В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 34
Текст из файла (страница 34)
б Ззк 459 ~гл. е итерлционныа методы 162 С помощью этого последнего уравнения составим итерационную последовательность векторов «Хе», определив ее рекуррентным соотношением Хх э=Хе — тАХе+тР (й=О, 1 ...) (6. 3) прн произвольном выборе «нулевого» приближения Х,. Метод простой итерации заключается в замене точного решения Х системы (6А) й-й итерацией Х„с достаточно большим номером й.
Оценим ног р еш ность Е, = Хе — Х метода простой итерации. Из соотношений (6.3) и (6.Ц сразу же вытекаег следующее матричное уравнение для погрешности Е„: Яеы = (Š— тА) Яе, (6.4) '(А~= зир —. )АХэ х~о (6.5) Напомним, что для любой симметричной матрицы Ае) операторная норма этой матрицы равна наибольшему по модулю собственному значению этой матрицы (см. и. 4 2 5 гл. 5), т. е. (А( = шах ) Л,). (6.6) Из (6,5) вытекает следующее неравенство, справедливое для любой матрицы А и любого вектора Х: ') АХ$ ~ (А))) Х!). (6.7) Из матричного уравнения для погрешности (6.4) и из неравенства (6.7) мы получим, что для любого номера й ~У~„~ ~~Š— тА~~3„~. (6.6) Докажем теперь следующую простую, но важную теорему. е) Матрица А веэывэется си им етр в е ной, если А = А'. где Š— единичная матрица порядка и.
Введем в рассмотрение норму вектора в пространстве Е" и операторную норму квадратной матрицы порядка л. Как обычно, назовем н о р м о й в е к т о р а Х число ( Х (, равное корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора. Назовем операторной нормой произвольной м а т р и ц ы А число (А(, равное либо точной верхней грани отношения (АХр)Х) на множестве всех ненулевых векторов Х, либо (что то же самое) точной верхней грани иарм ) АХ( на множестве всех векторов Х, имеющих норму, равную единице. Итак, по определению в О итзьлционныв методы гашения линейных систем !ЗЗ Теорема б.1. Для того чтобы итерационная последовательность (6.3) при любом выборе нулевого приблиокения Хь и при данном значении параметра т сходилась к точному решению Х системы (6.Ц, достаточно, чтобы было выполнено условие р = ) Š— тА ) ( 1.
(6.9) При этом последовательность (6.3) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем р. В случае, если матрица А является симметричной, условие (6.9) является и необходимым условием сходимости итерационной последовательности (6.3) при любом выборе нулевого приближения Хь.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для установления достаточности условия (6.9) заметим, что из неравенства (6.8) вытекает следующее соотношение: (6.10) Из (6.10) очевидно, что условие (6.9) обеспечивает сходимость последовательности погрешностей Хь к нулю со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем р. В случае, если матрица А является симметричной, будет симметричной и матрица Š— тА, а поэтому в силу (6.6) условие (6.9) можно переписать в эквивалентном виде р = шах ~ 1 — т1; ~ ~ 1 (6.1 1) (здесь через «!.,) обозначены собственные значения матрицы А). Убедимся в том, что условие (6.11) является необходимым условием сходимости к нулю последовательности (Яь) при любом выборе нулевого приближения Хь.
Предположим, что условие (6.11) не выполнено. Тогда существует собственное значение Х„ удовлетворяющее неравенству !1 — тХ,~ ) 1. Обозначим через Хи> отвечающий этому собственному значению собственный вектор матрицы А и выберем нулевое приближение Х, так, чтобы Еь совпало с Х~п. Тогда, последовательно записывая соотношение (6А) для номеров 1, 2, ..., й, мы получим, что Яь = = (1 — ть,)ьль. Из последнего соотношения в силу неравенства 1 — тХ, ! ) 1 вытекает, что Щ! не стремится к нулю прн й -ь ьо. ео ема 6.1 доказана, разу же заметим, что для практических целей недостаточно установить только факт сходимости последовательности итераций. Центральной задачей численных методов является оценка скорости сходимости. Очень важно знать, как наилучшим способом распорядиться стационарным параметром ч.для того, чтобы получить наиболее быструю сходимость. Остановимся на этом вопросе подробнее. 1гл.
з итвззционныв мнтоды Пусть задана е-точность, с которой нам требуется получить точное решение системы (6.!). Требуется найти итерацию Х» с таким номером й, для которого 12,1 < е12,(. (6.12) Из (6.9) и (6.10) вытекает, что ЦЯе) < р" 12е), н, стало быть, (6.12) выполняется при р' ~ з, т. е. при й~— 1и (1/е) )и (!/р) Отсюда видно, что для уменьшения числа итераций й, достаточных для достижения требуемой е-точности, следует выбрать параметр т так, чтобы получить минимум функции р = р (т) = = 1Š— тА). Считая матрицу А симметричной и положительно определенной, мы приходим к следующей задаче оптимизации: найти минимум функции ш!и р(т) = ппп1Š— тА) = цйп (щах ) 1 — тд,)).
Решение втой и несколько более общей задачи, предложенное А. А. Самарским, излагается в следующем пункте, Там будет доказано, что указанный минимум функции р = р (т) достигается длЯ аначениЯ т = 2/(Т, + Т,), где У, и Те — соответственно минимальное н максимальное собственные значения матрицы А, причем минимальное значение функции р(т) равно 1 —— Уе те те те те + уе Уе 2. Общий неявный метод простой итерации. Снова обратимся к решению линейной системы (6.1), но на этот раз заменим итерационную последовательность (6.3) более общей итерационной последовательностью, определяемой соотношением В ~"" дз +АХ =Р, (6,13) в котором В представляет собой некоторую «легко обратимую» квадратную матрицу и-го порядка, а т — стационарный параметр.
