В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 17
Текст из файла (страница 17)
си>) пространства А" ' отвечают элементам (с1", ..., с,'", с,",~ и>) и (4 ', ..., сп, с,",(, ..., си) пространства )с, то из формул (3,24) сразу же следует, что элементу(сп11 + сд, ..., с'„" + с„"') отвечает элемент (с1п + с1 ~, ..., с~1+ с~ ~, с~~'~~ + с~~+1ь ...,с~п + с~~~), а элементу ()с,"~ь ..., Хе~и) прн любом вещественном Х отвечает элемент (Хс1~', „Хс)~', Хс,',"ь ..., Хс„"'). Тем самым доказано, что установленное нами соответствие является изоморфнзмом. Итак, линейное пространство й всех решений однородной системы (3.7) с и неизвестными и рангом основной матрицы, равным г, изоморфно пространству А"-', и, стало быть, имеет размерность и — г, Любая совокупность из (и — г) линейно независимых решений однородной системы (3.7) образует (в силу теоремы 2.5) базис в пространстве Я всех решений и называется ф у н д а м витальной совокупностью решений однородной системы (3.7).
Для построения фундаментальной совокупности решений можно отправляться от любого базиса пространства А -'. Отвечающая этому базису совокупность решений системы (3.7) в силу изоморфизма будет линейно независимой и поэтому будет являться фундаментальной совокупностью решений. Особо выделяют фундаментальную совокупность решений системы (3.7), отвечающую простейшему базису е, = (1, О, О, ..., 0), е, = (О, 1, О, ..., 0), ...
е„, = (О, О, 0...„1) пространства А"-' н называемую нормальной фундаментальной совокупностью решений однородной системы (3,7). Прн сделанных выше предположениях о ранге и расположении базисного минора, в силу формул (3.24), нормальная фундаментальная совокупность решений однородной системы (3.7) имеет внд: системы линаиных ннанниния 7В ггл. з По определению базиса любое решение Х однородной системы (3.7) представимо в виде Х = СзХ, + С,Хз+...+ С„,Х„„, (3.26) где С,, С„ ..., С„, — некоторые постоянные. Поскольку в формуле (3.26) содержится любое решение однородной системы (3.7), то эта формула дает о б щ е е р е ш е н и е рассматриваемой однородной системы.
П р и м е р. Рассмотрим однородную систему уравнений х — х + ха — х = О, х, + х, + 2ха+ Зх, = О, 2хт+ 4х, + бхз+ 10х = О, 2х,— 4х,+ х, — бха= О, (3.27) соответствующую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце предыдущего пункта. Там мы выяснили, что ранг г матрицы втой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящий в левом верхнем углу указанной матрицы. Повторяя рассуждения, проведенные в конце предыдущего пункта, мы получим вместо формул (3.22) соотношения з ст = — — са — са, с, = — — са — 2еа, справедливые при произвольно выбранных са и с,. С помощью этих соотношений (полагая сначала сз = 1, с, = О, а затем с, = О, са = 1) мы получим нормальную фундаментальную совокупность двух решений системы (3.27); Х,=( — —,, — —, 1, О), Х,=( — 1.
— 2' О, Ц. з Общее решение однородной системы (3.27) имеет вид Х=С,( — з, — ~, 1, 0)+С,( — 1, — 2, О, 1), (328) ') С теми же самыми коэффициентами нри неизвестных. где С, и С, — произвольные постоянные. В заключение этого пункта устаноним связь между решениями неоднородной линейной системы (3.1) н соответствующей ей однородной системы (3.7) '). Докажем следующие д в а у тв е р ж д е н и я.
1', Сумма любого решения неоднородной системы (3.1) с любым решением соответстеуюшей однородной системы (3.7) представляет собой решение системы (3.1). й а) отысклние РешениЙ линеинон системы 79 В самом деле, если с„..., сл — решение системы (3.1), а йх, ..., йл — решение соответствующей ей однородной системы (3. 7), то, подставив в любое (например, в !'-е) уравнение системы (3.1) на место неизвестных числа с, + йх, ..., с„+ йл, получим л л л Я ан(с)+й!) = Я аис) + Д а,!й1=Ь!+О= Ь1, ) 1 1 !'=1 что н требовалось доказать. 2'. Разность двух произвольных решений неоднородной системы (3.1) является решением соответствующей однородной системы (3.7).
В самом деле, если с1, ..., с„' и с1, ..., сл — два произвольных решения системы (3.1), то, подставив в любое (например, в 1-е) уравнение системы (3.7) на место неизвестных числа с! — с1, ... ..., с,' — с„, получим л л л Е а!!(с; '— с~)= Е а!)С) — Е а!)с! Ь! — Ь! =О, ! ! ! 1 1=! что и требовалось доказать. Из доказанных утверждений вытекает, что; найдя одно реп!ение неоднородной системы (3.1) и складывая еео с каакдам решением соответствующей однородной система (3.7), мы получим все решения неоднородной системы (3.1). Другими словами, сумма частного решения неоднородной системы (3.1) и общего решения соответствующей однородной сиса!ема (3.7) дает общее решение неоднородной системы (3.1). В качестве частного решения неоднородной системы (3.1) естественно взять то его решение «) Х,=( М*"',..., м""", О, О, ..., О), (3.29) которое получится, если в формулах (3.20) положить равными нулю все числа с„„, ..., сл.
