа) " .
(еа, еа) Справедливо утверждение Теорема 8.1. Для того чтобы система векторов е„е„..., еа евклидова пространства Е" была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы определителе Грама (8.1) этой системы был ровен нулю. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть векторы ео е„..., еа линейно зависимы Тогда один из них, ") морген Грам (!650 — 19)6) — датский математик. $ !! пивовглзовлиие элвисов и кооодннлт например е„, является линейной комбинацией остальных. еь=а,е,+а,е,+ .. +а„,еь,. Умножая написанное соотношение скалярно на е;, ! = 1, 2, ... ..., й, мы получим, что последняя строка определителя Грама (8.1) является линейной комбинацией первых я — 1 строк.
По теореме !.7 этот определитель равен нулю Необходимость условия доказана. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что определитель Грама (8.1) равен нулю. Тогда его столбцы линейно зависимы, т. е. существуют ие все равные нулю числа р„()„..., рь такие, что для 1 = 1, 2, ..., й выполняются соотношения р,(ео е,)+(!з(е,, ез)+ ° ° +()ь(е„е„) =О. Переписывая эти соотношения в виде (е„()е,+)! е,+ +))ьеь)=О, 1=1, 2, ..., й, убеждаемся, что вектор (),е, + р,е + ° + ()ьеь ортогонален всем векторам е„ е„ ..., ею т. е, ортогонален линейной оболочке Е этих векторов.
Так как этот вектор принадлежит Ь, то он равен нулю. Поскольку не все ~э равны нулю, то это означает, что век- торы е„ е„ ..., е„ линейно зависимы. Теорема доказана. Следствие. Если векторы е„е„..., е„линейно независимы, то определитель Грима этих векторов отличен от нуля. Докажем, что в указанном случае определитель Грама п о л о- ж н тел ен. Пусть Š— линейная оболочка векторов е„е„...
..., ею Очевидно, е„е„..., еь — базис а Е. Рассмотрим били- нейную симметричную форму А (х, у), представляющую собой скалярное произведение (х, у): А (х, у) = (х, у). Соответствую- щая квадратичная форма А (х,х) = (х,х) будет, очевидно, знако- определенной, н поэтому, согласно теореме 7.б (критерию Сильве- стра), определитель йе1 (аи) ее матрицы (аи) в базисе е„е„..., еь положителен. Но этот определитель и представляет собой опреде- литель Грама (8.1) системы е„е„, ею ибо а„= (е„е,). 2.
Взаимные базисы. Коварнантные и контравариантные координаты векторов. Пусть е„е„..., е„— базис в евклидовом пространстве Е". Базис е', е', ..., е" называется в з а и м н ы м для базиса е„( = 1, 2..., и, если выполняются соотношения 1 при 1=1, (е,, е!)=8!= ! О при 1Ф! (8.2) при 1,1=1, 2, „и. Символ б~~ называется символом Кронекера. Возникает вопрос о существовании и единственности взаим. ного базиса, Ответ на этот вопрос утвердительный: длл любого дан- ного базиса е„е„..., е„существует единственный взаимный ггл. в твнзояы х = х,е'+ х,е'+ °" + х„е", х= х'е, + х'е, + "° +х"е„. (8.5) базис.
Для доказательства поступим следующим образом. Пусть х(, х1, ..., 4 — координаты искомых векторов е' в базисе е,: е'=х(е,+х(е,+ ° ° ° +х„'е„, 1=1,2, ..., и (8.3) Умножая скалярно обе части последних равенств на ео полу- чим, используя (8.2), х((ео е,)+х((е„е,)+ ° )-х„'(ео е„) =бо (8.4) 1,1=1, 2..., и Соотношения (8.4) при фиксированном 1 можно рассматривать как квадратную систему линейных уравнений относительно неиз- вестных координат х,', х1, ..., х„' вектора е' в базисе еь Так как определитель системы (8.4) представляет собой определитель Грама базисных векторов е„е„..., е„, он, согласно следствию из теоремы 8.1, отличен от нуля, и поэтому система (8.4) имеет единственное решение х(, х(, ..., х„', которое будет ненулевым, поскольку эта система неоднородная. Затем с помощью соотно- шений (8.3) строятся векторы в', которые, очевидно, удовлетво- ряют соотношениям (8.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
