В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть М' — множество всех т-мерных подпростраиств пространства )г. Справедливо следуюшее важное м и и и м а к с и о е свойство собственных значений. Теорема 5.22. Пусть А — самосопрюсенный оператор и Л„ Л„..., ˄— его собствгнныв значенил, занумерованные в горядкв, указанном в замечании 1. Тогда Л„„ппп шах — ' (Ах, х) х«в <х, х) (5.64) ) Сымзол еллве обоаыачаат оРтогоыальыость ьаытооа ее ы ва, тельно, имеется максимальное собственное значение Л, этого оператора, которое можно найти с помощью соотношения ') Л,=шах(Ах, х). ге< 1 х«н Кроме того, можно указать такой вектор ее, е, ! е„<<е,(! = 1, что Ае, = Л,е,. Обращаясь далее к (и — 2)-мерному надпространству 1'„ ортогональному векторам е, и е, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы построилг собственный вектор е„))е,<! = 1, ортогональный е, и е,.
рассуждая и далее таким же образом, мы последовательно найдем и взаимно ортогональных собственных векторов е„е„..., е„, удовлетворяющих условию !(е, <! = 1, 1=1, 2,...,л. 3 а меч а н не 1, Договоримся в дальнейшем нумеровать собственные значения самосопряженного оператора в порядке убывания с учетом повторяющихся, т. е.
кратных собственных значений. При этом Л, =. Л, ~ ... ~ Л„и отвечающие им собственные векторы е„е„..., е„можно считать взаимно ортогональными и удовлетворяющими условию 1ее!) 1. Таким образом, линеЙные опееатоРЫ (гл. з До к аз а тел ь от в о. Пусть Š— линейная оболочка собственных векторов е„е„..., е„, оператора А (см. замечание 1). В силу замечания 2 (Ах, х) шах ( ' — — ).„+1. ХХБ»! Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости соотношения (АХ, Х) (АХ, Х) шах — '~ !пах — '=) +, е (х х) 6Б (х х) (5.65) для любого Е Е Ю .
Перейдем к доказательству соотношения (5.65). Обозначим символом Ех ортогональное дополнение подпространства Е (см. п. 3 З 2 гл. 4). Из теоремы 2.10 следует, что размерность Ех равна и — л!. Следовательно, б(гп Ех -)- б)т Е „= (а — л!) )- (т -)- 1) = и + 1 ) !!. т+1 ю»+1 Имеем далее Ах=А ~ с,е, ~ с„Аем Поскольку е„— соб- »-1 З 1 ственные векторы оператора А, то нз последних соотношений »1+1 получаем Ах Е сзЦеь. Отсюда н нз ортонормнрованностн е, з-! следует справедливость соотношения ! т+1 я+1 »+! (Ах, х) ~ ~ сдЛ~еы ~; с,е,) Е )с„)!)„.
(5.67) З-1 » 1 З 1 Мы занумеровали собственные значения в порядке убывания с учетом возможной их кратности. Поэтому Х +, ~ )!д, з = 1, 2, ..., л!. Отсюда и нз ссютношеннй (5.67) и (5.66) получаем »1+1 »1+1 (Ах, х) ~~ ~)сь)!Хз~ ~. ! Е )сь)1= Х»1+м З 1 з-! Это означает, в силу теоремы 2.9, что пересечение подпространств Ех и Е „содержит ненулевой элемент. Итак, существует »+1 элемент х такой, что х ) Е, 1х) = 1, х Е Е „, т.
е. х= ~ сзем Ф=! Так как )х) 1 н базис е„е„..., е „ортонормированный, то в силу теоремы Пифагора (см. и. 2 $ 1 гл. 4) »+1 )х)! ~ )с„)'=1. (5.66) З-1 453 линвйныв сдмосопеяжвнныв опвядтовы ~зт Замечая, что для любого х чь 0 норма элемента х/)х) равна ! н )х~ 1, а также учитывая, что х ~ Е, получнм (Ах х) У х х шах ' ) —— шах ~А--„-)Г, -1 — )» (Ах, х)» й +,. Итак, соотношения (5.65) установлены. Теорема доказана. 5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона — Кэлн. Рассмотрим самосопряженный оператор А и собственные значения Х, » Х, » ... » Х„этого оператора. При этом е„е„..„е„— ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, отвечающих Р.,).
Пусть х Е У. Тогда х= Е (х, ед)ед (5.68) (см. п. 3 9 2 гл. 4), а так как Аед = Хдед, то с помощью (5.68) получаем Ах= ~ Хд(х, ед)ед, ддн Оператор Рд, определяемый соотношением Р„х=(х, ед)ед (5.69) (5.70) х= Е Рдх. (5.7)) А = Е)дРд ддн (5.72) называется п р о е к т о р о м на одномерное подпространство, порожденное вектором ед. Из свойств скалярного произведения сразу же следует, что Р, — самосопряженный линейный оператор. Отметим следующие важные свойства проекторов: 1'.
Рд = Рд (отсюда следует, что Рд = Рц где т — натуральное). 2'. Р„Р,=О, где й~)'. Доказательство этих свойств следует из соотношений (Р,Р,)х= Р,(Р;х)=Р„(х, е,)е,= (х, ед)ед при й=!, = (х, е,) (е„е,) ед = ~ О прн йчь(. Заметим также, что непосредственно из определення (5.70) следует, что Рд коммутирует с каждым оператором, который коммутирует с А. Из соотношений (5.68), (5.69) н (5.70) получаем следующие выражения для х н Ах: !Гл. з линеиные ОпеРАТОРы Из равенства (5.71) следует, что оператор ЕР„является »=! тождесп<еенным; л т=ЕР».
