В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Докажем сначала существование оператора А. Для этой цели определим значения Аеь этого опера- ЛННЕйНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл. Б й'»= ~ а1»Е, 1 1 (5.15) (см. матричную форму записи оператора и определение пп А). Поэтому гапй А равен максимальному числу линейно независимых векторов я».
Так как векторы в„е„..., е„линейно независимы, то, согласно (5.15), максимальное число линейно независимых векторов й» совпадает с максимальным числом линейно независимых строк (а», а», ..., а») матрицы А, т. е. с рангом А. Теорема доказана Пусть А н  — произвольные квадратные матрицы, содержащие и строк и и столбцов. Из теорем 5.3, 5А, 5.5 и 5.6 вытекают следующие следствия. Следствие 1. Ранг гайд АВ произведения А и В удовлетворяет соотношениям гайд АВ ~ ганя А, гапяАВ ~ ганя В, ганя АВ ~ гапй А + гайд  — п. Следствие 2. Обратный оператор А ' для оператора А существует только тогда, когда ранг матрицы А оператора А равен л (л = б!ш У), Отметим, что в этом случае существует также и обратная матрица А ' для матрицы А.
тора на базисных векторах в» с помощью соотношения (5ЛЗ), полагая в этом соотношении а» равными соответствующим эле- 1 ментам заданной матрицы А. Значение оператора А на произвольном векторе м Е У, разложение которого по базисным векторам в„е„..., е„дается формулой (5.! 1), определим по формуле (5.12). Очевидно, построенный оператор линейный и матрицей этого оператора является матрица А. Единственность оператора А, матрицей которого в базисе в,, в„ ..., е„ является матрица А, следует из соотношений (5,13): с помощью этих соотношений единственным образом определяются значения оператора на базисных векторах.
3 а м еч а н и е 3, Пусть А и  — квадратные матрицы порядка и, А и  — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе «в»«пространства У. Из доказательства теоремы 5.5 следует, что матрице А + ХВ, где Х вЂ” некоторое число, отвечает линейный оператор А + АВ (напомним, что А, В и А + АВ принадлежат 1.
(У. У)). Докажем следующую теорему. Теорема 5.6. Ранг линейного оператора А равен рингу матрицы А етого оператора: ганя А = ганя А. Доказательство. По определению гапдА= = б!ш Пгп А), а ни А — линейная оболочка векторов я». а 21 МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 117 2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Пусть У вЂ” линейное пространство, А — линейный оператор из 7. (У> У), е„ е„ ...„ е, и е„ е„ ..., е„ вЂ” два базиса в У и и е»= ~; и»е!, /2=1, 2, ..., и (5.16) ! — формулы перехода от базиса»е,» к базису»е»». Обозначим через У матрицу (и»); (5,17) Отметим„что гапй У = и. Пусть А = (а/») и А = (а»/) (5,18) — матрицы оператора А в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами.
Справедливо следующее утверждение. Теорема б.7. Матрица А и А оператора А в базисах»е»» и» е»» соответппвенно связаны соотнои/внаем А = У'АУ, еде У ' обратная матрица *) для матрицы У, определенно/( равенством (5.17). Д о к а з а т е л ь с т в о. Обращаясь к понятию матрицы линейного оператора, получим, согласно (5.18), и п Ае» = Е а»е>, Ае» = Е а»е!.
(5,19) ! >=1 Из определения линейного оператора, из формул (5.16) и из второй из формул (5.19) следуют соотношения / и л и Ае, = А ~ ~; и»е,~, Ае» = ~ а, '~ и>е/. ! ! ! ! ! л л / и Поэтому справедливо равенство ~'„и»Ае! = Е ~К а»и/ е/. > ! >=! ! ! Подставляя в левую часть этого равенства выражение Ае, по первой из формул (5.19), найдем ')так как гацх У= о> то обратная матрица У ' для матрицы У сущестауат. ггл.
з линеЙные опеРАТОРы ыз Так как»е㻠— базис, то из последнего соотношения вытекают равенства л и ~; и~а,'= ~ а~~и~~, 1, й=1, 2, ..., и. (5.20) ~=! ~=! Если обратиться к матрицам А, А и У (см. (5.17) и (5.18)), то соотношения (5.20) эквивалентны следующему матричному равенству: УА = А У. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу У г, получим требуемое соотношение А = У 'А У.
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Обратимся к формуле А = У-'А У, Умножая обе части этого матричного равенства слева на матрицу У и справа на У ', получим соотношение А= УАУ-', (5.21) представляющее собой другую форму связи между матрицами А и А линейного оператора А в разных базисах. 3 а м еч а н и е 2 Пусть А и  — квадратные матрицы порядка и, А и  — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе»еь» Как уже отмечалось (см замечание 3 предыдущего пункта) матрице А + ЛВ отвечает линейный оператор А + ЛВ. Выясним внд матрицы этого оператора в базисе»е„».
