В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

+с,ам+ с„аА, =О ГЛАВА 2 линвАныв прОстрднстнд Из курса аналитической геометрии читатель знаком с операцией сложения свободных векторов и с операцией умножения вектора на вещественное число, а также со свойствами этих операций. В настоящей главе изучаются множества объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на вещественное число, причем указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами.

Такие множества, называемые линейными пространствами, обладают целым рядом общих свойств, которые и будут установлены в настоящей главе. й 1. Понятые линейного пространства 1. Определение линейного пространства. Множество Д элементов х, у, я, ... любой природы называется л и н е й н ы м (или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1.

Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у множества Й спимится в соответствие третий элемент х этого множества, называемый с у м м о й элементов х и у и обозначаемый символом х х+ у. П Имеется правило, посредством которого любому злементу х множества Р и любому вещественному числу Х сспавится в соответствие элемент и этого множества, называемый и р о из в едением элемента х на число Х и обозначаемый символом и = Хх или и = хх.

111. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам: 1'. х + у = у + х (переместительное свойство суммы); 2'. (х+ у) + л х+ (у+ к) (сочетательное свойствосуммы); 3'. существует нулевой элемент О такой, что х + О = х для любого элемента х (особая роль нулевого элемента); 4'. для каждого элемента х существует п р о т и в о и ол о ж н ы й элемент х' такой, ипо х+ х' = О; ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА !Гл. з 42 5'.

1 х = х для любого элемента х (особая роль числового множителя 1); б'. Х (1Ах) = (Х(А) х (сочетательное относительно числового множителя свойство); 7'. (Х + р) х = Хх+ рх (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство); 8'. Х (х+у) = Хх+ Ху (распределительное относительно суммы элементов свойство).

Подчеркнем, что при введении понятия линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на число (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам, сформулированным в данном выше определении). Если же природа изучаемых объектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элемента на число указаны '), то мы будем называть линейное пространство к о нкретным. Приведем примеры конкретных линейных пространств.

П р и м е р 1. Рассмотрим множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов и умножения этих векторов на числа определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (сложение векторов определим по правилу «параллелограмма»; при умножении вектора на вещественное число Х длина этого вектора умножается на )Х), а направление при Х > О остается неизменным, а при Х < Π— изменяется на противоположное).

Элементарно проверяется справедливость всех аксиом 1' — 8' (справедливость всех аксиом, за исключением аксиомы 5', установлена в курсе аналитической геометрии *"), справедливость аксиомы 5' не вызывает сомнений.) Таким образом, множество всех свободных векторов в пространстве с так определенными операциями сложения векторов и умножения их на числа представляет собой линейное пространство, которое мы будем обозначать символом В,.

Аналогичные множества векторов на плоскости и иа прямой, также являющиеся линейными пространствами, мы будем обозначать соответственно символами В, и В,. П р и м е р 2. Рассмотрим множество )х) всех п о л о ж ит е л ь н ы х вещественных чисел. Определим сумму двух элементов х н у этого множества как произведение вещественных чисел х и у (понимаемое в обычном в теории вещественных чисел «) Разумеется, зги правила должны быть указаны так, чтобы были спра. ведливы свойства 1' — 8', перечисленные в данном выше определении в виде аксиом. ««) См.

выпуск «Анилнтнческая геометрию, гл, 2, $ 1, п. 2. понятие линеЙнОГО пРОстРкнстэл смысле). Произведение элемента х множества «х» на вещественное число Х определим как возведение положительного вещественного числа х в степень Х. Нулевым элементом множества «х» будет являться вещественное число 1, а противоположным (для данного элемента х) элементом будет являться вещественное число 1/х. Легко убедиться в справедливости всех аксиом 1' — 8'. В самом деле, справедливость аксиом 1' и 2' вытекает нз переместительиого н сочетательного свойств произведения вещественных чисел; справедливость аксиом 3 и 4' вытекает из элементарнык равенств х 1 = х, х — „= 1 (для любого вещественного х > 0); 1 аксиома 5 эквивалентна равенству х' х; аксиомы 6' и 7' справедливы в силу того, что для любого х > 0 и любых вещественных х и р имеют место соотношения (хв)~ = х"4п, х<в+в1 = хв,хв; наконец, справедливость аксиомы 8' следует нз того, что для любь1х положительных х и у и для любого вещественного Х имеет место равенство (ху)" = хьув.

