В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(5.47) Так как сопряженное значение от В,(х, у) равно В, (х, у), то, беря сопряженное значение левой и правой частей (5.47) и учитывая равенство В, (у, х) = В (х, у), получим В (х, у) = (у, Ах). (5.48) Но (у, Ах) = (Ах, у) (см. гл. 4, $3, и. 1). Поэтому из (5.48) получаем равенство (5.4о). Следствие доказано. 3 а м е ч а и и е 2. Теорема 5.11 и следствие из этой теоремы справедливы и для случая вещественного евк. идова пространства. В этом случае в формулировке теоремы и следствия термин чполуторалинейная форма» надо заменить термином «бигп!вейиая форма», Слч. также замечание 1. Введем понятие матрицы полуторалинейной формы в данном базисе (еь).
ч л Пусть х, у принадлежат У и х = Е хгвп у = ~~ у'в„— разлоу=!» ! жения х и у по базису (еь». Из определения полуторалннейной ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [гл. а 126 формы следуют соотношения ! л л л В(х, у) =В ~~; хавь ~; у»е»~ = Е Е хгУ»В(вь е»). (5.49) ! !»=! Полагая Ьэ» — — В(еь е»), (5.50) запишем выражение (5.49) для В (х, у) в следующей форме: л В(х, у)= ~, "Ь!»хТу».
а,» ! Матрица В = (Ь,») называется м и т р и ц е й п о л у т о р а- линейной формы В(х, у) в базисе 1е»'1. Справедливо следующее утверждение: Пусть полуторалинейния форма В (х, у) представлена в виде (5.46) В(х, у) =(Ах, у). (5.46) Пусть далее элементы матрицы А оператора А в данном ортанормировинном базисе ровны а~!. Тогда в этом базисе Ь,» — — а». Для доказательства обратимся к выражению (5.50) для коэффйцнентов ЬА» полуторалннейной формы.
Преобразуем правую часть (5.50) с помощью (5.46). Получим, согласно (5.13), ! л л Ьм = В(е„е») = (Ае„е») = ~ ~ и,"е„, е» ) = ~ а,'(е, е»). а=! а=! Так как базис (е») ортонормированный, то (е, е») = О, если д Ф й и (е», е») = 1.
Поэтому нз всех слагаемых последней суммы отличным от нуля будет лишь то, которое получается при д = й. Таким образом, Ь,» = а». Утверждение доказано. 3 а и е ч а н и е 3. Если полуторалинейная форма представлена в виде В (х, у) = (х, Ау) н элементы матрицы А оператора А в данном ортонормированном базисе равны иа, то в этом базисе Ь,» — — и». й 5. Лннейные самосопряженные операторы в евклндоаом пространстве !. Понятие сопряженного оператора. Мы будем рассматривать линейные операторы в конечномерном евклндовом пространстве у. Определение 1. Оператор А" из 1, (а', У) называется с о и р я ж е н н ы м к линейному оператору А, если для любых х и у из у выполняется соотношение (Ах, у)=(х, А'у).
(5.5!) » з! ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 127 Легко убедиться в том, что оператор А», сопряженный к линейному оператору А, сам является линейным оператором. Это вытекает из очевидного соотношения (Ах, ау,+ру,) а(Ах, у,)+о(Ах, у,)= = — а~х, А»у,)+р(х, А*у,) =(х, А'(ау, +ау,)), справедливого для любых элементов х, у„у, и любых комплексных чисел а и р. Докажем следующую теорему. Теорема бЛ2. Коосдый линейный оператор А имеет единопеенный сопряженный. Д о к а з а тел ь с та о, Очевидно, скалярное произведение (Ах, у) представляет собой полуторалииейную форму (см. гл.
4, $ 3, и. 1 и Определение полуторалинейной формы). По теореме 5А1 существует единственный линейный оператор А' такой, что эта форма может быть представлена в виде (х, А'у). Таким образом, (Ах, у) = (х, А*у). Следовательно, оператор А» — сопряженный к оператору А. Единственность оператора А' следует нз единственности представления полуторалинейного оператора в виде (5А4). Теорема доказана. В дальнейшем символ А' будет обозначать оператор, сопряженный оператору А. Отметим следующие свойства сопряженных операторов: 1. Т» =Т.
4'. (А»)» = А. 2', (А + В)* = А» + В». 5'. (АВ)» = В»А». 3'. (ЛА)* = ЛА». Доказательства свойств !' — 4' элементарны, и мы предоставляем нк читателю. Приведем доказательство свойства 5'. Согласно определению произведения операторов справедливо соотношение (АВ) х = А (Вх). С помощью этого равенства и определения сопряженного оператора получаем следующую цепочку соотношений: ((АВ) х, у) =(А (Вх), у) =(Вх, А'у)= = (х, В»(А'у)) =(х, (В'А») у).
Таким образом, ((АВ) х, у) (х, (В»А») у). Иными словамн, оператор В»А" является сопряженным к оператору АВ. Справедливость свойства 5' установлена. 3 а м е ч а н и е. Понятие сопряженного оператора для вещественного пространства вводится совершенно аналогично. Выводы этого пункта и свойства сопряженных операторов справедливы и для этого случая (при этом свойство 3 формулируется так: (ЛА)» = ЛА»). 1гл. 5 линзиныа опвгьтогы 2.
