В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

где через Л обозначен определитель матрицы А, а через Ам— алгебраическое дополнение элемента ага этого определителя. Умножим уравнения (2.25) соответственно на алгебраические дополнения Аьн Азн ..., Апт элементов 1-го столбца определителя Ь и после этого сложим эти уравнения. В результате получим (для любого номера 1, равного 1, 2, ...,и) е2А12+ етА21+... + е.'А.т Е е2 (аиАП+ аттА22+...

+ а„,А„,). 1 2 Учитывая, что сумма произведений элементов 1-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов 1-го столбца равна нулю при 1 Ф !и равна определителю Л при 1 = 1") ЛННЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА игл. я получим из последнего равенства евАН+ евА11+ ° ° + е.'А. евб, ОтКуда Е, — дм Е1+ — дв Ев+...+дв Е () = 1, 2, ..., Л) ИЛИ подробнее Лл1 ° 1 — е,' в Ллв — е.', д е = — ев+ — дев+...+ ЛН Лвв Ан Авв ев= д ев+ д ев+...+ (2.28) е„= — е1+ — ев+... + — е„'. А1л Лвл ° Ллл д д '" д Формулы (2.28) и устанавливают, что обратный переход от базиса е1, ев, „е„' к базису ев, ев, ..., е„осуществляется с помощью матрицы (2.27), обратной к матрице А.

Эту обратную к А матрицу мы кратко будем обозначать символом А '. 2. Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат. Пусть, как и выше, базис е„е„... ..., е, преобразуегся в базис е1, ев, ..., е„' с помощью невйрождениой матрицы (2.26), так что обратное преобразование базисов задается матрицей (2.27). Пусть далее х — произвольный элемент рассматриваемого линейного пространства Я, (х„х„..., х„)— его координаты относительно первого базиса е1, ев, ..., е„, (хв, хв, ..., х„') — его координаты относительно второго базиса ев, еь ..., е.', так что х = хве1 + хвев +...

+ х„'е„' = х, е1 + х,ев +... + к„е„. Подставив в зто равенство вместо злементов е„е„..., ел их выражения, определяемые формулами (2.28), получим х = хве1 + хвев +... + х„'е„= х1 ( —" е1 + — *' ев+... + — "' е„') + + хв( — е, + — е, +... + — ел) + ГАП Авв Алв ~ д д ''' д +х„Яе1+ — *" ев+...+ — д" е.'). Из последнего равенства (в силу единственности разложения по базису ев, ев, ..., е,') сразу же вытекают формулы перехода от координат (х„ х„ ..., х„) относительно первого базиса к Б 43 пРеОБРА3ОВАние ЕООРдинлт пРи пРеОБРАЭОВАнии БАзисА Я координатам (хз, хз, ..., х„') относительно второго базиса: хз = — ха+ — хз+...

+ — хп, 4зз Азз Азп Аи Азз Азп ХЗ = — Х! + — ХЗ+ ° ° . + — Хп (2.29) Х„' = — «~ + — «з+... + — «„. 4пз 4пз Апп 3 Формулы (2.29) показывают, что переход от координат (х„ хз, ..., хп) к координатам (х(, хз, ..., х„') осуществляется с помощью матрицы Аи Азз Азп Ь Л '*' Л Азз Азз Азп л а ' л Апз Апз Апп ь а * ь транспонированной к обратной матрице (2.27). Мы приходим к следующему выводу: если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы А, то переход от координат произвольного элемента относипзельно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуи(есапвляется с помощью матрицы (А ')', транспонированной к обратной мааприце А '.

ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Из элементарного курса и из курса аналитической геометрии читатель знаком с системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными и с системами двух и трех линейных уравнений с тремя неизвестными *). Целью настоящей главы является изучение системы произвольного числа и линейных уравнений с произвольным числом и неизвестных. Мы сначала установим необходимое и достаточное условие существования хотя бы одного решения (или, как говорят, с о вм е от иост и) такой системы, а затем займемся отысканием всей совокупности ее решений.

В $4 главы 4 будет рассмотрен важный для приложений случай приближенного задания всех коэффициентов системы и ее свободных членов. Для этого случая будет изложен м ет од р е г у л я р и з а ц и и А. Н. Тихонова, позволяющий найти так называемое но р м а л ь н о е (т. е. наиболее близкое к началу координат) решение указанной системы с точностью, соответствующей точности задания коэффициентов и свободных членов. В главе 6 будет дано представление о численных (итерационных) методах решения систем линейных уравнений. $1.

Условие совместности линейной системы 1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. В общем случае система гп линейных уравнений с и неизвестными (или кратко л и н е й н а я с и с т е м а) имеет следующий вид: а„х, + а„х, +... + а„,х„= Ь„ амх +а„х,+... +а,„х„=Ь„ (3.1) акахт + амехя + + атихо Ьт «) См. выпуск аАивлитвческяя геометрия», лополиеиие к главе 1, головня совмястности линяпиоя снствмы 65 При этом через х„х„..„х„обозначены неизвестные, подлежащие определению (число их а не предполагается обязательно равным числу уравнений т); величины ам, авп ..., а „, называемые коэффициентами системы, ивеличиныЬ„Ь„..., Ь,„, называемые свободными ч л е н а м и, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы а,~ имеет два индекса, первый из которых 1 указывает номер уравнения, а второй )в номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Система (3.1) называется о д н о р о д н о й, если все ее свободные члены Ь„Ь„..., Ь равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов Ь„Ь„..., Ь отличен от нуля, то система (3.1) называется н еод нор од ° н о й. Система (3.1) называется к в а д р а т н о й, если число т составляющих ее уравнений равно числу неизвестных л. Р е ш е н и е м системы (3.1) называется такая совокупность п чисел сг, с„..., с„, которая при подстановке в систему (3.1) на место неизвестных х„х„..., к„обращает все уравнения этой системы в тождества.

