В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 39
Текст из файла (страница 39)
т !зо Это следствие позволяет ввести важный ч и с л о в о й и н в а. р и а н т билинейной формы — так называемый р а н г б и л инейной формы. Определение 7. Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном линейном пространстве Е, называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства Е. Определение 2. Билинейная форма А (х, у), заданная в конечномерном линейном пространстве Е, называется невырожденной (вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства Е.
5 2. Квадратичные формы Пусть А (х, у) — симметричная билинейная форма, заданная на линейном пространстве Е. Определение 1. Квадратичной формой называется числовая функция А (х, х) одного векторного аргумента х, которая получается из билинейной формы А (х, у) при х = у. Симметричная билинейная форма А (х, у) называется п олярной к квадратичной форме А(х,х). Полярная билинейная форма А (х, у) и квадратичная форма А (х, х) связаны следующим соотношением: А(х, у)= — (А (х+у, х+у) — А(х, х) — А(у, у)), 1 которое вытекает нз очевидного равенства А (х + у, х+ у) = А (х, х) + А (х, у) + А (у, х) + А (у, у) л А(х, у) = ~; а,Д,т(н Ь лчн (7.3) где $, н э(э — координаты в базисе е векторов х и у соответственно.
При этом в силу симметрии А (х, у) (7,11) ам=ам (см, замечание 2 п. 2 предыдущего параграфа), и свойства симметрии формы А (х, у). Пусть в конечномерном линейном пространстве Е задана симметричная билинейная форма А (х, у), полярная к квадратичной форме А (х, х). Пусть, кроме того, в Е указан базис е = = (е„е„..., е„) Согласно теореме 7.1 форму А (х, у) можно представить в виде (7.3) КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Полагая в (7.3) х = у (т. е. Т1! $л), мы получим следующее представление для квадратичной формы А (х, х) в конечномер- ном пространстве Ь с заданным базисом е: л А(х, х) = ~„'а!!ЯДР (7.1 2) !. у=1 Иатрица (аа) называется л! а т р и ц е й к в а д р а т и ч- н о й фо р и ы А (х, х) в заданном базисе е.
Согласно (7.11) матрица (аи) является симметричной. Очевидно, каждой симметричной матрице (аы) отвечает с помощью соотно- шения (7.12) квадратичная форма А (х, х), причем (7.12) будет представлением А (х, х) в пространстве Ь с заданным базисом е (см. также замечание 3 и. 2 предыдущего параграфа). Отметим, что матрица квадратичной формы при переходе к новому базису преобразуется по формуле (7.7). Поэтому ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису. Обычно ранг матрицы квадратичной формы А (х, х) назы- вается р а н г о м к в а д р а т и ч н о й ф о р м ы.
Если ранг матрицы квадратичной формы равен размерности пространства Ь, то форма называется н е в ы р о ж д е н н о й, а в противном случае — в ы р о ж де н н о й. В дальнейшем мы будем использовать следующую термино- логию. Определение 2. Квадратичная форма А !х. х) называется: 1) поло жител ь н о(отрицательно) опреде- л е и н о й, если для любого неиулевогох выполняется неравенство А(х, х))0 (А(», х) О) (такие формы называются такжез и а к о о п р е д е л е и н ы м и); 2) з и а к о п е р е м е н н о й, если существуют такие х и у, что А(х, х))0, А(у, у)~0; 3) к в а з и з и а к о о п р е д е л е н и о й, если для всех х А(х, х)~0 или А(х, х) ~0, но имеется отличный огп нуля веюпор х, для которого А(х, х) =О.
В дальнейшем мы укажем признаки, по которым можно су- дить о принадлежности формы А (х, х) к одному из указанных типон. Отметим следующее важное у т в е р ж де н не. Если Я (х, у) представляет собой билинейную форму, поляр- ную положшпельио определенной квадратичной форме А (х, х), то А (х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведе- ния векторов в евклидовом пространстве, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ пл.
г Обратимся к четырем аксиомам скалярного произведения (см. п. 1 ~! гл. 4). Если число, называемое скалярным произведением векторов х и у, обозначить символом А (х, у), то эти аксиомы запишутся следующим образом: 1'. А(х, у) = А(у, х). 2'. А(х+е, у) А(х, у)+ А(е, у). 3. А(Хх, у)=ХА(х, у). 4'. А (х, х) ~ 0 и А (х, х) ) О при х ~ О. Так как билинейная форма А (л, у) полярная квадратичной форме А (х,х) симметрична, то аксиома 1' выполняется. Аксиомы 2' н 3' в сочетании с требованием симметрии выполнены в силу определения билинейной формы (см. п. 1 5 ! этой главы).
Аксиома 4' выполняется, так как квадратичная форма А (х,х) положительно определена. 3 а и е ч а н н е. Очевидно, аксиомы скалярного произведения можно рассматривать как совокупность требований, определяющих билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме. Поэтому скалярное произведение в линейных пространствах может быть задано с помощью такого вида билинейной формы. й 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов В этом параграфе указаны различные методы приведения квадратичной формы к сумме квадратов, т. е.
