В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 21
Текст из файла (страница 21)
5 3. Комплексное евклндово пространство 1. Определение комплексного евклндова пространства. В конце и. 1 $ 1 гл. 2 мы уже указывали, что если в определении лннейного пространства числа ], р, ... брать не нз множества вещественных чисел, а нз множества всех комплексных чисел, то ')Сн. и. 412 тл. 2. "1 Координаты атнк аленеитон бсрутси относительно базиса е~, ез, .„, е,',.
евклидовы пространства <гл. е мы придем к понятию комплексного линейного пространства. На базе комплексного линейного пространства строится комплексное евклидова пространство, играющее фундаментальную роль в теории несамосопряженных линейных преобразований, Для введения комплексного евклидова пространства следует ввести в комплексном линейном пространстве понятие скалярного произведения двух его элементов, подчиненное соответствующим четырем аксиомам. Определение.
Комплексное линейное пространство )т называется ком плексным евклидовым пространс т в о м, если выполнены следующие два требования: 1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам Х и у этого пространства ставится в соопюетствие комплексное число, называемое скалярным произведенн и ем мпих элементов и обозначаемое символом (х, у). 11, Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам: 1'. (х, у) = (у, х) '). 2'. (х, + х„у) = (хы у) + (л~, у).
3'. (»х, у) = » (», у). 4'. (х, х) представляет собой вещественное неотрииательное < число, обраиргюи(ееся в нуль лишь в случае, когда х — нулевой элемент "). Логическими следствиями аксиом 1 — 3' являются следующие два соотношения: (х, Ху) Х (х, у), (х, у1 + уз) (х, уд + (х уз)' В самом деле, нз аксиом !' н 3' заключаем, что (х, Ху) (Лу, х)=Х(~х)=Х(х, у), а нз аксиом !' н 2' получим, что (х, у,+уз)=(у,+у„х) (у„х)+(у„х) (х, уг)+(х, у,). Приведем примеры конкретных комплексных евклндовых пространств, '» Здесь и в дальнейшем символом и ебозиачается число, комплексно сопряжеииое с и. "» Аксиома !' отличается от соогаегстаующей аксиомы 1' вещественного еаклидояз прсстраистзз.
Легко убедиться и том, что при переходе к комплекс. мому пространству иезозможио сокраиить без измеиеиия все три аксиомы»; 3' и 4' вещественного скалярного произиедеиия. В свмом деле, при иаличви аксиом(х, у) (у, х) и(Хх, у) Х(х, у», мы получили бы, что (х, Ху»*= =(Ху,х» = Х(у,х) = Х(х,у). Но тогда оказалосьбы„что(дх,Хх» = к1 (х,у», и, стало быть, прй х г мы получили бы, что (гх, гх» =* — (х, х), а зто прптйаоречило бы аксиоме 4' о иеотрицательассти (у, .р) для любого элемента у. 4 з1 КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 97 П р и м е р 1.
Рассмотрим совокупность С' [а, Ь) всех функций г = г (1), определенных для значений ( из сегмента а ~ г ~ Ь н принимающих комплексные значения г (1) = х (1) (- !у (1) такие, что вещественные функции х (1) и у (1) являются непрерывными иа этом сегменте. Операции сложения этих функций и умножения их на комплексные числа заимствуем из анализа. Скалярное произведение двух любых таких функций определим соотношеь иием (г, (1), г, (1)) = ) г, (1) ге (Г) Ш. 4 Нетрудно убедиться в справедливости для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1' — 4', из чего следует, что рассматриваемая совокупность представляет собой комплексное евклидово пространство. П р и м е р 2.
Рассмотрим комплексное линейное пространство А"., элементами которого служат упорядоченные совокупности п к о м п л е к с н ы х чисел, х„х„..., х„с такими же определениями операций сложения элементов и умножения их на числа, как и в случае вещественного линейного пространства А". Скалярное произведение двух любых элементов х = (х, хм" «и) и у = (у1, у, у ) определим соотношением (х, у)=х,у,+«,у,+ "° +х„у„, (4.16) Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1' — 3' проверяется совершенно элементарно. Справедливость аксиомы 4' вытекает из соотношения (,х, х) = х,х, + х,х, + ° " + х„х„= ~ х, ('+ ( «, ~1 + ° " + ( «е )е.