Не всякая система вида (3,1) имеет решения. Так, система линейных уравнений х,+х,=1, хт+х =2 заведомо не имеет ни одного решения (ибо если бы существовало решение этой системы, то при подстановке этого решения в левых частях обоих уравнений стояли бы одинаковые числа и мы получили бы, что 1= 2). Система уравнений вида (3.!) называется с о в мести о й, если она имеет хотя бы одно решение, и н е с о в м ест н о й, если у нее не существует ни одного решения. Совместная система вида (3.1) может иметь или одно решение, нлн несколько решений. Два решения совместной системы вида (3.1) с1", с)", ..., сп' и с(~', с~~", ..., сД' называются различными, если нарушается Совместная система вида(3,1) называется о п р е д е л е н н о й, если она имеет единственное решение.

Совместная система вида(3.1) называется н е о п р еде л е ни о й, если у нее существуют по крайней мере два различных решения. Весьма удобно записывать линейную систему (3.1) в матричной форме. Для этого используем введенное в п. 2 $1 гл, 1 понятие произведения двух матриц (таких, что число столбцов первой нз этих матриц равно числу строк второй из матриц).

В качестве 3 Зак м9 системы линейных ерлвнпний 1гл. з перемножаемых матриц возьмем две матрицы: матрицу ап ам ° . азп ат азз .. ° азп А= (3.2) атз атз ° атп содержащую лз строк и л столбцов н составленную из коэффи- циентов при неизвестных (такую лщтрицу мы в дальнейшем будем называть о с н о в н о й м а т р и ц е й системы(3.1))и матрицу Х, содержащую и строк и 1 столбец, т. е. один столбец вида хз «з (3.3) хп Согласно правилу перемножения двух матриц ') произведение АХ матрицы (3.2) на матрицу (З.З) представляет собой матрицу, содержащую т строк н ! столбец, т. е. один столбец следую. щего вида: амх, +аззхз+...+азпхп амхз + аззхз + ° ° ° + азпх» атзхз + атзлз + ° .

° + отпхп (3.4) И (3.5) Таким образом, в матричной записи систему (3.1) можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением АХ В, (3.6) в котором матрицы А, Х и В определяются соотношениями (3.2), (3.3) н (3.5). Решение матричного уравнения (3.6) заключается в отыскании такого столбца (3.3), который при заданной матрице (3.2) и заданном столбце правых частей (3.5) обращает уравнение (3.6) в тождество.

В этом н в следующем параграфах мы выясним в отношении линейной системы (3.1) следующие три вопроса: 1) способ установления того, является система (3.1) совместной илн нет, *1 См. и. х $1 гл. 1, формулу (1,4). Система равенств (3.1) означает, что этот столбец (3.4) совпадает со столбцом й~) УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 67 2) способ установления того, является система (3.1) (в случае ее совместности) определенной или нет, 3) способ отыскания единственного решения совместной системы (3.1) (в случае ее определенности) н отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности).

2. Нетривиальная совместность однородной системы. Начнем с рассмотрения однородной линейной системы вида (3.1), т. е. системы анх, +а„х,+... +а,„х„=О, а„х, + а„х, +... + аа„х„= О, (3.7) а,х,+а,х,+... +а „х„=О. Сразу же отметим, что эта система всегда совместна, ибо она всегда обладает так называемым т р и в и а л ь н ы м (или н у л ев ы м) решением хт = х, ... = х„= О *).

Возникает вопрос о том, при кшсих условиях однородная система (3.7) имеет, кроме указанного тривиального решения, еи(е и другие решения (т. е. является ан е т р и в и а л ь н о с о ем е с т и о йэ). Этот вопрос решается довольно просто. Заметим, что существование нетривиального решения системы (3.7) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы (3.2) (ибо линейная зависимость столбцов матрицы (3.2) означает, что существуют числа х„х„..., х„, не все равные нулю и такие, что справедливы равенства (3.7)).

Но в силу теоремы 1.6 о базисном миноре линейная зависимость столбцов матрицы (3:2) будет иметь место тогда и только тогда, когда н е в с е столбцы этой матрицы являются базис- ными, т. е. тогда и только тогда, когда порядок г базисного минора матрицы (3.2) меньше числа и ее столбцов. Мы приходим к следующей теореме. Теорема 3.1. Однорадная система (3.7) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг г матрицы (3.2) меньше числа и ее столбцов. Следствие. Квадратная однородная система е*) имеет нетривиальные решения тогда и толысо тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. В самом деле, в случае квадратной однородной системы (3.7), т.

Характеристики

Список файлов книги