В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Из него и из неравенства (5.54) получаем следующее неравенство: (Ах, х) ! «)А!!(х!!а. Поэтому число (а = зпр !(Ах, х) ! (5.56) ам 1 удовлетворяет соотношению р «!(А1. (5.57) Отметим, что из равенства (Ая, е! = (А е , е 1(! л !!а, !! (! ' (! (! ) л'чьО, и определения числа )а (см. (5.56)) вытекает следующее неравенство: ((Ал', л)! «)г((х(е. (5.58) Обратимся теперь к следующему очевидному тождеству: 4 гсе (Ах, у) = (А (х + у), х + у) — (А (х — у), х — у) ') г!апомним, что !(Ах! 'г'(Ак,Ах). Отсюда следует, что )Ах!! представлиет собой непрерывную функцию х, которве на аамкиутом множестве ! х ) = 1 достигает конечного наибольшего аначеннн.
$51 ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ )З) (в этом тождестве символ йе (Ах, у) обозначает действительную часть комплексного числа (Ах, у); само тождество легко вытекает из свойств скалярного произведения, см. п. 1 3 3 гл. 4). Беря левую и правую части этого тождества по модулю, используя свойство модуля суммы и неравенство (5.58), получим следующие соотношения "). 4 $ йе 1Ах, у) ц «)г ц х+ у ц' + )з ц х — у цз = 2)з (ц х цз + ц у цз).
Отсюда при ЦхЦ = ЦуЦ = 1 получаем неравенство Ц Ке (Ах, у) Ц «)з, Полагая в этом неравенстве у =Ах/ЦАхЦ (очевидно, ЦуЦ = 1) и учитывая, что число (Ах, Ах) = ЦАхЦз является вещественным (поэтому Ке (Ах, Ах) = (Ах, Ах)= ЦАх Цз), получим ЦАхЦ ~ р, ЦхЦ = 1. Отсюда, согласно неравенству (5.53), найдем ЦАЦ ~ р. Для завершения доказательства остается сравнить полученное неравенство с неравенством (5.57) и воспользоваться определением числа р (см (5 56)) 4. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов. В этом пункте мы докажем ряд важных свойств линейных операторов, связанных с понятием нормы. Сначала мы установим необходимое и достаточное условие самосопряженности оператора.
Докажем следующую теорему. Теорема а.з8. Длл того чтобы линейный оператор А был самосолряженны.н, необходимо и достаточно, чтобы 1ш(Ах, х)=0««). Д о к аз а тел ь с та о. По теореме 5.13 произвольный линейный оператор А может быть представлен в виде А = Ал + (АО где Ал и А, — самосопряженные операторы. Поэтому (Ах, х) =(Алх, х)+1(А,х, х), причем, согласно теореме 5.15, для любого х числа (А„х, х) и (А,х,х) — вещественные. Следовательно, зти числа соответственно равны действительной и мнимой частям комплексного числа (Ах, х): йе(Ах, х)=(А„х, х). 1ш(Ах, х) =(А,х, х). Допустим, что А — самосопряжениый оператор.
') Мы использовали при атом определение нормы элемента в коиплексном евклидовом пространстве. ««) Символ 1т (Ах, х) обозначает мнимув часть комплексного числа (Ах, х). Равенство )т (Ах, х) = О означает, что число (Ах, х) является вещественным. линаиныв опвкатогы Ггл. з 1эа По теореме 5.15 в этом случае (Ах, х) — вещественное число, и поэтому 1ш (Ах, х) = О. Необходимость условия теоремы доказана.
Докажем достаточность условия теоремы. Пусть 1ш (Ах, х) = (А,х, х) О. Отсюда следует, что ) А, ( = О, т. е. А, = О. Поэтому А = Ая, где А„— самосопряженный оператор. Теорема доказана. В следующих утверждениях выясняются некоторые свойства собственных значений самосопряжеииых операторов. Лемма. Любое собственное значение Х произвольного линейного саиосопрязкенного оператора А в евклидовом пространстве равно скалярному произведению (Ах, х), где х — некоторый век.
тор, удовлетворяющий условию 1х( = 1: Х=(Ах, х), )х1=1, (5.59) Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Х вЂ” собственное значение оператора А, то существует такой ненулевой вектор з, что Аз=Ля. (5.60) Полагая х = з/(1з1 (очевидно, !)х) = 1), перепишем (5.60) следующим образом: Ах= кх, 1х) = 1. Отсюда получаем соотношения (Ах, х) = Х (х, х) = Х(х)ь = Х, т. е. (5.59) имеет место. Лемма доказана. Следствие, Пусть А — самосопряженный оператор и Х— любое собственное значение етого оператора. Пусть далее т= 1п1 (Ах„х), М знр (Ах, х).
ьч ~ ьч=! (5.61) Справедливы следующие неравенства; т < Х ~ М. (5.62) 3 а м е ч а н и е !. Так как скалярное произведение (Ах,х) представляет собои непрерывную функцию от х, то на замкнутом множестве 1х1 = 1 эта функция ограничена и достигает своих точных граней т и М. 3 а м е ч а н и е 2. Согласно теореме 5.16 собственные значения самосопряжениого оператора вещественны. Поэтому неравенства (5.62) имеют смысл.