Итак, мы убедились, что множество «х» с так определенными операциями сложения элементов и умножения их на числа является линейным пространством. П р и м е р 3. Важный пример линейного пространства дает множество А", элементамн которого служат упорядоченные совокупности л произвольных вещественных чисел (х„х„..., х„). Элементы этого множества мы будем обозначать одним символом х, т. е. будем писатьх (х„хв...„х„), иприэтомиазывать вещественные числа х„х„..., х„к о о р д и н а та м и элемента х. В анализе множество А" обычно называют л-мер н ы и к о о р д и н а т н ы м п р о с т р а н с т в о м ').

В алгебраической трактовке множество А" можно рассматривать как совокупность всевозможных строк, каждая иэ которых содержит л вещественных чисел (что мы уже и делалн в $3 гл. !). Операции сложения элементов множества А" и умножения этих элементов на вещественные числа определим правилами: (х„х„..., х„)+(у„у„..., у„)=(х,+у„х,+у„...,х„+у„), Х(хы х„..., х„)=()схы Ххв, ..., Хх„). Предоставляем читателю элементарную проверку справедливости всех аксиом 1' — 8' и того факта, что нулевым элементом рассматриваемого множества является элемент 0 = (О, О, ..., 0), а противоположным для элемента (х„х„..., х„) является элемент ( — хс, — х„..., — х„).

П р и м е р 4. Рассмотрим далее множество С (а, Ь ] всех функпий х х (1), определенных и непрерывных на сегменте а с1 ~ 1 с Ь. Операции сложения таких функций и умножения нх на '] Сы, выпуск сОсксвы ывсспвтпчсского вквлпввв, чвссь 1, гл. 1Ч, $1, п. Ч. [гл, е линейные пнострднстед вещественные числа определим обычными правилами математи- ческого анализа.

Элементарно проверяется справедливость ак- сиом 1' — 8' '), позволяющая заключить, что множество С (а, Ь1 является линейным пространством. П р и м е р 5. Следующим примером линейного пространства может служить множество (Рж(1)) всех алгебраических много- членов степени, не превышающей натурального числа п„с опера- циями, определенными так же, как в предыдущем примере. Заме- тим, что множество (Р„(1)), если его рассматривать на сегменте а~(<Ь, является подмножеством линейного про- странства С (а, Ь], рассмотренного в примере 4.

3 а м е ч а н и е 1. Для разъяснения изучаемого понятия ли- нейного пространства укажем примеры множеств, по той или иной причине не являющихся линейными пространствами; а) множество всех векторов пространства с исключением век- торов, коллинеарных некоторой прямой 1 (ибо в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относи- тельно указанной прямой 1); б) множество всех многочленов степени, точно равной нату- ральному числу л (сумма двух таких многочленов может ока- заться многочленом степени ниже и); в) множество всех миогочленов степени, не превышающей натурального и, все коэффициенты которых положительны (эле- менты такого множества нельзя умножить на отрицательные веще- ственные числа).

3 а м е ч а н н е 2. Отметим, что элементы произвольного ли- нейного пространства принято называть в е к т о р а м и. То об- стоятельство, что часто термин «вектор» употребляется в более узком смысле, при этом не приводит к недоразумениям, а, напро- тив, взывая к сложившимся геометрическим представлениям„ позволяет уяснить, а зачастую и предвидеть ряд результатов, справедливых для линейных пространств произвольной при- роды.

3 а меч а н не 3. В сформулированном нами определении линейного пространства числа Х, р, ... брались из множества в еще ст вен н ы х чисел. Поэтому определенное нами про- странство естественно назвать в е щ е с т в е и н ы м л и н е й н ы м п р о с т р а н с т в о м. При более широком подходе можно брать Х, р, ... из множества к о м п л е к с н ы х чисел.

Характеристики

Список файлов книги