(5,73) »=! Из равенства (5,72) получаем так называемое с п е к т р а л зное разложение самосопряженного оператора; л А=Е Л»Р». (5.74) Из свойств 1' и 2' проекторов и из соотношения (5.74) вытекает следующее выражение для А': л А'= Е Л»Р». » 1 Очевидно, вообще для любого целого положительного з л А'= ~ Л»Р». (5.75) »=! Рассмотрим произвольный полинам р(Л)= ~„с,Л!. По опреь=! делению считают р(А) = ~ с»А». Обрашаясь к соотношению (5.75), легко получить следующее выражение для р (А): р(А) = л» р(Л) Р,. <5.75) Дглэжем «. едующую теорему.
Те"рема 5.23 (теорема Галгальтона — Кали) Если А— самос, ряженн»<й оператор и р (Л) = пе1 (А — ЛТ) — характери< .ически«многочлен етого оператора, то р(А) = О. Д л к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если А — самосопряменный оператор и Л, — собственные значения етого оператора,;и, согласно теореме 5.8, Л, является корнем характеристическог уравнения, т. е р (Л,) = О. Отсюда и из соотношения (5.76) следует, что р (А) = О.
Теорема доказана. 6. Положительные операторы, Корни пг-й степени из оператора. Самосопряжеиный оператор А называется п о л о ж и т е л ьн ы м, если для любого м из 1' справедливо соотношение (Ам,,к) ~ О. (5.77) линеяные сАмосопРяженные ОпеРАТОРы 139 Так как Х» ~ 0 (см. только что доказанное утверждение), то можно ввести следующий самосопряжениый Оператор В: В Е 'А»'™Р».
» ! Согласно (5.70) справедливо соотношение (Р»х, х)~ О, из которого следует положительность операторов Р„ и положительность оператора В (см. (5.78)). (5.78) Еслк оператор А — положительный и из условия (Ах, х) 0 следует, что х = О„то А называется п оп о ж и тел ь но о п р ед ел е и н ы м о пер втором. Положительные и положительно определенные операторы соответственно обозначаются символами А ~ 0 и А > О.
Отметим следующее простое утверждение. Каждое собстеенное значение положительного (полозсительно определенного) оператора неотрицапильно (полоъсительно). Это утверждение следует из простых рассуждений. Пусть Х вЂ” собственное значение оператора А. Тогда, согласно лемме п. 4 этого параграфа, можно указать такой элемент х, »х» 1, что Х (Ах, х). Отсюда и из соотношения (5.77) получаем, что ?» ~ 0 для положительных операторов и Х ) 0 для положительно определенных операторов, Утверждение доказано. Введем понятие ко р и я т-й степ е н и (т — натуральное число) из оператора.
Определение. Корнем т-й степени из оператора А казыеается оператор В такой, что В'" = А. Корень т-й степени из оператора А обозначается символом А"". Естественно выделить какой-либо класс операторов, для которых имела бы смысл операция нахождения корня т-й степени. Определенный ответ на этот вопрос дается следующей теоремой. Теорема 6.24. Лусть А — положительный самосопряженный оператор, А р- О. Тогда для любого натурального т существует полозсительнйй самосопрязсенный оператор А1~"', А!! ~ О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Ц вЂ” собственные значения оператора А, и пусть»е»» — ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим далее через Р, — проектор на одномерное подпространство, порожденное вектором е„. Согласно предыдущему пункту имеет место спектральное разложение (5.?4) самосопряженного оператора А: л .4- Е 1»Рк. (5.74) » ! лннеиные опаРАТОРы 1гл. з Из свойств 1' и 2' проекторов Рь (см. п, 5 этого параграфа) л вытекает, что В'"= Я ХьР„. Сравнивая это выражение для В'" Ф=! с выражением (5.74) для А, получим В"' = А, Выше была уста.
новлена положительность оператора В. Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е 1. Отметим без доказательства, что существует единственный положительный оператор А'/"'. 3 а м е ч а н и е 2. В ортонормированном базисе «в,«собственных векторов оператора А матрица оператора А'/ имеет следу. ющий вид: 0 О ... Х!/ й 6, Приведение квадратичной формы к сумме квадратов В этом параграфе мы изучим вопрос о выборе такого базиса„ в котором квадратичная форма (инвариантиая квадратичная функция координат вектора; точно зто понятие определяется ниже) имеет наиболее простой вид.
Квадратичные формы подробно изучаются в главе 7. Там будут, в частности, рассмотрены различные способы приведения таких форм к сумме квадратов. Введем понятие так называемых э р м и т о в ы х ф о р м. Определение. Полуторалинейная форма В (х, у) называется эр м ит ов ой, если для любых х и у справедливо соотношение (5.79) В (х, у) В(х, у). Согласно следствию из теоремы 5.11 любая полуторалинейиая форма В (х, у) (в том числе и эрмитова) может быть единственным образом представлена в виде (5. 80) В(х, у) =(Ак, у), где А — линейный оператор.
Докажем следующие два утверждения, в которых выясняются условия, при которых полуторалинейная форма является эрмитовой. Теорема В.ЗВ. Для того чтобы полуторалинейная форма В (х, у) являлась*эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении (5,80) этой формы был самосонряженным (А = А*], 4 41 пгивндвнив квлдэлтичнои еоэмы к схима калдглтов 14! Доказательство. Действительно, если А — самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения получим В(х, у)=(Ах, у) = (х, Ау)=(Ау, х)=В(у, .«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
