В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 16
Текст из файла (страница 16)
7 $ 2 гл. 1). Предположим, что существует решение системы (3.10), т, е. существует столбец Х, обращающий в тождество матричное уравнение (3.16). Помножая указанное тождество слева на обратную матрицу А ', будем иметь А з (АХ) = А-'В. (3.17) Учтем теперь, что в силу сочетательного свойства произведения трех матриц (см. и. 2 3 1 гл. 1) н в силу соотношения А 'А = Е, системы линииных крлвнвнии !гл. з х, + 2х, + Зх, + 4хз = 30, — х, + 2х, — Зх, + 4х, = 10, х,— х,+ х,=З, х+ х+ х+ х,=10 с отличным от нуля определителем основной матрицы 1 2 3 4 — 1 2 — 3 4 о ! 1 1 1 Поскольку 1 30 3 4 — 1 10 — 3 4 о 3 — ! РО 12 ЗЗΠ— 1 2 — 3 1О о ! — ! з ю 30 2 3 4 !О 2 — 3 4 з ю 2 ЗО 4 — 1 2 10 4 о ! з РО ! = — 16, = — 12, ч) См.
формулу (1.41) яз я. Т 4 2 гл, 1. где Š— единичная матрица (см. п. 7 52 гл. 1), А '(АХ) = = (А 'А) Х = ЕХ = Х, так что мы получим из (3.17) Х = А 'В. (3.18) Развертывая равенство (3.18) и учитывая вид обратной матрицы *), мы н получим для элементов столбца Х формулы Крамера. Итак, мы доказали, что если решение матричного уравнения (3.16) существует, то оно однозначно определяется соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера. Легко проверить, что столбец Х, определяемый соотношением (3.!8), в самом деле является решением матричного уравнения (3.16), т. е.
при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. В самом деле, если столбец Х определяется равенством (3.18), то АХ = А (А 'В) = (АА ') В = ЕВ = В. Итак, если определитель А матрицы А отличен от нуля (т. е. если эта матрица является невырожденной), то суи!ествует и притом единственное решение матричного уравнения (3.16)„определяемое соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера. П р и м е р. Найдем решение квадратной системы линейных уравнений й в1 Отысклние Решений линеЙнОЙ системы тз то в силу формул Крамера единственное решение рассматривае. мой системы имеет вид х, = 1, х, 2, х, = 3, х, = 4. Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены, Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями (для решения системы л уравнений с а неизвестными приходится вычислять (л + 1) определитель л-го порядка).
К этому следует добавить, что если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам н в ряде случаев является нецелесообразным. В $ 4 гл. 4 будет изложен метод регуляризации, принадлежащий А. Н. Тихонову и позволяющий находить решение линейной системы с точностью, соответствующей точности задания матрицы коэффициентов уравнений и столбца свободных членов, а в главе 6 дается представление о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать этн системы при помощи последовательных приближений неизвестных.
В заключении отметим, что в этом пункте мы исключили из рассмотрения случай обращения в нуль определителя Ь основной матрицы системы (3.10). Этот случай будет содержаться в общей теории систем в линейных уравнений с л неизвестными, излагаемой в следующем пункте. 2. Отыскание всех решений общей линейной системы.
Рассмотрим теперь общую систему гл линейных уравнений с п неизвестными (3.1). Предположим, что эта система совместна и что ранг ее основной и расширенной матриц равен числу г. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что базисный минор основной матрицы (3.2) находится в левом верхнем углу этой матрицы (общий случай сводится к этому случаю посредством перестановки в системе (3.1) уравнений и неизвестных).
Тогда первые г строк как основной матрицы (3.2), тан н расширенной матрицы (3.8) являются базисными строками этих матриц '), и по теореме 1.6 о базисном миноре каждая из строк расширенной матрицы (3.8), начиная с (г + 1)-й строки, является линейной комбинацией первых г строк этой матрицы. В терминах системы (3.!) это означает, что каждое из уравнений втой системы, начиная с (г + 1)-го уравнения, является ') Так как ранги основной я расширенной матриц оба равны г, то бааисный минор основной матрицы будет одновременно являться бааисным минором и расширенной матрицы.
