В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Справедливость для нормы аксиомы 2' почти непосредственно вытекает из аксиом 1' и 3' скалярного произведения. Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3', т. е. неравенства (4.8). Будем опираться иа неравенство Коши— Буняковского (4.6), которое перепишем в виде )(х, у)~ ~ у'(х, х) зу$, у) . (4.7') *) В случае (х„х) = О квадратный трехчлен вырождается а линейную функцню, но а этом случае элемент х яэлнетоя нулеаым, так что (х, у) = О н неравенство (4.7) также спрааедлнао.
г 11 ввшистванноа авклидово пзостилнство вт С помощью последнего неравенства, аксиом 1' — 4' скалярного произведения н определения нормы получим »«-»у1-»» .»». ««»»= »». «~~.ь» у».»»», »»« ~ р'(х, х)+ ьГ(х х)*~/(у, у)+(у, у) = ~г (у'(х, х> + у' (у, у)1' = ~/ (х, .«) + у' (е, у) (( х ((+ (( у ((.
Теорема доказана Следсгггвие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух влементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8), Заметим далее, что в любом в е щ е с т в е н н о и евклндовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными злементамн х и у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем у г л о м»р между элементами х и у тот (нзменяющнйся в пределах от О до и) угол, косннус которого определяется соотношением (х з) (х.
з) соз»р Данное ними определение угла корректно, нбо в силу неравенства Коши — Буняковского (4.7') дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы. Далее договоримся назьаать два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е о р т о г о и а л ь н ы м и, если скалярное произведение зтих злементов (х, у) равно нулю (в этом случае косинус угла»р между элементами х н у будет равен нулю). Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х + у двух ортогональных элементов х н у гнпотен у з о й прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у.
Заметим, что во всяком евклндовом пространстве справедлива т е о р е м а П и ф а г о р а: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х н у ортогональны и (х, у) = О, то в силу аксиом и определения нормы 1х + у ~у = (х+ у, х+ у) = =(х, х)+2(х, у)+(у, у) (х, х)+(у, у) (х('+1у(е. Этот результат обобщается и на и попарно ортогональных элементов х„ х„ ..., х„: если х = х, + х, + ... + х„, то (х»+хе+ * +х» х» +хе+ + хр) (х,, хд+(х„х,)+ ° "+(х„, х„) ')х,(»+)х,)г+ "° +(х„('.
В заключение запишем норму, неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника в каждом нз конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте. ВВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА [гл. е В евнлидовом пространстве всех свободных векторов с обыч. ным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной !а!, неравенство Коши — Буняковского приводится н виду (а, Ь)' ~ !а(а)Ь!' '), а неравенство треугольника — к виду !а + Ь! ~ !а! + (Ь! **). В евклидовом пространстве С (а, Ь) всех непрерывных иа сегменте а ~ ( ~ Ь функций х = х (() со скалярным произведе/ь пнем (4.1) норма элемента х = х (() равна 1/ ) х' (() с((, а нее равенства Коши — Буняковского и треугольника имеют вид с е 1т э э ) () (м~ ) *() (~~~(~)ж, ь ь ) х*(() ( + ) д (() (( л л Оба зги неравенства играют важную роль в различных разделах математического анализа.
В евклидовом пространстве Ел упорядоченных совокупностей и вещественных чисел со скалярным произведением (4.2) норма любого злемента х (х„х„..., хл) равна а неравенства Коши — Буняковского и треугольника имеют вид (Хф1+Хт(Л+ ° ''+ Хлрл) «С С (Х~~ + Хт + ° ° ° + Хл) (Р', + У',+ ° е . + 9л)ю (х, + ух)а + (х, + ра)' + " ° + (хл + у„)' ~ Наконец, в евилидовом пространстве упорядоченных совокупностей п вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого элемента х = (х„х„..., хл) равна *'*) л л (!х(! ~ ~„а,ьх,хь, с ~а ') для скалярного пронэведення векторов (а, В) )а)(В)сов ф вто неравенство тривиально вытекает иэ того, что соха ф ( Е ") Если сложить векторы а и В по правилу треугольника, то это нерввенство тривиально сводится к тому, что одна сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон.
л'«) Напоминаем, что пря этом матрица (4.3) симметрична я порождает положительно определенную квадратичную форму (4.4). зэ! оэтоноэмиэовлнныи влзнс ввклидовл пэостэлнствл Вв а неравенства Коши — Буняковского и треугольника имеют вид л л / л л ~~ ~~ ац,х,х„+ ~!г ~ ~~ а,лу,уд. ! !«1 , 1 «=! й 2. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства (1 при «=й, !!О при «-ьй. (4. 10) Для того чтобы установить корректность сформулированного определения, следует доказать, что входящие в это определение элементы е„е„..., е„образуют один из базисов рассматриваемого п-мерного пространства Е, а для этого в силу теоремы 2.5 достаточно доказать, что эти элементы е„е„..., е„линейно независимы, т.
