В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 23
Текст из файла (страница 23)
такие отображения, при которых образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента. При этом мы будем рассматривать к о м п л е к с н ы е линейные и евклидовы пространства. Результаты, относящиеся к вещественным пространствам, будут оговорены специально. й 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства 1. Определение линейного оператора. Пусть У и йу — линейные пространства, размерности которых равны соответственно л и т. Мы будем называть оператором А, действующ и м и з У в Ф', отображение вида А: У -ь йг, сопоставляющее каждому элементу х пространства У некоторый элемент у пространства й7. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах. Определение. Оператор А, действующий иэ У в Яг, называется линейным, если для любых элементов х, и х, пространства У и любого комплексного числа Х выполняются соотношения: 1'.
А (х, + х,) = Ах, + Ах, (свойство аддитивности оператора). 2'. А (Хх) = ХАх (свойство однородности оператора). 3 а м е ч а н и е 1. Если пространство Ф' представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор А, действующий иэ1'в Я7,наэываетсялинейной формой или линейным функиионалом. 3 а м е ч а н и е 2. Если пространство ЯГ совпадает с пространством У, то линейный оператор, действующий в этом случае из У в 1', называют также линейным преобразованием пространства У. 2.
Действия над линейными операторами. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из У в ЯГ, определим операции с у м м ы таких операторов и у и н аж е н и я оператора на скаляр. лннеяныа опаэлтоэы 106 [гл. з (А + В) х Ах+ Вх. (5 1) П р о и з в е д е н и е м линейного оператора А на скаляр Х назовем линейный оператор ХА, определяемый равенством (ХА) х = Х (Ах).
(5.2) Назовем н у л е в ы м оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства У в нулевой элемент пространства (Р. Иными словами, оператор О действует по правилу Ох= О. Для каждого оператора А определим п р о т н в о п о л о жн ы й оператор — А посредством соотношения — А =( — 1)А. Легко проверить справедливость следующего утверждения. Множеспао Е (У, Я7) всех линейных операторов, дсйствуюи~их иэ У в %', с указанными выше операциями суммы и умножения на сналяр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.
3. Свойства множества Е (У, У) линейных операторов. Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из У з У, т. е. изучим подробнее множество Е (У, У). Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор х, действующий по правилу Рх = х (здесь х — любой элемент У).
Введем понятие п р о и з в е д е н н я линейных операторов из множества Е (У, У). Произведением операторовАиВизЕ(У, У) называется оператор АВ, действующий по правилу (АВ) х = А (Вх). (5 3) Отметим, что, вообще говоря, АВ Ф ВА. Справедливы следующие свойства линейных операторов нз Е(У, У): 1'. й(АВ)=(ХА)В. 2'. (А+В)С АС+ВС. 3'. А(В+С) АВ+ АС 4'. (АВ) С = А (ВС). (5.4) Пусть А и  — два линейных оператора, действующих из У в йГ. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством в )) пОнЯтие линейнОГО ОпеРАтОРА.
ОснОВные сВОйстВА )ОО Первое из свойств (5.4) следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. (5.2)) н определения произведения операторов (см. (5.3)). Перейдем к обоснованию свойства 2', Имеем, согласно (5.1), (5 2) и (5 3), ((А + В) С) х = (А + В) (Сх) = А (Сх) + В (Сх) = = (АС) х + (ВС) х = (АС + ВС) х, Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В) С = АС + ВС.
Свойство 2' установлено. Совершенно аналогично доказывается свойство 3'. Свойство 4' справедливо, поскольку, согласно определению (см (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ) С и А (ВС) совпадают и, следовательно, тождественны. 3 а м е ч а н и е 1. Свойство 4' позволяет определить произведение АВ . С любого конечного числа операторов из 1. (У, У) и, в частности, п-ю степень оператора А с помощью формулы Ал АА А л еввввжвтелеа Очевидно, справедливо соотношение Ал+ж =А"А'". Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из Е,(1', У), Определение 1. Линейный оператоа В из Е (У, У) назыеается о б р а т н ы м для оператора А из е.
