В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Доказанная теорема приводит к следующему осуществляемому шаг за шагом алгоритму построения по данной системе л линейно независимых элементов Г,,,7м ...,,Г„ системы а попаРно оРтогональных элементов вн и„ ..., е„, норма каждого из которых равна единице: Л е,— (Л. Л) е,= ', где й,=Д вЂ” (,)'„е,)е,; кв У(йь за) и,, где ят ~д — 1~Я, ет)и,— (Я„и,)и,; йэ и( и„= ", где й„=,г„— (г„, и„,) и, — "° — Ц„, е3е,.

кл )~Ф~, а.) Указанный алгоритм обычно называют п р о ц е с с о м о рт о г о н а л и з а ц и и линейно независимых элементов,~„ У,-У' 3 а и е ч а н и е. Конечно, в каждом и-мерном евклидовом пространстве Е существует много ортонормированных базисов. Действительно, если например, строить ортонормированный базис процессом ортогонализации одних и тех же линейно независимых элементов ун ~„ ..., .Г"„, то, начиная процесс ортогонализации с различных элементов ~„, мы придем к различным ортонормированным базисам. Ниже, в п.

2 $7 гл. 7 будет рассмотрен вопрос о том, как связаны между собой различные ортонормированные базисы данного евклидова пространства Е. Примером ортонормированного базиса может служить декартов прямоугольный базис евклидова пространства всех авклидозы пэостэянствл свободных векторов или совокупность и элементов е, (1,0,0, ...,О), е, (0,1,0,...,0), е„(0,0,0, ...,1) евклидова пространства Е" всех упорядоченных совокупностей и вещественных чисел со скалярным произведением (4.2).

2. Свойства ортонормированного базиса. Пусть е„е„... ..., е„— произвольный ортонормирова нный базис п-мериого евклидова пространства Е, а х и у — два произвольных элемента этого пространства. Найдем выражение скалярного произведения (х, у) этих элементов через нх координаты относительно базиса е„ е„..., е„. Обозначим координаты элементов х и у относительно базиса е„ е„ ..., е„ соответственно через х,, х„ ..., х» и у„ у„ ..., у„, т. е. предположим, что х= х,е, + х,е, + ...

+ х„е, у = у!е! + + у,е, + ... + у„е„. Тогда (х, у)=(х,е,+х,е„+ +х,е„, у,е,+у,е,+ "+у„е„). Из последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений (4.10) получим / » » »» (х, у) Д х!е„Е у,е,) ~„'~~ х,у„(е,е,) ! ! Ф 1 ! !» ! х!у!+х~~+ ' '+х~у». Итак, окончательно, (х, у)=х,у,+х,у,+ ° > ° +х„у„. (4.13) Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произ- ведение двух любых влементов равно сумме произведений соответ- ствуюи(их координат этих элементов, Рассмотрим теперь в и-мерном евклидовом пространстве Е совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормирован. ный) базис,у„Д„...,,у»„и найдем выражение скалярного про- изведения двух произвольных элементов х и у через координаты этих элементов относительно указанного базиса.

Обозначим координаты элементов х и у относительно базиса ,~„~„..., у„соответственно через х„х„..., х„и у„у„..., у„, т. е. предположим, что х = х!~!+ хД, + ° в ~ + х„~, у уьг!+ уД, + ° ° ° + у»,~„. Пользуясь аксиомами скалярною произведения, получим (х, у)=(х,Я+хД, + "° +х„~„, уг~!+уз,Д,+ ° ° ° + у„,)"„) = » »» = ~~д х$Л Е у»Л~ - Я Я х$уа (Д! Л) ! ! а ! и~! л=! оэтоноэмиэовлнныи влзис ввклидовл пэостэлнствя ва Таким образом, в произвольном базисе,1;, .~„..., ~„скалярное произведение двух любых элементов х = х!.г! + хД', + ... + х„.г„ и у = у,Л + у,л + ... + у„Х, определяется равенством и и (х, у) = ~ ~ а,„х,у„, (4.14) ! !а ! в котором матрица !(а!ь1(! = 1, 2, ..., и; й = 1, 2, ..., и) имеет элементы а„= (г!, г„).

Последнее утверждение приводит к следующему результату; для того чтобы в данном базисе Д, Д„..., ~„евклидова пространства Е скалярное произведение двух любых элементов было равно сумме произведений соопиетствующих координап! мпих элементов, необходимо и достаточно, чтобы базис К!, ~„..., У„был ортон армированным. В самом деле, выражение (4.14) переходит в (4.И) тогда и только тогда, когда матрица 1а!ь~ с элементами ам = (л!, Х,) является единичной, т.

е. тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (1 при ю=й, (~ © — ~0 при (~й, устанавливающие ортонормированность базиса ~„ Д„ ...,,р"„. Вернемся к рассмотрению произвольного ортонормированного базиса е„ е„ ..., е„ и-мерного евклидова пространства Е. Выясним смысл координат произвольного элемента х относительно указанного базиса. Обозначим координаты элемента х относительно базиса е„ е„.... е„через х„хы ..., х„, т. е. предположим, что х = х,е, + х,е, + ° ° ° + х„е„. (4.15) Обозначим далее через А любой из номеров 1, 2, ..., и и умножим обе части (4.15) скалярно на элемент еь. На основании аксиом скалярного произведения и соотношений (4.10) получим л й (х, е,)= ~~; х!е„е,) = ~~ х,(еь е,)=хм в=1 ~=! Таким образом, координаты произвольного элемента относительна ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы.