Доказательство следствия. Так как любое собственное значение Х удовлетворяет соотношению (5.59), то, очевидно, каждое собственное значение заключено между точными гранями т и М скалярного произведения (Ах, х), Поэтому неравенства (5.62) справедливы. ф $1 линеяные сАмосопряженные ОпеРАТОРы 133 Мы докажем, что числа т н М, определенные соотношениями (5,6!) являются соответственно н а н м е н ь ш н м н н а Ибо л ь ш н м собственными значениями самосопряженного оператора А Предварительно убедимся в спрзведлнвостн следующего утверждения. Теорема В.И.
Пусть А — самосопряженный оператор и, кроме того, (Ах, х) ~ О для любого х. Тогда ~ А ~ равна наибольшему собственному значению этого оператора "). Д о к а з а т е л ь с т в о Мы уже отмечали (см. утверждение предыдущего пункта), что)А) = знр ) (Ах,х) ). Так как (Ах,х)~ 1«З ! ~ О, то 1А) = зпр (Ах, х). Согласно замечанию 1 этого пункта очи=! длЯ некотоРого Х„'1хо1= 1„ (Ахм хо)=~А1=Л Обращаясь к определению нормы н используя только что написанные равенства, получим соотношения «*) !! ( 4 — ЛТ) хо Р = ) 4хоР— 2Л (Ахо хо) + Л '1 хо1з = = $ А )з — 2 3 А $5 А $+ $ А ~з 1 = О, Таким образом, (А — Л1) х, = О, илн иначе Ахо = Лхо, т.
е. Л = )!А1 — собственное значение оператора А. То, что Л— наибольшее собственное значение, вытекает нз только что установ. ленного следствия нз леммы этого пункта. Теорема доказана. Докажем теперь, что числа т н М (см. (5 61)) являются нанменьшнм н наибольшим собственными значениями самосопряженного оператора А. Теорема б,20. Пусть А — самосопряженный оператор, а т и М вЂ” точные грани (Ах, х) на множестве 1х'1 = 1. Эти числа представляют собой наименьшее и наибольшее собственные знаюния оператора А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевндно„достаточно доказать, что числа т н М вЂ” собственные значения оператора А. Тогда нз неравенств (5.62) сразу же следует, что т н М являются соответственно наименьшим н наибольшим собственными значениями. Докажем сначала, что М вЂ” собственное значение. Для этого рассмотрим самосопряженный оператор В = А — тр. Так как (Вх, х) =(Ах, х) — т(х, х) ~ О, то оператор В удовлетворяет условиям теоремы 5.19 н поэтому «) Так как собственных значения конечное число и онн вещественны, то нз ннх можно указать наибольшее «') мы также всснользовалнсь равенством 1Ах«1« = 1А 1з, которое следует нз соотношения 1А1= (Ахо, хо) а~1Ах«1 н1А1 онр 1Ах1.
злз о 1гл. а ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ норма 1В1 этого оператора равна нанбольшему собственному значению. С другой стороны 1В~ = зпр (Вх, х) = зпр (Ах, х) — т= М вЂ” т. !н!)=! ит ! Таким образом, (М вЂ” т) — наибольшее собственное значение оператора В. Следовательно, существует такой ненулевой вектор х„что Вх, = (М вЂ” т) х,. (6.63) Так как В = А — т1, то Вхе = Аха — т1хе = А.«е — тхе. Подставляя это выражение Вх, в левую часть равенства (5.63), получим после несложных преобразований соотношение Ах = = Мх,. Таким образом, М вЂ” собственное значение оператора А.
Убедимся теперь, что число т также является собственным значением оператора А. Рассмотрим самосопряженный оператор В = — А. Очевидно, — т = зпр (Вх,х). Согласно только что проведенному дока)кр ! зательству число — и представляет собой собственное значение оператора В. Так как В = — А, то т будет являться собственным значением оператора А.
Теорема доказана. В следующей теореме выясняется важное свойстно собственных векторов самосопряженного оператора. Теорема 6.21. У каждого самосолрлженного линейного оператора А, действующего в л-мерном евклидовом лространстве сущесл!вует л линейно независимых попарно ортогоналвных и единичных собственных векторов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л, — максимальное собственное значение оператора А (Ла = анр (А,«, х)).
Обозначим через вд )к)=! собственный вектор, отвечающий Л, н удовлетворяющий условию 1еь1= 1 (возможность его выбора следует нз доказательства леммы этого пункта), Обозначим через Уь (л — 1)-мерное подпространство пространства У, ортогональное к в,. Очевидно, У, — инвариантное подпространство оператора А (т. е. если х ~ У„ то я Ах ~ У!), Действительно, пусть х Е У, (т.
е. (х, в!) О). Тогда ') (Ах, е,) =(х, Ае,)=Л,(х, е,)=0. Следовательно, Ах — элемент У„н поэтому У, — инвариантное подпространство оператора А. Это дает нам право рассматривать оператор А в подпространстве У,. В этом подпространстве А будет представлять собой самосопряженный оператор. Следова- ') Мы нсппльаовалн свойство санссппряженнссгн оператора (Ах, в,) = = (х, Ае,) н тп обстоятельство, что ва — собственный веитпр оператора: Ав, = Лье!.
а а) линяиныз слмосопряженные опярлторы )зь (1 при 1 0 прн < ~(/. 3 а м е ч а н и е 2. Из рассуждений в доказательстве теоремы 5.2! следует соотношение Л „= гпах ' . Это соотио(Ах, х) х«е (Х «) а Ьа,...,хе шение можно также записать в виде Л +л — — гпах (Ах, х) г (х х) где ń— линейная оболочка векторов е„е„..., е„. Справедливость замечания вытекает из того, что (х, х) = !,'х((е, и поэтому причем норлгз элемента х')«1 равна !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
