В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тогда суммой подпростраиств Ез и Е, будет являться все пространство !с '*), а пересечением подпространств Е, и Ь, будет являться множество всех свободных векторов, параллельных оси Ох. Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.9. Сумма размерностей произвольных надпространств Е, и Е, конечномерного линейного пространства !т равна сумме размерности пересечения этих надпространств и размерности суммы этих надпространств. Д о к а з а т е л ь от в о. Обозначим через Ье пересечение Ь, и Е„а через Š— сумму Ь, и Е,, Считая Ее й-мерным, выберем в нем базис е„ е„ ..., е,.
(2.1 1) Используя утверждение, доказанное в п. 1, дополним базис (2.11) до базиса еы ° ° ° ею Й'ы ° ° ° Кз (2.12) в подпространстве Ез и до базиса е„..., еи, .гы ", У (2ЛЗ) в подпространстве Ью Достаточно доказать, что элементы йы ..., йп е„ ..., е,, ~ы ..., У„ (2.14) являются базисом суммы Е подпространств Е, и Е,'**). Для этого в свою очередь достаточно доказать, что элементы (2.14) линейно независимы и что любой элемент м суммы Ь представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.14). Сначала докажем, что элементы (2.14) линейно независимы.
«) См. предыдущую сноску. ") В самом деле, любой вектор х пространства )! представляет собой линейную комбинапию х си+ ))) + уй бззнсных векторов ЬЬ й параллельных осям Ох, ОР н Оз соответственно, причем вектор си + Р/ принадлежит Ез, а вектор тй принадлежит Аз. ьь') Ибо при атом размерность Е, равная )+ й+ ю, в сумме с размерностью Ее, равной й, будет равна сумме размерностей й + ) н й + ю подпространств Ез н Ье.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1Гл. д Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов (2.14) представляет собой нулевой элемент, т. е. справедливо равенство аду, +... + а а; + рде, +... + Рдед + у,,7.д +... + у 7". = О (2.15) или а,а, +... + а,дг, + (),е, +... + ()дед —— — у,~; —... — у ~ (2.16) Так как левая часть (2.16) является элементом Б„а правая часть (2.16) является элементом 7.м то как левая, так и правая часть (2.16) принадлежит пересечению Е, подпространств Б, и 7.д. Отсюда следует, в частности, что правая часть (2.16) представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.11), т. е.
найдутся такие числа Л„..., Лд, что — У, Уд —... — У„У = Л,е, +... + Лдед. (2.17) В силу линейной независимости базисных элементов (2.13) равенство (2.17) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты у„..., у„, Л„..., )д равны нулю.
Но прн этом из (2.15) мы получим, что ~М;+... + а,й', + Р,е, +... + 6дед = О, (2.18) В силу линейной независимости базисных векторов (2.12) равенство (2.18) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты а„..., ан ()„..., Од равны нулю. Тем самым мы установили, что равенство (2.15) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты ан ..„ан 6„..., рд, у„..., у равны нулю, а это и доказывает линейную независимость элементов (2.14).
Остается доказать, что любой элемент х суммы Ь представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.14), но зто сразу следует из того, что этот элемент х представляет собой (по определению Ь) сумму некоторого элемента х, подпространства 7.„ являющегося линейной комбинацией элементов (2.12), и некоторого элемента х, подпространства Ь„являющегося линейной комбинацией элементов (2.13). Теорема доказана. Возвращаясь к примеру, рассмотренному перед формулировкой теоремы 2.9, заметим, что в этом примере размерность каждого из подпространств (.д и Б, равна двум, размерность их суммы равна трем, а размерность их пересечения равна единице.
4. Разложение линейного пространства в прямую сумму надпространств. Пусть )с, и )с, — два подпространства линейного и-мерного пространства Я. Определение. Будем говоршпь, что простраиство )с представляет собой и р я м у ю с у м м у подпространствгсд и )сд, если подпгостьлиствл линейных пгостглнств каждый элемент х пространства И может быть е д и н с т в е ни ы м способом представлен в виде суммы х=х,+х, (2.19) элементах, надпространства Р, и элемента хэ надпространства Я,. Тот факт, что Я представляет собой прямую сумму Я, и Я, символически записывают так: Р = К, Щ К,. Последнее равенство обычно называют р а з л о ж е н и е и пространства К в прямую сумму подпространств й~ и йэ.
Так пространство й всех свободных векторов (в трехмерном пространстве) можно разложить в прямую сумму подпростраиства К1 всех векторов, параллельных плоскости Оху и подпространства г4 всех векторов, 'параллельных оси Ог. Теорема 2.Ю. Для того чтобы и-мерное пространство Я предапавляло собой прямую сумму надпространств Я, и й„достаточно, чтобы пересечение А', и Аэ содержало только нулевой элемент и чтобы размерность Р была равна сумме размерностей подпространств )г, и Рм До к аз ат ел ьот в о. Выберем некоторый базисе„..., еь в подпростраистве Р, и некоторый базис й„..., д, в подпростраистве Я,. Докажем, что объединение этих базисов вт '' вю К1 '' КР (2.20) представляет собой базис всего пространства К. Так как по условию теоремы размерность и всего пространства )г равна сумме я + ( размерностей Р, и й„то достаточно (в силу теоремы 2.5) доказать линейную независимость элементов (2 20).
