В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм, $ Е] ЗАКОН ИНВРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ. КЛАССИФИКАЦИЯ 2О! 1) Необходимость.
Пусть форма А (х,х) положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид А(х, х) =т)(+ т!е+ ° ° ° +т(, ° Если при этом р (и, то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами Ч~=О, Пф=О, ° ° °, т(Р=О, т!р.>~~О,,тЫ~О форма А (х, х) обращается в нуль, а это противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, р = и. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть р = и. Тогда соотношение (7.35) имеет вид А (х,х) = т!1~ + Пз ~+ ... + т!~. Ясно, что А (х,х) ~ О, причем, если А = О, то т(, = т!ь —— ... — — ть, = О, т. е.
вектор х нулевой. Следовательно, А (х,х) — положительно определенная форма. 3 а м е ч а н и е. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду. В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду. 2'. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.
Докажем следующее утверждение: Для того чтобы квадратичная 4орма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля. Доказательство. !) Н е о б х о д и м о с т ь.
Так как знакопеременная форма принимает как положительные, так н отрицательные значения, то ее представление (7.35) в нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля. 2) Достаточность. Пусть рФО и у~О. Тогда для вектора х, с координатами тп Ф О, ..., т!р чь О, т) „ = О, ... ..., 1)„ = 0 имеем А (х„ х,) > О, а для векторах, с координатами 1), = О, ..., т!„= О, т!„„~ О, ..., Ч„~= 0 имеем А (хм хе) < О.
Следовательно, форма А (х, х) является знакопеременной. 3', Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной грормы. Справедливо следующее утверждение: аилинанныв и калде»тичиыа Фоямы [гл. г Для того чтобы форма А (х, х) была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотноигенияг либо р(п, о=О, либо р=О, д<п. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Мы рассмотрим случай положительно квазизнакоопределенной формы. Случай отрицательно квазизнакоопределенной формы рассматривается аналогично. !) Необходимость. Пусть форма А(х,х) положительно квазизнакоопределеиная. Тогда„очевидно, д = 0 и р < и (если бы р = и, то форма была бы положительно определенной).
2)Достаточность. Еслир <п,д =О,тоА (х,х))0 и для ненулевого вектора х с координатами ~), = О, ..., ~р — О, 1) ~~0..., т),чьОимеем А(х, х) =О, т.е, А(х,х) — положительно квазизнакоопределенная форма. 3. Критерий Сильвестра* ) знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма А (х, х) в базисе е = (е„е„..., е„) определяется матрицей А (е) = (аи): л А(х, х) = ~ аилД, и ! ! (ап ам ( ) аи... ага ~ и пусть Л,=ам, Л,=~ ~, ..., Л„=~ .
~ — угла. вые миноры и определитель матрицы (аи). Справедливо следующее утверждение: теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма А (х, х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенспыа Л, >О, Ь, >О, ..., б„>0. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем Ь, ( О. Доказательство.
)) Необходимость. Докажем сначала, что из условия знакоопределенности квадратичной формы А (х, х) следует Л, чь О, ) = 1, 2, ..., п. Убедимся, что предположение Ь» = 0 ведет к противоречию— при этом предположении существует ненулевой вектор х, для которого А (х, х) = О, что противоречит знакоопределенности формы. Итак, пусть Ь» = О.
Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений: аи$»+ а»й»+ ° + ауДк а„$» + амД» + " ° + а»»$» = О, (7.36) а»А+ а»Л, + "° + а»»й» О. а) Лжемс Джозеф Сель»есть (1аи — 1897) — английский матсмвткк. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ Так как ܄— определитель этой системы и Ьь = О, то система (7.36) имеет ненулевое решение $„$ы ..., $ь (не все $, равны нулю).
Умножим первое из уравнений (7.36) на $ь второе на $ы ..., последнее на $„и сложим полученные соотношения. В результате получим равенство ~, а,ДД,=О, левая часть которого представь р=! ляет собой значение квадратичной формы А (х,х) для ненулевого вектора х с координатами КО $ы ..., $„, О, ..., 0). Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности формы. Итак, мы убедились, что Ь, ~ О, 1 = 1, 2, ..., и. Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения формы А (х, х) к сумме квадратов (см. теорему 7 4) и воспользоваться формулами (7.27) для канонических коэффициентов Х,. Если А (х, х) — положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты положительны. Но тогда из соотношений (7.27) следует, что Ь, > О, Ь, > О, ..., Ь„> О. Если же А (х, х) — отрицательно определенная форма, то все канонические коэффициенты отрицательны.
Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых миноров чередуются, причем Ь, < О. 2) Д о с та то ч н о с т ь. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры Ь, в формулировке теоремы. Так как Ь, ~ О, 1 = 1, 2, ..., и, то форму А можно привести к сумме квадратов методом Якоби (см. теорему 7.4), причем канонические коэффициенты Х, могут быть найдены по формулам (7.27). Если Ь, > О, Ь, > О, ...„Ь„> О, то из соотношений (7.27) следует, что все )ч > О, т. е.
форма А (х, х) положительно определенная. Если же знаки Ь, чередуются и Ь, < О, то из соотношений (7.27) следует, что форма А (х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана. $5. Полилинейные формы Определение. Полилинейной формой А (х„х„..., х ) р векторных аргументов называется числовая функция, определенная на всевозможных векторах х„х„..., хр, линейного пространства 7. и линейная по каждому из аргументов, при фиксированных значениях остальных аргументов.
Простейшим примером полилинейной формы может служить произведение линейных форм А (х,) А (хч) ... А (хр). Полилинейная форма А (х„х„..., хр) называется симметричной (кососимметричной), если для каждых двух ее аргументов хь и х, н для любых значений этих аргументов выполняется соотношение А(х„..., х„...„х„..„х,) =А(х„..., х,, ..., х„,...., х,) (А(хм ...> хь, ..., х„...,х,) = — А(х,, ..., х,, ..., хл, ..., х,)). Билинейныв и квлдрлтичныа ФОРмы и'л. 7 Пусть полилинейная форма А (хи х„..., хр) задана в конечномерном линейном пространстве Е, и пусть в„е, ..., е„— базис в !..
Обратимся к разложению, каждого вектора х/ по базисным векторам е„е„..., в„ х;=Ц;,е,+5ие,+ ° ° ° +5,„в„= Е $це/, 1=1, 2, ..., р. (?.3?) у ! Подставляя выражения для х, по формулам (7.37) в полилинейную форму А (х„х„..., х,) и используя свойство линейно. стн этой формы по каждому аргументу, получим ! е А(х„х„..., х,) А ~ Е $,/,еи, /1-1 Е Ь/,$з/, /~ /а ' /р 1 $,/„А(е/,, е,,, ..., е,,), (7.38) Таким образом, значения полилинейной формы А (х„х„... х,) в конечномерном пространстве с выделенным базисом е„в„..., в„ определяются всевозможными значениями А (е/,, в/,...
в, ) 'р этой формы на векторах е/„в/,, ..., в/р. Докажем следующее утверждение: Теорема 7.7. Любая полилинейная кососимметричная форма А (х„х„..., х„) заданная в и-мерном линейном пространсп/вв С с выдвлвйнмм базисом е„ем ..., е„может бать предспиалена в виде $И Ьв " $ 5м 1м " агав А (х„х„..., х„) а (7.39) где л/ Ц„ !м ...> !„) — число беспорядков в перестановке (!„ !м - ° > !а) гдв а А (ви вм ..., а„), а ($п, $и, ..., $т) — координаты вектора х, в базисе е„е„..., е„. Доказательство. Так как форма А (х„х„...,х„) является кососимметричной, то для произвольной перестановки (/и !м ,.„ !,) индексов (1, 2, ..., и) имеем и (/ь/1 -- /н) А(е/,, в/,, ..., в/„) ( — 1) ' А(е„в„..., е,) ( !)и (/и / ' /н) (?АО) з 61 ФОРМЫ В ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 206 В силу кососимметричкости формы для двух одинаковых индексов УА и!, ()А = 1,) значение А (е~„..., едн ..., еб, ..., е~„) равно нулю.
Отсюда и из соотношения (7.40) следует, что для рассматриваемого случая соотношение (7.38) примет вид » А(х„х„..., х„)=а ~~ ( — 1) (' " "'~")$а,5»~, ° $ ~„ ~;,с„", ~„- (7.41) Сравнивая формулу (7.41) з формулой (1.28) гл. 1 для определителя порядка п, мы убедимся в справедливости соотношения (7.39).
Теорема доказана. $6. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве В предыдущих параграфах мы изучали билинейные и квадра. тичные формы в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве Ь. В этом параграфе мы получим ряд сведений о билинейных и квадратичных формах, заданных в вещественном евклидовом пространстве. При этом мы будем широко пользоваться результатами 3 9 гл. 5, посвященного линейным операторам. В п.
3 настоящего параграфа будет показано, каким образом теория евилидовых пространств может быть применена для получения содержательных результатов в произвольных линейных пространствах. В частности, нами будет получено независимое доказательство теоремы о том, что каждая квадратичная форма в линейном пространстве может быть приведена к каноническому виду. 1. Предварительные замечания. В этом пункте мы напомним некоторые понятия теории линейных операторов. Пусть У вЂ” и-мерное вещественное евклидово пространство и А — линейный оператор, действующий из У в У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