будут указаны методы выборатакого базиса Г = (~;, ~;, ...,,7".„) в линейном пространстве Ь, по отношению к которому квадратичная форма представляется в следующем к а н о н н ч е с к о м в и д е: А (х„ х) ~ Х~тй + Х2тй + ° + Хат1ч (7.13) (т)и т1„..., т)„) — координаты х в базисе 1. Коэффицйенты Х„ХЫ ..., Х„в выражении (7,13) называются к а но ни ч ес к н м и к о эффи пи е н та м н. Подчеркнем, что мы рассматриваем квадратичные формы в произвольном вещественном линейном пространстве.
В $6 будут изучены квадратичные формы в евклндовом пространстве н будет доказана возможность приведения каждой квадратичной формы к каноническому виду даже в ортонормированном базисе. Исходя нз результатов главы 5 в том же 5 6 настоящей главы будет получено новое доказательство теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду в произвольном (не обязательно евклндовом) вещественном линейном пространстве. Настоящий же параграф посвящен не только доказательству возможности приведения квадратичной формы к каноннческому э з) приввдвнив квддрлтичиои юормы к сумма квддидтов )эз виду, но и описанию двух методов такого приведения, имеющих большую практическую ценность и широко встречающихся в приложениях.
Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, а невырожденному преобразованию координат — преобразование базиса, то вопрос о приведении формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат. 1. Метод Лагранжа. Докажем следующую теорему.
Теорема Т.З. Любая квадратичная форма А (х, х), заданная в и-мерном линейном пространстве 7., с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду (7.13). До к аз а тел ь ство. Проведем доказательство теоремы м е т о д о м Л а г р а н ж а. Основная идея этого метода заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата. Будем считать, что А (х, х) нй О ") и в данном базисе е = = (е„е„..., е„) имеет вид (7.14) Убедимся, во-первых, что с помощью невырождеиного преобразования координат форму А (х, х) можно преобразовать так, что коэффициент при квадрате первой координаты вектора х будет отличен от нуля, Если в данном базисе этот коэффициент отличен от нуля, то нужное иевырожденное преобразование является тождественным. В случае, если а„= О, но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-либо другой координаты, то с помощью перенумерации базисных векторов можно добиться требуемого результата.
Ясно, что перенумерация является невырожденным преобразованием. Если же все коэффициенты прн квадратах координат равны нулю, то нужное преобразование можно получить следующим способом. Пусть, например, аьз Ф Оее). Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат'**): ь1=Ь вЂ” ьэ $э=Ь+ьэ ь =ьн 1=3, 4, ...,и. ') Если форма А (х, х) и О, то ее матрица н любом базисе состоит из нулевых элементов, и поэтому такая форма по определению имеет канонический в»д в любом базисе. 'е) Напомним, что А (х, х) Ф О, и поэтому хотя бы один коэффициент пы отличен от нуля. "') Определитель матрицы этого преобразования ранен 2, и потому это преобразонание ненырождениое.
7 Зэк 459 ВИЛИНЕИНЫВ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1ГЛ. 2 После этого преобразования коэффициент при К будет равен 2п22 н поэтому отличен от нуля. Итак, будем считать, что в соотношении (7.14) а22 ~ О. Выделим в выражении (7.14) ту группу слагаемых, которые содержат $2. Получим л А(х, х)=а,Д',+2ад$Д2+ ° + 2аьДД»+ ~' а,ДД;. (7АВ) Ь 2=2 Преобразуем выделенную группу слагаемых следующим образом: ои0+ 2а12ЬЬ+ " + 2а1» зД» —— а (Ь +,—" Ь+ ° " + — ' '" с ~~— ам ам а2! а„ Очевидно, выражение (7.15) можно теперь переписать так: 2 А(х, х)=ап($,+ — "Ь+ ° .
° + — ""$») + ~; а,'ДД;, (7,!6) ам ан 2,2 2 где а,', — коэффициенты прн $,$О полученные после преобразования. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат: 2!» = '»». С помощью этого преобразования и представления (7.16) для А (х, х) получим А(х, х) =апт!!+ ~ ао21;2Ь. (7.17) О 2=2 Игак, если форма А (х, х) ф О, то с помощью невырожденного преобразования координат эту форму можно привести к виду (7,17).
л Обратимся теперь к квадратичной форме ~„'а)Л,2),. Если зта Ь 2=2 форма тождественно равна нулю, то вопрос о приведении А (х,х) л и каноническому виду решен. Если же форма ~„'а);тит)! ф О, Ь2 2 то мы можем повторить рассуждения, рассматривая преобразования координат 2)„ ..., 21„, аналогичные описанным выше, н не » з1 пгиведеннв квкдгктичноп фогмы к скммв квкдгктов 1эз меняя при этом координату»1,. Очевидно, такого типа преобразования координат т(п т(„..., т(„будут невырожденнымн.
Ясно, что за конечное число шагов мы приведем квадратичную форму А (х, х) к каноническому виду (7.13) Отметим, что нужное преобразование исходных координат можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений иевырожденных преобразований. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется к а н о н и ч е с к и м. Отметим, что канонический базис определен неоднозначно. 3 а м е ч а н и е 2. Если форма А (х,х) приведена к каионн« ческому виду (7.13)„ то„ вообще говоря, ие все канонические коэффициенты Х, отличны от нуля. Оставляя в (7,13) лишь отличные от нуля »„ и перенумеровывая их заново, получим следующее выражение для А (х, х): А (х, х) = Х~»1| + Х»т(» + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