Поскольку скалярное произведение произвольного элемента х на элемент е, имеющий норму, равную единице, естественно назвать проекцией элемента х на элемент е, то можно сказать, что координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны проекциям этого элемента на соонмеп!ствующие базисные элементы. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА ИГЛ. Ф Таким образом, произвольный ортонормированный базис обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам декартова прямоугольного базиса. 3.

Разложение и-мериого евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Пусть 6 — произвольное подпространство и-мерного евклидова пространства Е. Совокупность г" всех элементов у пространства Е, ортогональнык к каждому элементу х надпространства 6, называется о ртогональным дополнением надпространства 6. Заметим, что ортогональное дополнение р само является подпространством Е (ибо из ортогональностн каждого из элементов у, и у, элементу х, очевидно, вытекает, что и любая линейная комбинация элементов у, и у, ортогональна элементу х). Докажем, что всякое и-мерное эвклидово пространство Е предспимлягт собой прямую сумму своего произвольного надпространства 6 и гго ортогонального дополнения г".

Выберем в 6 произвольный ортонормированный базис е„ е„..., ею В силу доказанного В и. 1 $ 3 гл. 2 этот базис можно дополнить элементами Д+н ..., .г„пространства Е до базиса во всем Е. Произведя процесс ортогонализации элементов е„..., ек, ~ь,ь ..., У„, мы получим ортонормированный базис е,, ..., еь, ек „..„е„всего пространства Е. Разложив произвольный элемент х пространства Е по этому базису, т.

е. представив его в видех = х,е, + ... + ксеь + кяыеь„+ ... + + х„е„, мы получим, что этот элемент х однозначно представим в виде х = х'+ х", где х' = х,е, + ... + хьеь совершенно определенный элемент 6, а х" = х„„е„„+ ... + х„е„— со. вершенно определенный элемент ортогонального дополнения р (каждый элемент е„~„..., е„ортогоиален к любому из элементов е„..., ем а потому ортогонален любому элементу 6; поэтому н линейная комбинация х„„еьы + ... + х„е„ ортогональна к любому элементу 6, т. е. является совершенно определенным элементом р). 4. Изоморфизм п-мерных евклидовых пространств. В этом пункте мы покажем, что различные евклидовы пространства одной и той же размерности и в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга.

Поскольку в евклидовых пространствах введены лишь операции сложения элементов, умножения элементов на числа и скалярного перемножения элементов, то естественно сформулировать следующее определение. Определение. Два гвклидовых пространства Е и Е' называются и з о м о р ф н ы м и, если между элементами этик пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам х и у пространства Е отвечают соот- з 3] КОМПЛЕХСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 95 ветственно влементм х' и у' «ространства Е', то элементу х + у отвечает элемент х' + у', элементу Хх («ри любом веи(естес«нам Х) о«]вечает элемент Хх' и скалярное «роизведение(х, у) равно скалярному «роиэведению (х', у').

Таким образом, евклндовы пространства Е н Е' нзоморфны, если онн нзоморфны как линейные пространства *) н если этот нзоморфнзм сохраняет величину скалярного произведения соответствующих пар элементов. Теорема 4.4. Все евклидовы «ространстеа одной и той же раяиерности «изоморфны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что любое «-мерное евклндово пространство Е' нзоморфно евклндову пространству Е" упорядоченных совокупностей «вещественных чисел со скалярным произведением (4.2). Согласно теореме 4.3 в евклндовом пространстве Е' существует ортонормнрованный базис еь вз, ..., е;.

Каждому элементу х' = х]е! + хзез+ ... + х„е„' пространства Е' поставим в соответствие «вещественных чисел х,„х„..., х„, т. е. вполне определенный элемент х = (х„ х„..., х„) пространства Е". Установленное соответствие будет взаимно однозначным. Кроме того, нз теоремы 2,4 вытекает, что если элементам х' = (х„ х, ..., х„) н у' = (у,, у„..., у„) пространства Е' '" а) отвечают соответственно элементы х = (х„ха, ..., х„) н у = (у„у„..., у„) пространства Е", то элементу х' + у' отвечает элемент х+ у, а элементу Хх' отвечает элемент Хх. Остается доказать, что для соответствующих пар элементов х', у' н х, у сохраняется величина скалярного произведения.

В силу Ортонормнрованностн базиса е(, ез„..., е' н формулы (4.!3) (х', у') = х,у, + х,у, + ... + х„у„. С другой стороны, в силу формулы (4.2), определяющей скалярное произведение в пространстве Е", (х, у) = х,у, + х,у, + ... + хну„. Теорема доказана. Доказанная теорема позволяет утверждать, что если в каком- нибудь конкретном «-мерном евклндовом пространстве Е' доказана теорема, сформулированная в терминах операций сложения, умножения на числа н скалярного перемножения элементов, то эта теорема справедлива н в совершенно пронзвольном «-мерном евклндовом пространстве Е.

Характеристики

Список файлов книги