Предположим, что некоторая лияейная комбинация элементов (2.20) представляет собой нулевой элемент, т. е. справедливо равенство а1в, +... + а,в, + Р,й1+ " + Р,й; = О, (2.2)) или а~в~ +... + аьеь = ()~й'1 —... — ))сяо (2.22) Так как левая часть (2.22) является элементом Я„а правая— элементом Я„а пересечение Р, и Р, содержит лишь нулевой элемент, то как левая, так и правая часть (2.25) представляет собой нулевой элемент, а зто (на основании линейной независимости элементов каждого нз базисов е„..., еь и и'» ..., и") возможно лишь при условии ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл. з Тем самым мы установили, что равенство (2.21) возможно лишь при условии (2.23), а это и доказывает линейную независимость элементов (2.20) и тот факт, что элементы (2.20) образуют базис всего пространства Р, Пусть теперь х — любой элемент Р. Разложив его по базису (2.20), будем иметь х = Х,е, + ...
+ Хьвв+ р~д1+ ". + РМг или х= х, +х„где х, = Х,е, + ... + Хгвв — элемент К, а х, = р,й, + ... + Р,э, — элемент Р,. Остается доказать, что представление (2.19) является единственным. Предположим, что, кроме (2.19), справедливо н еще одно представление х=х(+хе, (2.24) где х( — элемент Ри а х4 — элемент Рт. Вычитая (2.24) из (2.19), получим, что О =х1 — х1+хе — хм нли х~ — х~ = хг — х4. Так как в левой части последнего равенства стоит элемент Р„а в правой — элемент Р„и поскольку пересечение Рг и Р, содержит лишь нулевой элемент, то из этого равенства следует, что х| — х( = О, х) — хв = О, т. е. х( = хп хг = х4.
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. В случае, когда пространство Р представ. ляет собой не прямую, а обычную сумму подпространств Рг и Р„ представление (2.19) любого элемента х пространства Р также справедливо, но нв является, вообще говоря, единственным. Пусть, например, Р представляет собой трехмерное пространство всех свободных векторов, Р, — подпространство всех векторов, параллельных плоскости Оху, а Рт — подпространство всех векторов, параллельных плоскости Охг. В предыдущем пункте мы выяснили, что Р представляет собой сумму (но, конечно, не прямую сумму) подпространств Р, и Р,. Обозначим через 1, ,Г, й базисные векторы, параллельные осям Ох, Оу н Ог соответ. ственно, и разложим произвольный элемент х пространства Р по базису 1,,г', й.
Найдутся вещественные числа а, р и у такие, что х=а1+ Ц+ уй, так что, с одной стороны, х =х, + х„где х,= а1+ Ц вЂ” элемент Р„а х, = уй — элемент Р„с другой стороны, х= х( +х1, где х( = Ц вЂ” элемент Ри а х4 = а1 + уй— элемент Р,. й 4. Преобразование координат при преобразовании базиса и-мерного линейного пространства 1. Прямое н обратное преобразование базисов.
Пусть в„ ен ..., е и в1, в1, ..., е„' — два произвольных базиса и-мерного линейного пространства Р. Как всякий элемент пространства Р, каждый элемент и(, в4, . „в„' может быть разложен по базису еп ем ..., и„. Предположим, что элементы в1, в), „е„' 4 а] пРБОБРАЗОВАние КООРДИНАТ пРН ПРЕОБРАЭОВАНиИ БАЗИСА Б! ВЫРажаЮтСЯ ЧЕРЕЗ Е1, Е„..., Еп С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ Е1=а12Е~+а12Е +...
+аппЕ„ ет=а21е2+атФ +...+а2.е„ (2,25) е» а„1е2 + а„тез+... + а„е . Зто означает, что переход от первого базиса е„ е„ ..., еп ко второму базису е2, ез, ..., е„', задается матрицей А=~ а11 ам ° ° ° аап аы ааз ° ., аап ап1 апа ° апп (2.26) Подчеркнем, что определитель Ь матрицы (2.26) заведомо отличен от нуля '), ибо в противном случае в силу теоремы 1.7 строки этой матрицы (а стало быть, и базисные элементы е(, ет, ..., е„') оказались бы линейно зависимыми.
Убедимся в том, что обратный переход от второго базиса е,", ет, „., е; я первому базису ен ет, ..., е„осуществляется с помощью матрицы В, обратной н матрице А. Напомним, что матрица В, обратная к матрице А, введена в п. 7 22 гл. 1 и имеет вид Аы 422 Ат л л ''' л Ам Ааа л л ' ' л (2.27) А2п Аап Апп л л ''' л '1 Такую патрику в п. 7 $2 гл. ! мы логоворвлвсь называть и е в ырожлепвой. '*! См. свойство 4' аз и. 4 4 2 гл. !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