(У, У), если еыполняется соотноитение АВ = ВА =! Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А г. Из определения обратного оператора А ' следует, что для любого х Е 1'справедливо соотношение А 'Ах=х. Таким образом, если А ТАх= О, то х = О, т. е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = О следует, что х= О. Иы будем говорить, что линейный оператор А действуег взаимно однозначно из У в У, если любым двум различным элементам х, и х, отвечают различные элементы у, = Ах, и у, = Ах, Если оператор А действует взаимно однозначно из У в У, то отображение А: У- У представляет собой отображение У на У.
т. е. каждый элемент у (- У представляет собой образ некоторого элемента х Е У: у= Ах. Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что н линейно независимых элементов х„х„..., х„пространства ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ игл. 3 ыо отображаются посредством оператора А в п линейно независимых элементов Ах„Ах„..., Ах„этого же пространства. Итак, пусть х„х„..., х„— линейно независимые элементы У.
Если линейная комбинация агАх, + а,Ах, + ... + а„Ах представляет собой нулевой элемент пространства У: а,Ах, +а,Ах,+ ° ° ° +а„Ах„=О, то нз определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что А(и,х,+а,х,+ ° ° ° +сс,х„)=0. Так как оператор А действует из У в У взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что а,х, + а,х, + ... ...+ а„х„ = О. Но элементы х„, х„ ...,х„ линейно независимы.
Поэтому а, = а, = ... = а„ = О. Следовательно, элементы Ах,, Ах„..., Ах„также линейно независимы. Отметим следующее у т в е р ж де н и е. Для того чтобы линейный оперопюр А из Т. (У, У) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из У в У. Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из У в У. Это означает, что некоторым различным элементам х, и х„х, — х, „-ь 0 из У отвечает один и тот же элемент у = =Ах, = Ах,.
Но тогда А (х, — х,) = О, и поскольку А имеет обратный, х, — х, = О. Но выше было отмечено, что х,— х, ~ О. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения. Докажем достаточность этого условия. Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из У в У. Тогда каждому элементу у ~ У отвечаег элемент х ~ У такой, что у =Ах.
Поэтому имеется оператор А А, обладающий тем свойством; что А Ау =А ' (Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А ' линейный. По определению А ' — обратный оператор для оператора А. Достаточность условия утверждения также доказана. Введем понятия я д р а н о б р а з а линейного оператора. Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства У, для которых Ах= О.
Ядро линейного оператора А обозначается символом нег А. Если кег А = О, то оператор А действует взаимно однозначно нз У в У. Действительно, в этом случае из условия Ах = 0 вытекаег х = О, а это означает, что различным х, и х, отвечают различныеу,=Ах, иу,=Ах, (если быу,=у„то А(х,— х,)=0, т.
е. х, = х, и элементы х, и х, не были бы различны). Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие йег А 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный. й р) пОнЯтие линейнОГО ОпеРАтОРА. ОснОВные сВОЙстВА 111 Определение д. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у иространства У, представимых в виде у= Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом !Гп А*). 3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что если 1сег А = О, то пп А = У, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием 1сег А = О условие пп А = У также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
3 а м е ч а н и е 3. Очевидно, ядро (сег А и образ пп А— линейные подпространства пространства У. Поэтому можно рассматривать размерности йгп (1сег А) и йгп (нп А) этих подпространств. Справедлива следующая теорема. Теорема б.1. Пусть размерность йгп У пространства У равна и, и пусть А — линейный оператор из 1. (У, У). Тогда йш (пп А) + йш (1сег А) = л. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как )гег А представляет собой подпространство У, то можно указать такое подпространство пространства У, что У будет представлять собой прямую сумму У, и (рег А *"). Согласно теореме 2.10 б)ш У, + йгп (1сег А) = л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