Пусть А и  — матрицы операторов А и В в базисе»е„». Тогда, согласно (5 2!), имеем В=УВУ '. А=УАУ ', (5.22) Матрица линейного оператора А + ЛВ в базисе»еь» имеет, согласно (5.21), следующий внд: У (А + ЛВ) У '. Используя распределительное свойство умножения матриц, перепишем последнюю формулу следующим образом (напомним, что эта формула представляет собой матрицу линейного оператора А + ЛВ в базисе»ез»): УАУ '+ Л(УВУ '). Обращаясь к соотношениям (5.22), видим, что матрица оператора А+ ЛВ в базисе»е„» записывается следующим образом: А + ЛВ.
В частности, если  — единичная матрица, В = 7, то В / (см. замечание 2 предыдущего пункта и теорему 5,5), и поэтому 1 з1 МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1!9 (5.25) называется характер исти ческ им мн ого членом оператора А. Пусть в пространстве Р'задан базис 1в») и А = (а») — матрица оператора А в этом базисе, Тогда, согласно (5.24), характеристический многочлен (5.25) оператора А запишется следующим образом: а« «вЂ” л аз« ...
а«" ~й «~-х " ~й бе1(А — М) = (5.26) 1 ««л Запишем характеристический многочлен (5.25), обозначая через ««» коэффициент при Х»: йе1 (А — Аг) ~~ й»)»». » о (5.27) 3 а м е ч а н и е 1. Так как значение определителя бе1 (А— — М) не зависит от выбора базиса, то коэффициенты й» характеристического многочлена в правой части(5.27) также ие зависят от выбора базиса. Таким образом, козффициенты й» характеристического многочлена оператора А представляют собой инварианты— величины, значения которых не зависят от выбора базиса. матрица линейного Оператора А + )««в базисе (е») имеет вид А + )««, Следствие из теоремы Ю,У. бе1 А бе1 А.
В самом деле, так как определитель произведения матриц равен произведению Определителей этих матриц, то нз равенства А У 'АУ следует, что бе1 А йе1 У ' бе1 А бе1 У. (5.23) Поскольку бе1 У» бе1 У = 1, то нз соотношения (5.23) получаем равенство йе1 А = бе1 А, Таким образом, определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Поэтому можно ввести понятие определителя бе1А линейного о и е р а т о р а А, полагая йе1 А = «(е1 А, (5,24) где А — матрица линейного оператора А в любом базисе.
3, Характеристический многочлен линейного оператора. Пусть А — линейный оператор, а à — тождественный оператор из (. ($', р). Определение. «1(ногочвен относительна Х йе1 (А — А««) линанныи опаэатоэы (гл.а 120 В частности, коэффициент И„ь равный, очевидно, а~ ~+ + а1 + ... + а„", является инвариантом. Этот инвариант называется с л ед ом о п е р а то р а А и обозначается символом (г А (от английского слова (гасе — след): 1г А а, '+ а( + ° ° ° + а„". (5.28) Замечание 2. Уравнение де((А — М) =0 (5.29) называется ха р а к т е р и ст и ч ес к и м у р а в н е н и ем оператора А.
й 3. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов Пусть Рг — подпространство и-мериого линейного пространства У и А — линейный оператор из (. (1~, Р). Определение 1. Пространство У, называется и н в ар и а н т н ы м, и о д и р о с т р а н с т в о м оператора А, если для каждого х, принадлежащего Рм элемент Ах также принадлежит у,. Примерами инвариантных подпространств оператора А могут служить хег А и пп А. Определение 2. Число Х называется с о б с т в е и и ы м эначен нем оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что Ах = 1х.
(5.30) При этом вектор х называется с о ботвен н ы м век т о р о м оператора А, отвечающим собственному значению Х. Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.8. Для того чтобы число ) была собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (5.29) оператора А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” собственное значение оператора А и х — собственный вектор, отвечающий этому Х (х~ 0). Перепишем соотношение (5.30) в следующей форме: (А — кг)х=О.
Так кан х -ненулевой вектор, то нз последнего равенства следует, что Еег (А — М) ~ О, т. е. д(ш (хег (А — хг)) л- 1. (5.31) Поскольку, согласно теореме 5Л, 61ш (1ш (А — хг)) + б(ш ()гег (А — М)) и, Э З1 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 121 то из этого равенства и неравенства (5,31) получаем б(ш (пп (А — )~Х)) ~ и — 1. (5.32) По определению б)ш (цп (А — М)) равняется рангу оператора А — гХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