Такой метод составления итерационной последовательности и называется неявным методом простой итерап н и, Рассмотренный в предыдущем пункте явный метод простой итерации получается нз неявного метода в частном случае В = Е, где Š— единичная матрица порядка л. Для того чтобы сформулировать в удобной для приложений форме условие сходимости общего неявного метода простой итерации, напомним некоторые понятия, введенные в предыдущей главе.
з 11 итврдционныа мнтоды няшнния линвиных систкм Напомним, что матрица А называется п о л о ж и тел ь но о и р ед ел е н но й, если (АХ, Х) >О для любого ненулевого вектора Х, В главе 5 было доказано, что необходимым и достаточным условием положительной определенности симметричной матрицы А (или, что то же самое, самосопряженного линейного оператора А) является положительность всех собственных значений этой матрицы (этого оператора).
Если матрица А является положительно определенной, то мы договоримся писать неравенство А > О. Далее договоримся писать неравенство В > А (или А <В) в случае, если  — А > > О (т. е. если матрица  — А является положительно определенной). Докажем следующую замечательную теорему '). Теорема 6.2 (теорема А. А. Самарского). Пусть мшприца А является симметричной и выполнены условия А > О, В > ) О (симмгтричность матрицы В, вообизг говоря, не предполагается). Тогда для того чтобы итерационная последовательность, определяемая соотношением Ха„-Хз +,1Х (6.13) при любом выборе нулевого приближения Хе сходилась к точному решению Х системы АХ = Р достаточно, чтобы были выполнены условия 2В тА, тА) О. (6.14) При дополнительном пргдположгнии о том, что матрица В является симметричной, условия (6.14) нг только достаточны, но и необходимы для сходимости указанной итерационной последовательности при любом выборе нулевого приближения Х .
Доказательство. 1) Достаточность. Прежде всего оценим погрешность Я» = Մ— Х. Так как Х удовлетворяет уравнению АХ = Р, а Ха соотношени1о (6.13), то для Еа получим соотношение (6 16) Установим для погрешности Лз так называемое основное э не р г ет и ч ес к ое со от ношение. '1 Эта теорема является частным случаем доказанного навестным советским математяком А. А, Самарсннм значительно более общего утвержденна. (А. А. Самарский.
Введение в теорию разносгных схем. — Мл Наука, 1971.) 1ГЛ. В ИТЕРДЦИОНИЫЕ МЕТОДЫ Умножая (6.16) скалярно на вектор 2(2»„— Хд) = 2т получим равенство 2т(В "" д, д+' " 1+2т(АЯ '+' ~д) =О, (6.16) т Если воспользоваться обозначением С = 2 — ТА н соотноше- нием Еды+ зд Еды — Ед Яд+д — Ед т Ед~д — Ед эд— 2 2 2 2 т то равенство (6.16) можно переписать в виде т ~С "" д, "" д )+ (А(2д„+Яд), Яд, — Яд) =О. (6.17) Далее заметим, что в силу симметрии матрицы А второе слагаемое в (6.!7) равно (АЯддм 2д,) — (АЯд, Ед). Это приводит нас к основному энергетическому соотношению: т(С вЂ” "", '", — '"', ")+(Аг„„, г„,)-(Аг„, г,).
(6А6) Для доказательства достаточности условий (6.14) остается с помощью основного энергетического соотношения доказать сходимость к нулю последовательности (12д11. Из основного энергетического соотношения и яз положительной определенности матрицы С = 2 — тА вытекает, что (АЯддм Яд) < (АЯд, Ед), т. е.
вытекает невозрастание последовательности ((АЯд, Яд)). Из условия А > 0 вытекает, кроме того, что эта последовательность ограничена снизу нулем, а поэтому сходится. Но тогда из основного энергетического соотношения следует, что 11т (~С дд+~ — 2д ед д-зд ) 0 (6.19) Т Напомним, что для положительно определенной матрицы С всегда найдется 6 > 0 такое, что (СХ, Х) ) 6 (Х, Х) для любого вектора Х или, что то же самое, 1Х(д ~ — (СХ, Х). 1 Последнее неравенство позволяет заключить, что из равенства нулю указанного выше предела (6.19) следует, что 1нп ~ Ед,д — Ед ~ = О.
(6.20) д ао з ы нтзььционныз методы ьешзння линвпных систем 1зт Для завершения доказательства достаточности следует воспользоваться соотношением В '"" '" + Аг„- О, ч из которого в силу существования для положительно определенной матрицы А ограниченной обратной матрицы А-г вытекает, что в 2„= — А- —, (2„„-2,). Последнее равенство н соотношение (6,20) дают право заключить, что 1пц ) 2ь1 = О. Достаточность доказана.
ь в Для доказательства необходимости условий (6.14) при дополнительном предположении о том, что матрица В симметрична, привлечем следующую лемму. Лемма. Пусть С вЂ” некоторая симметричная матрица, а  — симметричная положительно определенная матрица. Тогда матрица С является положительно определенной в том и только в том случае, когда являются положительными есе собственные значения задачи СХ = ) ВХ. Для доказательства леммы заметим, что так как матрица В является симметричной и положительно определенной, то (в силу теоремы 6.24 из п, 6 З 6 гл. 6) существует самосопряжениый положительно определенный оператор Ви' такой, что для соответствующей ему матрицы Ви' справедливо равенство Впз х х Виз = В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