системы линкпных кэавнвния линейной комбинацией (т. е. следствием) первых г уравнений этой системы (т. е. всякое решение первых г уравнений системы (3.1) оброк(ает в тождества и все лоследуюи(ие уравнения этой системы). Таким образом, достаточно найти все решения лишь первых г уравнений системы (3.1). Рассмотрим первые г уравнений си« стемы (3.!), записав их в виде ацХ~+ аМХЗ+ "° + аиХ = Ь~ — а1 1„цХьи — ° ° ° — аЫХ„, 1 амх~+ амхт+ ° ° + хмх, =Ьз — аз 1, цхгм — ° ° * — аъ,х, анх~ + пах~ + * ° ° + а,„х, = Ь, — а, 1,+цх,+1 — ° ° ° — а,„х„. (3.19) Если мы придадим неизвестным х„„..., х„совершенно произвольные значения с„„..., с„, то система (3.19) превратится в квадратную систему г линейных уравнений для г неизвестных хп хм ..., х„, причем определителем основной матрицы этой системы является отличный от нуля базисный минор матрицы (3.2).
В силу результатов предыдущего пункта эта система (3.19) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера, т. е. для произвольно выбранных с„„, ..., с„существует единственная совокупность г чисел с,, с„..., с„обращающих в тождества все уравнения системы (3.19) и определяющихся формулами Крамера. Чтобы записать это единственное решение, договоримся обозначать символом Мг (й,) определитель, получающийся из базисного минора М матрицы (3.2) заменой его !сго столбца столбцом из чисел йм д„..., й„..., о„(с сохранением без изменения всех остальных столбцов М).
Тогда записывая решение системы (3.19) с помощью формул Крамера и пользуясь линейным свойством определителя, мы получим 1 с, — М1(Ь! — а~ 1,+цс,+, — ° ° ° — а„,с„) М 1 *= —,, !Мг(Ь1) — с..1.~М,(ас1.+ц — "° -с.М1(а, )1 (3.20) (1 1, 2, ..., г). Формулы (3.20) выражают значения неизвестных хг = с1 (у = 1, 2...„г) через коэффициенты при неизвестных, свободные члены и произвольно заданные параметры с„„, ..., с„. Докажем, что формулы (3.20) содержат любое ре1иение системы (3.1).
В самом деле, пусть сц см ..., с„с„ц ..., с„— произвольо э о о о ное решение указанной системы. Тогда оно является решением и системы (3.!9). Но из системы (3.19) величины сзц сз3, ..., с~ определяются через величины с, ц ..., с„однозначно и именно о о по формулам Крамера (3.20). Таким образом, присьм = с„п ... е О з) отыскание Решений линеинон системы 75 ..., с„= с„формулы (3.20) дают нам еак раз рассматриваемое о о а а а о РЕШЕНИЕ С1, СЗ, ..., С„С„Н „С„. 3 а м е ч а н и е. Если ранг г основной и расширенной матриц системы (3.1) равен числу неизвестных и, то в этом случае соотношения (3.20) переходят в формулы с) — — ~ (1=1, 2, ..., и), М) (Ь!) М определяющие ед и н с та е н н о е решение системы (3.1). Таким образом, система (3.1) имеет единственное решение (т.
е. является определенной) ори условии, что ранг г основной и расширенной ее матриц равен числу неизвестных н (и меньше числа уравнений т или равен ему). П р и м е р. Найдем все решения линейной системы Ха — Хз+ «з «а = 4 х,+х,+2х,+Зх,=8, 2«э + 4 ~з + 6«з + 1 Рха 20 2х, — 4х +х — бх =4. (3.21) Нетрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расши- ренной матрицы этой системы равен двум (т. е. зта система со- вместна), причем можно считать, что базисный минор М стоит в 11 — ! левом верхнем углу основной матрицы, т.