Стало быть, пространство А". со скалярным произведением (4.16) является комплексным евклидовым пространством, П р и м е р 3. В том же самом комплексном линейном пространстве А", можно ввести скалярное произведение не соотношением (4.16), а более общим соотношением ') (4.17) в котором ~а,»/( — произвольная матрица, состоящая из комплексных чисел а,ю удовлетворяющих условию а㻠— — аы, такая, что е е квадратичная форма ~ ~~ аи»х,х» для всех комплексных хы 1»=1 х„ ..., х„ принимает вещественные неотрицательные значения н ') (4.171 переходит в (4.16), когда матрице 1аи»1 нелне4ен единичной. 4 Мк 459 (гл. 4 евклидовы ПРостРАнствл обращается в нуль лишь при условии )хз)з+)хз(з+ ...
+ + ! х„)з = О. Предоставляем читателю проверку того, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет аксиомам 1' — 4'. 2. Неравенство Коши — Буняковского. Понятие нормы. Докажем, что для любых двух элементов х и у произвольного комплексного евклидова пространства справедливо н е р а в г н с т в о К о ш и — Б у и я к о в с к о г о «) 1(х, у))з ~ (х, х) (у, у). (4.18) На основании аксиомы 4 для любого комплексного числа )ь справедливо неравенство (Хх — у, )ьх — у) ~ О. (4.19) Так как в силу аксиом 1' — 3' и их логических следствий ()х — у, Ах — у) = АА(х, х) — ) (х, у) — )ь(у, х) +(у, у) = =)Х)з(х, х) — Х(х, у) — Х(х, у) +(у, у), то неравенство (4.19) принимает внд ) Х )з (х, х) — Л (х, у) — Х (х, у) + (у, у) ~ О.
(4.20) Обозначим через ф а р г у м е н т комплексного числа (х, у) и представим это число в т р и г о н о м е т р и ч е о к о й форме «*) (х, у) =1(х, у)1(сов ф+)з!пф). (4.21) Положим теперь комплексное число Х равным а = ( (соз ф — 1 з!и ф), (4. 22) где г — произвольное вещественное число. Нз соотношений (4.21) и (4.22) очевидно, что ( Х ( = ) 1(, А (х, у) = = А (л, у) = 1)(х, у) ). Поэтому при выбранном нами Х неравенство (4.20) переходит в неравенство Гз(х, х) — 2(](х, у)) + (у, у) гь О, (4,23) «) Поскольку (л, р) является, вообще говоря, комплексным числом, то нельзя записывать нераненство Коши — Буняковского в янке (4.61.
««) Понятия аргумента и тригонометрической формы комплексного числа разбираются, например, в й 1 гл. 7 выпуска «Основы математнчесного анализа«, часть !. ее! комплвкснов евклидово пеостялнство 99 справедливое при любом вещественном й Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части (4.23), является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство ((х, у) (' — (х, х) (у, у) ~ О, эквивалентное неравенству (4.18).
С помощью неравенства Коши — Буняковского (4.!8) и рассуждений, полностью аналогичных доказательству теоремы 4.2, устанавливается, что вслкое комплексное евклидова пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить соотношением ((х )(= ~~х, х). (4.24) (! при (=й, (О при (~й (4.25) (т. е попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице). Как и в п. 1 3 2, доказывается, что эти элементы линейно независимы и потому образуют базис.
В полной аналогии с доказательством теоремы 4.3 (т. е. с помощью процесса ортогонализации) устанавливается существование в произвольном и-мерном комплексном евклидовом пространстве ортонормнрованного базиса. Выразим скалярное произведение двух произвольных элементов х и у и-мерного комплексного евклидова пространства через их координаты (х„ х„ ..., х„) и (у„ у„ ..., у„) относительно ортонормированного базиса е„ е„ ..., е„.
