В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Остается проверить выполнение аксиом 3' и 4. Пусть х — любой элемент подмножества Ь, а А — любое вещественное число. Тогда в силу требования 2' элемент Ах также принадлежит Ь. Остается заметить, что (в силу теоремы 2.2) этот элемент Лх прн А = 0 превращается в нулевой элемент пространства Я, а при Х = — 1 превращается в противоположный для х элемент. Таким образом, подмножеству Ь принадлежит нулевой элемент и противоположный гдля каждого элемента х) элемент, а это и означает, что для элементов подмножества Ь справедливы аксиомы 3' и 4'. Тем самым полностью доказано, что подмножество Ь само является линейным пространством. Определение. Подмножества Ь линейного пространства )с, удовлепюоряющее требованиям 1' и 2', называется л и н е йн ы м и о д и р о с т р а и с т в о м (или просто и о д и р о с т р а ис т в о м) пространства )т'.
Простейшими примерами подпространств могут служить: 1)так называемоенулевое подпространство, т.е. подмножество линейного пространства Я, состоящее из одного нулевого элемента; 2) все пространство )т 1которое, конечно, можно рассматривать как подпространство). Оба эти подпростраиства принято называть н е с о б с т в е иными. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА !Гл. е Укажем примеры подпространств более содержательного вида, П р и ме р 1. Подмножество (Р„(1)) всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа и '), в линейном пространстве С (а, Ь) всех функций х = х (1), определенных и непрерывных на сегменте а ~ 1 с Ь ") (справедливость для элементов подмножества (Р„(1)» требований 1' и 2' не вызывает сомнений).
П р и м е р 2. Подмножество В, всех свободных векторов, параллельных некоторой плоскости, в линейном пространстве В, всех свободных векторов *'") (справедливость для элементов В, требований 1' и 2' очевидна). П р и м е р 3. Пусть х, у, ..., л — совокупность элементов некоторого линейного пространствами. Л и не йн о й обола чк о й злементов х, у, ..., л будем называть совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.
е. множество элементов вида где а, )), ..., у — какие угодно вещественные числа. Договоримся обозначать линейную оболочку элементов х, у, ..., я символом Ь (х, у, ..., «). Для линейной оболочки произвольных элементон х, у, ..., л линейного пространства Я, очевидно, выполняются требования 1' и 2', сформулированные в начале настоящего пункта. Поэтому всякая линейная оболочка является подпространстеом основного линейного пространства Я.
Зто подпросгранство, очевидно, содержит элементы х, у, ...,х, на которых построена линейная оболочка Е (х, у, ..., л). С другой стороны, всякое подпространстао, содержащее элементы х, у, ..., л, обязано содержать и все линейные комбинации этих элементов. Поэтому линейная оболочка элементов х,у, ..., я является на име и ь ш им подпространством, содержащим влементы х, у, ..., л. Конкретным примером линейной оболочки может служить линейная оболочка элементов 1, 1, 1а, ..., !" линейного пространства С (а, Ь) всех функций х = х (1), определенных н непрерывных на сегменте а с 1 а Ь. Зта линейная оболочка, очевидно, представляет собой множество (Р„(1)) всех алгебраических много- членов степени, не превышающей и.
Другие примеры подпространств будут рассмотрены в п. 3 настоящего параграфа. ') Это подмножество введено и примере 5 и. 1 $1 иастоажей глааы. ее) Пространство С [а, Ь) введено и примере е и. 1 $ 1 этой главы. ее') Миажестэа Ва и Ве были ааедеим и примере 1 и. 1 $1 этой глазы. З з1 ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ бб Рассмотрим вопрос о размерности надпространства (и, в частности, линейной оболочки). Можно утверждать, что размерность любого надпространства и-мерного линейного пространства Я не превосходит размерности и пространства )с (ибо всякая линейно независимая система элементов подпространства является одновременно линейно независимой системой элементов всего пространства )с).
Более точно можно утверждать, что если надпространство А. не совпадает со всем и-мерным линейным пространством 1т, то размерность 1. строго меньше и. Это вытекает из того, что если размерности (. и 1т обе равны и, то всякий базис подпространства 1., поскольку он состоит из и элементов, является (в силу теоремы 2.5) базисом и всего пространства )с.
Заметим, что если во всем пространстве )с выбран базис е„ е„ ..., е„, то базисные элементы подпространства (., вообще говоря, нельзя выбирать из числа элементов е„ е„ ..., е„ (ибо в общем случае ни один из элементов е„ е„ ..., е„ может не принадлежать Е). Однако справедливо обратное у т в е р жде н и е: если элементы е„е„..., еь составляют базис й-мерного подиространства п-мерного линейного пространства Я, то этот базис можно дополнить элгмгнпшми еь,ь ..., е„пространстпва )с так, что совокупность элементов е„...