Самосопряженные операторы. Основные свойства. Определение 2. Линейный оператор А из Е (У, У) называется с а м ос о и р я ж ел н ы м, если справедливо равенство А'=А Самосопряженный оператор в вещественном пространстве определяется аналогично. Простейшим примером самосопряжениого оператора является тождественный оператор ! (см. свойство 1' сопряженных операторов в предыдущем пункте). С помощью самосопряженных операторов можно получить специальное представление произвольных линейных операторов, Именно, справедливо следующее утверждение. Теорема а.13. Пусть А — линейный оператор, действующий в комплексном евклидовом пространстве У.
Тогда справедливо представление А = Ая + гА„где Ая и А, — сомосопряженные операторы, называемые соответственно действигпельной и мнимой частью оператора А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно свойствам 2', 3' и 4' сопряженных операторов (см. предыдущий пункт этого параграфа) операторы Ав = (А + Аь)/2 и А, = (А — Аь)/2г самосопряженные.
Очевидно, А = Ая + ~Ап Теорема доказана, В следующей теореме выясняются условия самосопряженности произведения самосопряженных операторов. Мы будем говорить, что операторы А и В коммутируют, если АВ = ВА. Теорема 5.14. Для того чтобы произведение АВ самосопряокенных операторов А и В было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как А и  — самосопряжениые оперзторы, то, согласно свойству 5' сопряженных операторов (см. п. 1 этого параграфа), справедливы соотношения (АВ!ь —— В*А" = ВА (5.52) Следовательно, если АВ = ВА, то (АВ)ь = АВ, т. е. оператор АВ самосопряженный. Если же А — самосопряженный оператор, то АВ = (АВ)ь, и тогда на основании (5 52) АВ = = ВА. Теорема доказана. В дальнейших теоремах устанавливается ряд важных свойств самосопряженных операторов. Теорема б,И; Если оператор А самосопряженныи, то для любого х Е У скалярное произведение (Ах, х) — вещественное число, Д о к а з а т е л ь с т в о.
Справедливость утверждения теоремы вытекает нз следующего свойства скалярного произведения з з) линеЙные САмосопряженные Операторы 1229 в комплексном евклидовом пространстве (Ах, х) = (х, Ах) и определения самосопряжениого оператора (Ах, х) (х, Ах) '). Теорема б.16. Собственные значения самосопрягсенного оператора вещественны. Д о к а з а т ел ь с т во. Пусть Л вЂ” собственное значение самосопряжениого оператора А. По определению собственного значения оператора А (см. определение 2 9 3 этой главы) существует ненулевой вектор х такой, что Ах = Лх, Из этого соотношения следует, что вещественное (в силу теоремы 5АБ) скалярное про* изведение (Ах, х) может быть представлено в виде (Ах, х) = Л (х, х) = Л ) х ) е).
Так как эх) и (Ах, х) вещественны, то, очевидно, н Л -вещественное число. Теорема доказана. В следующей теореме выясняется свойство ортогональности собственных векторов самосопряженного оператора. Теорема 5.17. Если А — самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собспыенным значениям етого оператора, ортогоналены.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л, и Л, — различные собственные значения (Л, чь Л,) самосопряженного оператора А, а х, и х, — соответственно отвечающие им собственные векторы. Тогда имеют место соотношения Ах, = Л,х„Аха = Л,х,.
Поэтому скалярные произведения (Ах„х,) н (х„Ах,) соответственно равны следующим выражениям (Ах„х,) = Л,(хы ха), (хы Аха) = Л (хы х )*'е). Так как оператор А самосопряженный, то скалярные произведения (Ах„х,) и (х,, Аха) равны, и поэтому из последних соотношений путем вычитания получаем равенство (Л, — Л,) (х„х,) = (), Поскольку Л, ~ Л„то из последнего равенства следует равенство нулю скалярного произведения (х„х,), т.
е, ортогональиость собственных векторов х, и х,. Теорема доказана. 3. Норма линейного оператора. Пусть А — линейный оператор, отображающий евклидова пространство У в это же пространство. Введем понятие нормы оператора А. е) Напомним, чтоесли комплексное число равно своему сопряженному„ то это число — вещественное. а*) Напомним, что символ )х) обоаначает норму элементах е") Так как собственные аначеннн самосопрвженного оператора вещественны, то (х„ Ах,) Хе (х„ х,) = Л,(х„ х,). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ггл. а Определение 3.
Н о р м о й !! А) линейного оператора А называется число, определяемое соотноигением *) ()А!(= Епр !(Ах(!. (5.53) г а 11=1 Из определения нормы линейного оператора вытекает следующее очевидное неравенство: !! Ах Д «!! А !! Ц х !! (5.54) (для доказательства достаточно воспользоваться соотношением Ах = (А — ! !|х)!). Из соотношения (5.54) следует, что если (х!! у ~А(! = О, то ойератор А является нулевым.
Норму самосопряженного оператора А можно определить и другим способом. Именно, справедливо утверждение: Если А — самосопрятменный оператор, то введенная выиге норма А(! оператора А равна зор ((Ах, х) (: пкь 1 зор ((Ах, х) ! =!!А). (5.55) ыи-1 Доказательство. Для любого х из У справедливо неравенство Коши — Буняковского (см. п. 2, 3 3, гл. 4) ! (Ах, х! ! «) Ах) ))х~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