е. М=11 ~=2. 1 Но тогда, отбрасывая два последних уравнения и задавая произ- вольно с, и с,, мы получим систему Хз — Хэ = 4 — Сз + Са, х, + х, = 8 — 2с, — Зса, из которой в силу формул Крамера получаем значения з 1 х, = с, = 6 — — с, — са х, = сз = 2 — — сэ — 2са. (3.22) 3 Я Таким образом, четыре числа з 1 6 — -е- сэ — см 2 — з сз — 2са сэ. са) (3.23) при произвольно заданных значениях с, и са образуют решение системы (3.21), причем строка (3.23) содержит все решения этой системы. 3.
Свойства совокупности решений однородной системы. Рассмотрим теперь однородную систему т линейных уравнений с н неизвестными (3.7), предполагая, как и выше, что матрица (3.2) систамы лиивиных рравивнни 7В егл. в имеет ранг, равный г, и что базисный минор М расположен в левом верхнем углу этой матрицы. Поскольку на этот раз все Ь! равны нулю, вместо формул (3.20) мы получим следующие формулы: ! с/= — м (с,+!М/(а//,+и)+ ° ° +с„М,(а/„)) (1=1, 2..., г), (3.24) выражающие значения неизвестных х/ — — с/ (1= 1„2, ..., г) через коэффициенты при неизвестных и произвольно заданные значения с„,а, ..., с„. В силу доказанного в предыдущем пункте формулы (3.24) содержат любое решение однородной системы (3.7).
Убедимся теперь в том, что совокупность всех решений одно* родной системы (3,7) образует линейное пространство. Пусть Х! —— (х['!, ..., х„"!) и Хе = (х[~!, ..., х!") — два произвольных решения однородной системы (3.7), а Л вЂ” любое вещественное число. В силу того, что каждое решение однородной системы (3.7) является элементом линейного пространства А" всех упорядоченных совокупностей и чисел, достаточно доказать, что каждая нз двух совокупностей Х,+Хе=(х,'"+ х,'", ..., х„'и+ х„'") и ЛХ, =(Лх[", ..., Лх„"') также является решением однородной системы (3.7), Рассмотрим любое уравнение системы (3.7), например (-е урав- нение, и подставим в это уравнение на место неизвестных эле- менты указанных совокупностей.
Учитывая, что Х, и Х, — реше- ния однородной системы, будем иметь а а а Е аи [х'," + х5" ] = Е а!/х//и + Е аох!!" = О, !=! / 1 /=! е а ~ аи [Лх)") = Л 'Я а!/х/!" = О, ! ! а это н означает, что совокупности Х, + Х, и ЛХ, являются решениями однородной системы (3.7). Итак, совокупность всех решений однородной системы (3.7) образует линейное пространство, которое мы обозначим символом й. Найдем размерность этого пространства Я и построим в нем базис.
Докажем, что в предположении о том, что ранг матрицы однородной системы (3.7) равен г, линейное пространство /с всех решений однородной системы (3.7) изоморфно линейному пространству Аа-е всех упорядоченных совокупностей (и — г) чисел *). е) Пространство Ае! введено в примере 3 и. 1 4 1 гл. 2. В з1 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ тт ( и+и) М.( н.~н) (а о„н) М,(а, о+н) —,0,1,...,0), х,=~ х,=(— (3,25) М, (впд М„(вьд Х„,=( — — —,...,— „,О,О,. „1) Поставим в соответствие каждому решению (с„..„с„с„„... ..., с„) однородной системы (3.7) элемент (с,+м ..., с„) пространства А"-". Поскольку числа с,+н ..., с„могут быть выбраны произвольно н при каждом выборе с помощью формул (3.24) однозначно определяют решение системы (3.7), то установленное нами соответствие является в з а и м н о о д н о з н а ч н ы м. Далее заметим, что если элементы (с<,'(...„с„'") и (с,",>, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
