В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(5.93) «=! Достаточно доказать, что для операторов А и А*, определяемых соотношениями (5.59) и (5.93), справедливо равенство (х, Аеу) =(Ах, у). (5 94) Подставляя в левую часть этого равенства выражение Аеу по формуле (5.93), получим после несложных преобразований а л (Х, Аеу)= 2. (Х, ЛА (у, Еь)ЕА)= ~ Л„(у, Еь)(Х, Е„) = ь=! а=! и = Е Л„(х, еа)(еа, у)=(Ах, у). ь ! Таким образом, равенство (5.94) доказано, и поэтому оператор А"', действующий по правилу (5.93), является сопряженным к оператору А. Чтобы завершить доказательство теоремы, нужно убедиться в справедливости равенства (5.92): А*А = АА*. Имеем, согласно (5.93) '), а АА'х= ~ Ль(х, еа)Аеь —— ь=! = Е Ль Ль (х, е,) е, = 2, "ЛАЛА (х, е,) еь — — А*Ах.
а=! «-! *) Представление (6 69) справедливо длн любого оператора, нмеюпгего л попарно ортогонзльных собственных векторов. ") Мы воспользовались так же соотношенннмн Аеа Лава. 483 кАнОническиЙ Вид линейных ОпеРАТОРОВ 147 Итак, для операторов А и Ач справедливо равенство (5 92), и, следовательно, оператор А является нормальным. Теорема доказана. й 8. Канонический аид линейных операторов В этом параграфе рассматривается вопрос о выборе для заданного линейного оператора специального базиса, в котором матрица этого оператора имеет простейший вид, называемый асордаиовой формой матрицы.
Введем понятие присоединенного элемента оператора А. Определение. Элемент х называется п р и с о е д и и е ни ы м ел ем е и том оператора А, отвечающим собственному значению А, если для некоторого целого т ~ 1 выполняются соотношения (А — М) ч х „-ь О, (А — М) +' х = О. При этом число т называется порядком присоединенного элемента х. Иными словами, если х — присоединенный элемент порядка т, то элемент (А — М) х является собственным вектором оператора А. В этом параграфе мы докажем следующую основную теорему.
Теорема 5.32. Пусть А — линейный оператор, действуюи(ий в и-мерном евклидовом пространстве (7. Существует базис (еэ), я=!, 2, ..., 1; т=1, 2, ..., пэ, п, + па+ ° ° ° + пс — — пю (5.95) образованный из собственных и присоединенных векгпоров оператора А„в котором действие оператора А описывается следующими соотношениями: Ае)=ХАе(, й=1, 2, ..., 1; Аеэ =ХАеэ + еч ', а=1, 2, ..., 1; т=2, 3, ..., пм (596) Прежде чем перейти к доказательству, сделаем ряд замечаний. Замечание 1. Очевидно, векторы еэ (а=1,2,...,)) базиса (5.95) являются собственными векторами оператора А, отвечающими собственным значениям ХА. Из определения присоединенных векторов и соотношений (5.96) следует, что векторы еА (й = 1, 2, „., 1; т = 2, 3, ..., ПА) являются присоединенными векторами порядка т, отвечающими собственным значениям Ц соответственно.
линейные опар»торы !гл. з 3 а м еч а н и е 2. Обращаясь к формулам (5.13) и (5.12), мы видим, что соотношения (5.95) действительно определяют действие оператора А в пространстве Р при заданном базисе (в»). 3 а м е ч а н и е 3. Матрица А линейного оператора А в базисе (еа) имеет следующий «клеточныйв вид: 0 йз (5.97) 0 'А, где клетка Л» представляет собой следующую матрицу: Х» ! О ... О О Х» ! ... О (5.98) Л» = О О О О О О ...
Х» 3 а и е ч а н и е 4. Форма (5.97) матрицы А линейного оператора А называется жордановой формой мат ° р и ц ы этого оператора. При этом клетка Л» обычно называется жордано вой клеткой матрицы А. Отметим, что теорему 5.32 о приведении матрицы оператора к простейшему виду (5.97) называют теоремой о приведении матрицы оператора к жордановой форме. 3 а меч а н и е 5, Жорданова форма матрицы (5.97) определена с точностью до порядка расположения клеток Л» по диагонали матрицы.
Этот порядок зависит от порядна нумерации собственных значений Л». Мы дадим доказательство теоремы 5.32, предложенное А. Ф. Филипповым е). Доказательство теоремы 532. Для доказательства теоремы применим метод индукции. При п = 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть и ) 1 и теорема верна для пространств размерности меньше л. Докажем, что при этом предложении она верна и для пространств размерности и. Этим и будет завершено доказательство теоремы.
Пусть » — собственное значение оператора А. Согласно теореме 5.8 это число является корнем характеристического уравнения де! (А — »Х) = О. Следовательно, ранг и линейного оператора 'е) В А-И (5.99) меньше и, т. е. и ( и. ') А. Ф.
Ф ил и п нов. Краткое доказательство теоремы о приведении матрицы к жордановой форме. — Вестник Московского университета, )97), И 2. '*) Напомним, что ранг г линейного оператора В равен размерности Пп В; согласно теореме 6,6 ранг и равен рангу матрицы этого оператора. е В1 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИд ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ио Линейный оператор В отображает пространство )г на подпространство пп В.