е. что равенство а,е,+а,е,+ ° ° ° +а„е„=й (4.11) возможно, лишь когда а, = а, = ... = а„= О. В этом параграфе будут изучаться евклидовы пространства к о н е ч н о й размерности и. Распространение изучаемых здесь результатов на бесконечномерные евклидовы пространства выходит за рамки этой книги и является предметом специального изучения.
(Такие пространства изучаются в главах 1О и 11 выпуска «Основы математического анализа, часть 2в.) !. Понятие ортонормированного базиса и его существование. В главе 2 было введено понятие базиса и-мерного линейного пространства. В линейном пространстве все базисы являлись равноправными, и у иас не было оснований предпочитать один базис другому. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированными базисами.
Зтн базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии. Перейдем к определению ортонормированного базиса. Определение. Будем говорить, что и элементов е„е„..., е„ и-мерного евклидова пространства Е образуют о р т о н о р м ар о в а н н ы й б а з и с этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого иэ этих элементов равна единице, т.
е. если ввклндовы пространства 1гл. а 90 Докажем это. Пусть й — л ю б о й нз номеров 1, 2...„л. Умножая равенство (4.11) скалярно на элемент еа и пользуясь аксиомамн скалярного произведения и соотношениями (4.10), мы получим, что аа О. Докажем теперь следующую основную теорему. Теорема 4.3. Во всяком и-мврном ввклидовом иространстве И существует ортонормированный базис.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению размерности в пространстве Е найдется л линейно независимых элементов р"„ Л ""У' Докажем, что можно построить н элементов ва, в„..., е„, линейно выражающихся через Т„~„...,,у„и образующих ортонормированный базис (т. е. удовлетворяющих соотношениям (4.10)). Проведем доказательство возможности построения таких эле. ментов е„в„..., вв методом математической индукции.
Если имеется только один элемент р„то для построения элемента е, с нормой, равной единице, достаточно нормировать элемент )'„т. е. умножить этот элемент на число Ь~(~„~',)1 '. обратное его норме '). Мы получим при этом элемент в, = - Ь'(г„у)1'у, г а.
Р р д й. Считая, что т — целое число, меньшее и, предположим, что нам удалось построить гп элементов в„е„..., е, линейно выражающихся через .у„~,, ..., .Г„попарно ортогональиых и имеющих нормы, равные единице. Докажем, что к этим элементам е,, е,, ..., е„можно присоединить еще один элемент е„„, линейно выражающийся через у„ат„..., ~' „, ортогональяый к каждому из элементов в„ е„ .„, е и имеющий норму, равную единице. Убедимся в том, что этот элемент е „имеет вид е„„=о, „1Х„+,— (Х„,ы е„)е,„— (Х„+ы е,)в„,— "- ... — (У„„, еде,), (4.12) где а „вЂ” некоторое вещественное число. В самом деле, элемент в „линейно выражается через уэ, ...,,у„+т (в силу того, что он линейно выражается через в„ в,, ..., в,,у„„, а каждый из элементов е,, в,, ..., в линейно выражается через,Т„Д„...,,у' ).
Отсюда сразу же следует, что при а,т чь 0 элемент в „заведомо не я в л я е т с я н у л е в ы м (ибо в противном случае являлась бы нулевым элементом некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов,у„~„..., У „в которой в силу (4.12) отличен от нуля коэффициент при у„,т). ') Навомннм, что среди линейно неаавнснмых элементов уо уа, ...,,гв не может быть нулевого элемента, тан что норма,~а больше нуля, э т) ОРТОНОРМИРОВАННЫЯ БАЗИС ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА 91 Далее из того„что элементы и,, ем ..., е попарно ортогональны и имеют нормы, равные единице, и из соотношения )4 12) сразу же вытекает, что скалярное произведение (е „. е„) равно нулю для любого номера я равного 1, 2,..., т.
Для завершения индукции остается доказать, что число а „ можно выбрать так, что норма элемента (4 !2) будет равна единице. Выше уже установлено, что при а „~ О элемент и „, а, стало быть, и элемент, заключенный в (4 12) в квадратные скобки, не является нулевым. Стало быть, для того чтобы нормировать элемент, заключенный в квадратные скобки, следует взять число а „обратным положительной норме этого заключенного в квадратные скобки элемента. При этом норма и „ будет равна единице. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