Так как х=х,е,+х,е, + "° +х„е„, у=у,е,+у,е,+ "° +у„е„, В частности, во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определяемой соотношением (4.24), справедливо н е р авенство треугольника!х+у(<!х!+!у(. 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что введенное для в е щ ес т в е н н о г о евклидова пространства понятие угла ф между двумя произвольными элементами х и у теряет смысл для к о ми л е к с н о г о евклидова пространства (вследствие того, что скалярное произведение (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом). 3.
Ортоиормированный базис н его свойства. Элементы х и у произвольного комплексного евклидова пространства будем называть о р т о г о н а л ь н ы м и, если скалярное произведение (х, у) этих элементов равно нулю. Ортонормированным базисом и-мерного комплексного евклидава пространства назовем совокупность его элементов ем е„..., е„, удовлетворяющих соотношениям ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА игл. а то в силу аксиом 1' — 4' и соотношений (4.25) получим г л л а а (Х, У) = ~Е х,еь Е Уава) =,Е Е хауз(Е„Еа) = ны а 1 ю 1а ! =хгУ1+хаУа+ '' '+хауз.
Выразим далее координаты х„х„..., х„произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса е„е„..., е„. Умножая разложение этого элемента по базису х = х,е, + + з е, + ... + х„е„скалярно на еа и пользуясь соотношениями (4.25), получим (для любого й, равного 1, 2, ..., и) / и л (х, еа)= ~3 х,еь е,~= Я х~(е„е,)=х,. сьи й 4. Метод регуляризации для отыскания нормального решения линейной системы Снова возвратимся к рассмотрению общей линейной системы т уравнений с и неизвестными вида (3.1).
Эту систему кратко запишем в матричной форме е) АХ=В. (4.26) Напомним, что в этой записи символ А обозначает матрицу А = =~аы)(1=1,2,...,т;) =1,2,...,п), а символыХиВобозначают столбцы (или векторы) вида ь, ь ха ха зп первый из которых подлежит определению, а второй — задан. Будем рассматривать случай, когда значения элементов матрицы А и столбца свободных членов В заданы нам лишь приближенно "). Тогда естественно говорить лишь о приближенных ') См. формулу (3.6) нз предыдущей главы. ач) Такая сятуацня будет иметь место в случае, если втн значення пслу. чвнпся нз фнзнчесннх намеренна нлн если в процессе вычвсленнй приходится округлять указанные значенвя до некоторого знака. Итак, как и в случае вещественного евклидова пространства, координаты произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы.
В полной аналогии с доказательством теоремы 4.4 устанавливается„что все комплексные евклидовы пространства одной и той же размерности и изоморфны между собой. мзтод РвгуляРнзлцин !О! г «« )А — А) = ~/ ~ ~ (аы — а„)з ( 6 !! ! (Ца — В!-)' В !» — »»с») (4.29) ') Особенно зто относится к случаю так называемых «плохо обусловленных» матриц (для которых а»алые» изменения злементов матрицы базисного минора ведут к «большим» изменениям злементов обратной матрицы). «') См.
А. Н. Тн х о нов «О некорректных задачах линейной алгебры я устойчивом методе нх решения», Доклады Академии наук СССР, том 153, № 3 (!955), стр. 59! — 594 *«') В самом деле, пользуясь определением произведения матрицы на столбец, соотношениями (4.27) и неравенством Коши — Буняковского для влементов евклидова пространства Ее» будем нметь « 32»» Г и л )АХ(('-~~~а!!а!~ =~~~:а!1 Е х,' »-! 1-! ' ' 1-! /-1 1=! т а л = ~~ ~~' аз~) Я х)з «« (( А ))з )( Х ()х .
1111 1-1 значениях искомого столбца Х. Изложенные в предыдущей главе и основанные на формулах Крамера алгоритмы вычисления столбца решений Х в этом случае могут приводить к большим погрешностям и теряют практический смысл ') Б этом параграфе мы изложим принадлежащий А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