Поэтому оператор В отображает подпространство 1ш В размерности г ( п в это же подпространство. По предположению индукции в нп В есть базис ($»), й=1, 2, ..., р; т=1, 2... „г», г1+гт+ ° ° ° +гр —— г, (5.100) в котором действие оператора В из ип В в пп В дается следующими соотношениями: ВВ) = 1»»й»», й = 1, 2, ..., р, ВЬ» р»Ь» +Ь», й=1, 2, ..., р; т=2, 3,..., г».~ 1 (5.101) Таким образом, в этом базисе матрица В оператора В, действующего нз ип В в нп В '), имеет следующий клеточный вид: р„1 о ... о О р» 1 ...
О где М„= ........... (5.102) о о о о о о ... р, ~м, О О м (5.103) »1 Символом В мы будем обозначать оператор В, действующий из нп В в йпВ. "')Ранг мвтрнцы В ревев аппп ипВ. Согласно теореме бн йщ!щ В .1- + йщ иег В г. Следовзтельио, йщ нег В щы Пусть лишь первые и, (и, ~ 0) собственных значений опера- тора В равны нулю. Так как ранг каждой клетки М» (см. (5.102)), для которой р» — — О, равен 㻠— 1, а ранг клетки, для которой р» ~ О, равен г„, и то, согласно (5.100), ранг матрицы В равен Е г„— т, = г — и,.
»! Поэтому размерность подпространства кег В равна т, '*) и )сег В представляет собой линейную оболочку векторов В~1, Ьт~, ." ..., л',. Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в 1сег В. Очевидно, 1сег В с=. Кег В. Дополним базис й',, лт, ... ..., В', в кег В до базиса в 1сег В векторами д», й = 1, 2, ..., и„ те = л — г — т, (размерность 1»ег В по теореме 5.1 равна л — б)гп ип В, т.
е. равна л — г), Так как е» ~ 1сегВ, то ва„о. ЛИНЕЙНЫЕ ОРЕРАТОРЫ ггл. е Обратимся теперь к векторам Ь»», й = ), 2, ..., Л»!. Поскольку эти векторы принадлежат пп В, то существуют такие векторы .г» Е У, что В7» =й»», й=1, 2, ..., л!!. (5.104) Докажем теперь, что векторы й» (й 1, 2, ..., р; л!=1, 2, ..., г»), К»(е 1, 2, ° ° *> л!а), г»(а=1 2, ° ° л»») (5.105) линейно независимы. Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию )= этих векторов: г» ~= Е ~ с»» й» + ~ ()»й»+ ~; у»~» =О. (5.106) Рассмотрим действие оператора В на этот элемент,г". Получим согласно (5.101), (5.103) и (5.104), следующее выражение » » Г~ ИФ~ Вг= ~~ а»!р»ь»+ ~ ~ а~ (р»й»" + ь» ') + ~ 7»7»»» = О. » ! ~! т=з » ! (5.107) Соотношение (5.107) представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов (Ь» ); поэтому коэффициенты при этих векторах в указанной линейной комбинации равны нулю.
Поскольку р» 0 при А ~ т„то из (5.107) следует, что коэффициенты при й»» в точности равны 7», и поэтому 7» = О. Отсюда и из соотношения (5.106) получаем равенства '» Й'= Е ий»Ф'»= Е Е <ХЫЬ»ю » ! » !л~ 1 (5.108) из которых следует, что вектор А, представляющий собой линейную комбииацию векторов «й»), принадлежит нег В (напомним, что векторы (й») составляют часть базиса в кег В). С другой стороны, из (5.108) вытекает, что й представляет собой линейную комбинацию векторов Ь», т. е. принадлежит 1шВ. Следовательно, В принадлежит кег В (напомним, что кегВ есть пересечение 1ш В и 1сег В), и поэтому В Я 5»Ь».
ь=! ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Так как линейные оболочки наборов векторов (й' ) и )л1) имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в кегВ) и, как мы установили, й" принадлежит каждой из упомянутых линейных оболочек, то и = О. Но тогда из (5.108) следует, что рк = 0 (й = 1, 2, ..., т,) и а„= 0 (я = 1, 2, ... ..., р; т = 1, 2, ..., г„), Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (5.106) векторов (5.105) равны нулю, т. е. векторы (5.105) линейно независимы.
Общее число векторов (5.105) равно г + т, + гл,. Так как гл, = л — г — и, (это было установлено выше в доказательстве при введении векторов йь), то общее число векторов (5.105) равно л и поэтому они образуют базис в У. Обозначим У =й'~ (5.109) и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий: (а ): (В ); "; (В-.); йь йк~~) ь 1 2 (йь ..., Ьа ), й= т1-)- 1, ..., Р. (5.110) Рассмотрим действие оператора В на векторы базиса (5.110) в пространстве У. Обращаясь к соотношениям (5.!01), (5.103), (5.104) и (5.!09), убедимся, что действие В в базисе (5.110) дается соотношениями ВВ„=О, й= 1, 2, ..., тц, Вй~| = й~", й=!, 2, ..., ш и соотношениями (5!01).
Итак, в базисе,'5.110) оператор В = А --АХ действует правилу (5.96), указанному в формулировке теоремы 5. Но тогда в этом базисе и оператор А = В и И действует . о этому же правилу. Теорема доказана. б 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве В этом параграфе ы покажем, каким образом определения и результаты предыд1 чх параграфов переносятся на случай вещественных евклидо. пространств. 1. Общие замечанич.
Рассмотрим произвольное л-мерное вещественное евклидово пространство У и оператор А, действующий из У в У. Понятие линейного оператора для случая вещественного линейного пространства формулируется в полной аналогии с соответствующим понятием для комплексного пространства. линвиныв опвзатоэы [гл. з Определение Л Оператор А называется л и и е й и ы м, если для любых элементов х Е Р и у ~ Р и любых вещественных чисел а и () выполняется равенство А (ах + 5у) = аАх+ рАу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