ею еь„, ..., е„будет составлять базис всего пространства Р. Докажем зто утверждение. Если й < и, то найдется элемент е„„ пространства Я такой, что элементы е„е„..., е„, е„„линейно независимы (в противном случае пространство )т оказалось бы й-мерным). Далее, если й + 1 < п, то найдется элемент еь„ пространства )с такой, что элементы е„е„..., е„, е„„, е„„ линейно независимы (в противном случае пространство )т оказалось бы (й + 1)-мерным). Продолжая аналогичные рассуждения, мы докажем сформулированное утверждение. В заключение докажем важную теорему о размерности линейной оболочки. Теорема 2.8.
Размерность линейной оболочки й (х, у, ..., «) элементов х, у, ..., «ровна максимальному числу линейно независимых элементов в системе элементов х, у, ..., «. В частности, если элгменпич х, у, ..., «линейно назависимы, то размерность линейной оболочки Ь (х„у, ..., «) равна числу элементов х, у, ..., «(а сами эти элементы образуют базис линейной оболочки й (х, у, ..., «)). Д о и а з а т е л ь с т в о.
Допустим, что среди элементов х, у, ..., «имеется г линейно независимых элементов (обозначим их через х„х„..., х,), а любые (г + 1) из элементов х, у, ..., « линейно зависимы. Тогда каждый из элементов х, у, ..., «представляет собой некоторую линейную иомбннапию * элементов ЛИНЕИНЪ|Е ПРОСТРАНСТВА Ггл. х х„х„..., х,*), и поскольку по определению каждый элемент линейной оболочки Е (х, у, ..., Е) представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов х, у, ..., л, то каждый элемент указанной линейной оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию одних только элементов х„х„..., х„.
Ио это и означает, что система линейно независимых элементов х„х„..., х„образует базис линейной оболочки Е (х, у, „., «) и что размерность Е(х, у, ..., Е) равна г. Теорема доказана. 2. Новое определение ранга матрицы. В $3 главы 1 мы определили ранг произвольной матрицы А как п о р я д о к е е б аз и с н о г о м и н о р а, т. е.
как число г, удовлетворяющее требованию существования у матрицы А отличного от нуля минора порядка г и отсутствия у этой матрицы отличных от нуля миноров порядка, ббльшего г, В этом пункте мы убедимся, что ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) етой матрицы. Отсюда будет следовать новое определение ранга матрицы как максимального числа линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы "). Проведем все рассуждения для строк (для столбцов они аналогичны). Рассмотрим в линейном пространстве А" (введенном в примере 3 и, 1 3 1) линейную оболочку базисных строк произвольной содержащей т строк и и столбцов матрицы А и предположим, что число базисных строк равно г.
Из теоремы 1.6 о базисном миноре вытекает, что любая строка матрицы А является элементом указанной линейной оболочки, а из линейной независимости г базисных строк и из теоремы 2.8 вытекает, что размерность указанной линейной оболочки равна г. Стало быть, любые (г + 1) элементов указанной линейной оболочки (и, в частности, любые (г + 1) строк матрицы А) линейно зависимы. А это н означает, что число г представляет собой максимальное число линейно независимых строк. 3. Сумма и пересечение подпространств. Пусть Е, и Еа — два произвольных подпространства одного и того же линейного пространства )с. Совокупность всех элементов х пространства )с, принадлежащих одновременно Е, и Е„образует подпространство пространств» )с '"), называемое и е р е с е ч е и и ем надпространств Е, и Е,. ') Это устаиавлнвае|са с помощью тех же самых рассуждений, которые были проведены при доказательстве теоремы 2.5.
ь') В частности, отсюда будет следовать весьма нетривиальнаи теорема о том, что у любой матрицы максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным чисаом линейно независимых столбцов. ье') Ибо элементы этой совокупности удовлетвориют требованиим 1' и 2; сформулированным в начале п. ц йз» ПОДПРОСТРАНСТВА ЛННВИНЫХ ПРОСТРАНСТВ 57 Совокупность всех элементов пространства !т вида у+ л, где у — элемент подпространства Ь„ а л — элемент подпространсгва Е„ образует надпространство пространства )с *), называемое с у м м о й подпространств Ь, и Ью П р и м е р. Пусть Я вЂ” линейное пространство всех свободных векторов (в трехмерном пространстве), Ь, — подпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Оху, Ь, — подпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Охг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