Складывая это частное решение с общим решением (3.26) соответствующей однородной системы, мы получим следующее выражение для общего решения неоднородной системы (3.1): Х = Х, + С Х, + С Х + ... + Сл,Х„„. (3 30) В этом выражении Х, обозначает частное решение (3.29), С„ С„ ..., С„, — произвольные постоянные, а Х„ Х„ ..., Хл, элементы нормальной фундаментальной совокупности решений (3.25) соответствующей однородной системы. *) При атом предполагается, как и выше, что ранги основной н расширенной матриц системы (3. 1) равны г и что бааисный минор находится в левом верхнем углу втих матриц.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ !ГЛ. 3 Так, для рассмотренной в конце предыдущего пункта неоднородной системы (3.21) частное решение вида (3.29) равно Х, = (6, 2, О, 0). Складывая это частное решение с общим решением (3.28) соответствующей однородной системы (3.27), мы получим следующее общее решение неоднородной системы (3.2Ц: Х=(6, 2, О, 0)+Сз( — —, — —, 1, 0)+С,( — 1, — 2, О, 1).
(Здесь С, и С, — произвольные постоянные.) 4, Заключительные замечания о решении линейных систем. Развитые в предыдущих пунктах методы решения линейных систем упираются в необходимость вычисления ранга матрицы и нахождения ее базисного минора. После того как базисный минор найден, решение сводится к технике вычисления определителей и к использованию формул Крамера.
Для вычисления ранга матрицы можно использовать следующее и р а в и л о: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам ббльших порядков; при етом, если уже найден отличный от нуля минор М порядка й, то требуют вычисления лишь миноры порядка (й + !), ока ймл яю щие*) етот минор М; в случае равенства нулю всех окаймляющих миноров порядка (й+1) ранг матрицы равен й **). Укажем и другое правило вычисления ранга матрицы. Заметим, что со строками (столбцами) матрицы можно производить т р и э л ем е н т а р н ы е о п е р а ц и и, неизменяющие ранга этой матрицы: 1) перестановку двух строк (нли двух столбцов), 2) умножение строки (или столбца) на любой отличный от нуля множитель, 3) прибавление к одной строке (столбцу) произвольной линейной комбинации других строк (столбцов) '*').
Будем говорить, что матрица ()а,~), содержащая т строк и и столбцов, имеет д и а г о н а л ь н ы й вид, если равны нулю все ее элементы, отличные от агн аяы ..., агы где г = ппп (т, и). Ранг такой матрицы, очевидно, равен г. Убедимся в том, что посредством трех элементарных операций любую матрицу (3.31) ') То есть содержащие виутри себя минор М. ") В самом деле, в указанном случае все строки (столбцы) матрицы принадлежат линейной оболочке ее й строк (столбцов), яа пересечеиия которых стоит минор М, а размериость указаииой линейной оболочки равна й.
ьч') Эти три операции ие изменяют ранга матрицы вследствие того, что операции !) и 2) яе измеияют максимальною числа лииейио независимых строк (столбцов) матрицы, а операция 3) обладает тем свойством, что линейная обо. почка всех строк (столбцов), имевшихся ло проведеиия втой операции, совпадает с лииейяой оболочкой всех строк (столбцов), полученных после проведения атой операции. «»1 отыскание гашении линаяноя системы 81 мовена привести к диагональному виду (что и позволяет вычислить ее ранг).
В самом деле, если зсе элементы матрицы (3.31) равны нулю, то эта матрица уже приведена к диагональному виду. Если же у матрицы (3.31) есть отличные от нуля элементы, то путем перестановки двух строк и двух столбцов можно добиться того, чтобы был отличен от нуля элемент огь Умножая после этого первую строку матрицы нз о„, мы превратим элемент ап в единицу. -! Вычитая далее из 1-го столбца матрицы (при 1 = 2, 3, ..., л) первый столбец, умноженный иа исо а затем вычитая из 1-й строки (при 1 = 2, 3, „и) первую строку, умноженную на а», мы получим вместо (3.31) матрицу следующего вида: о о ам * .. а»« ай» ° ° ° «та Совершая уже описанные нами операции с матрицей, взятой в рамку, и продолжая действовать аналогичным способом, мы после конечного числа шагов получим матрицу диагонального вида.
Изложенные в предыдущих пунктах методы решения линейных систем, использующие в конечном итоге аппарат формул Крамера, могут привести к большим погрешностям в случае, когда значения коэффициентов уравнений и свободных членов заданы приближенно или когда производится округление этих значений в процессе вычислений. В первую очередь это относится к случаю, когда матрица, отвечающая основному определителю (или базисному минору), является п л о х о о б у с л о вл е н н о й (т. е. когда «малым» изменениям элементов этой матрицы отвечают «большие» изменения элементов обратной матрицы).
Естественно, что в этом случае решение линейной системы будет н е у сто й ч и в ы м (т. е. «малым» изменениям значений коэффициентов уравнений и свободных членов будут отвечать «большие» изменения решения). Отмеченные обстоятельства приводят к необходимости разработки как других (отличных от формул Крамера) теоретических алгоритмов отыскания решения, так и численных методов решения линейных систем. В $ 4 главы 4 мы познакомимся с м ет о дом р е г у л я р из а ц и и А.
Н. Тихонова отыскания так называемого н о р м а л ьн ого (т. е. наиболее близкого к началу координат) решения линейной системы. В главе 6 будут изложены основные сведения о так называемых и т е р а ц и о н н ы х м ет о да х решения линейныхсистем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных. ГЛАВА 4 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
