В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 6
Текст из файла (страница 6)
г» минора М;, В разложении каждого минора (1.34) по строке матрицы (!.8) с номером 1» выпишем только то слагаемое, которое содержит минор М;,,';;„(остальные не интересующие иас слагаемые обоз— /, ... 1» начнм многоточием). Учитывая при этом, что в каждом миноре (1.34) элемент а,„/, стоит на пересечения 1!» — (й — 1) 1-й строки и 1!, — (з — 1) )-го столбца этого минора «««), мы получим — 1/»-<»-/11+1/,-1 -И) — /з...
/„ М/1'.'/»Ф /,) =( — 1) аг„/,М/з.../ +... ') Суммирование в атом равенстве„как и выше, идет по всем возможным значениям индексов /з, ..., !ш удовлетворяющим условяю 1 ч- /з ( /з « ...<!» ( ~ л. ") Символом М/з ~-г~е / 1 обозначается минор, отвечающий пере- СЕЧЕНИЮ СтрОК С НОМЕраМИ /Ы ..., Ои т И ВСЕХ СтспбцОВ С НОМЕраМИ !З, !З, ...,/», за исключением столбца с номером !„а символом (!.34) дополнительный к нему минор.
«'*) Это вытекает из того,что строке с номером /» предшествует (й — 1) строк, астолбцУсномеРом!, пРедшествУет (з — 1) столбцов миноРа м. ' - - (с / и 'з." '» з /з " /» «« к которому минор (1.34) является дополнительным, (суммирование идет по всем возможным значениям индексов !» з, удовлетворякицнм условиям 1 ...' < '!» 1 .1 и). Разложим в формуле (1.32) каждый минор М/,' „./» ', по строке, имеющей в матрице (1.8) номер 1». В результате весь определитель /ь будет представлен в виде некоторой линейной комвЂ/з ... /„ ,г„ бинации миноров М/, ."..
/„-,/„ с коэффициентами, которые мы обозначим через 9/, /„, т. е. для /з будет справедливо равен— /1 ° " '» ство ') Ь = Я О/ .../»М/ .'../, и нам остается вычисз ° .а з" м лить коэффицйенты О/,.../„и убедиться в том, что они равны ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 27 Теперь нам остается учесть, что в формуле (1.32) каждый минор (1.34) умножается на множитель (й+...+~»,)+у +...+Т»)-~, ~ ... с», »» [ее1 /~) н после этого суммируется по всем з от 1 до й. Имея также в виду, что ( — 1)э т» м = 1, мы получим, что Замечая, что сумма в квадратных скобках представляет собой ~~" ~» разложение минора М;, ...
~» по его последней я-й строке, мы окончательно получим для 8;,.„>» формулу (1.33), Теорема Лапласа доказана. 3 а м е ч а н и е. В полной аналогии с формулой (1.32) записывается и выводится формула разложения определителя по каким-либо я его столбцам. 4. Свойства определителей. Ниже устанавливается рядсвойств, кото»оыми обладает произвольный определитель л-го порядка. 1, Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы А получается матрица, называемая транспонироваиной по отношению к матр и це А иобозначаемаясимволомА'. В дальнейшем мы договоримся символами ) А ~, ~В), ~ А' ~ ...
обозначать определители квадратных матриц А, В, А' ... соответственно, Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина онределителя сохраняется, т. е. ~А'~ = = ~А). Зго свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя ~А ~ по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя ~ А' ) по первой строке). Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать л и ш ь д л я с т р о к и быть уверенными в справедливости их и для столбцов. 2'. Свойство антнснмметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) онределитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.
28 матоицы и опэвдвлитили Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из правила (1.10) сразу вытекает, что определители !. ° ~" ~. ° ~ аи агэ ~ !ам ом] ~ отличаются лишь знаком). ам вм~ ~аа ам~ Считая, что п > 2, рассмотрим теперь определитель я-го порядка (1.11) и предположим, что в этом определителе меняются местами две строки с номерами 1, и ]м Записывая формул Л ласа разложения по этим двум строкам, будем иметь у ап (1,35) й я ( 1)п+и+л+ЙМаилМ00 н.б При перестановке местами строк с номерами 1, и 1, каждый определитель второго порядка М),'~*, в силу доказанного выше меняет знак на противоположный, а все остальные величины, стоящие под знаком суммы в (1.35), совсем не зависят от элементов строк с номерами 1, н 1, и сохраняют свое значение.
Тем самым свойство 2' доказано. 3'. Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка (а„а„..., а„) является линейной комбинацией строк (Ь„Ь„..., Ь), (с„с„..., с„), ..., (йм йм ..., й„) с коэффициентами А, и, „.,и, если аг — — ХБ~+ рог + ... + тй~ для всех 1= 1, 2, ..., н, Линейное свойство определителя можно сформулировать так: если в определителе п-го порядка б некоторая 1-я строка (аоэ ам, ..., а,„) является линейной комбинацией двух строк (Ь„ Ь„..„Ь„) и (с„с„..., с„) с коэффициентами Ъ и р, то й = = Й, + ~абм где б, — определитель, у которого 1-я строка равна (Ь„Ьм ..., Ь„), а все остальные строки те же, ело и у а, а бэ — олределитель, у которого 1-я строка равна (с„с„... ,.„с„), а все остальные строки те же, что и у б.
Для доказательства разложим каждый иэ трех определителей б, б, и А, по 1-й строке н заметим, что у всех трех определителей все миноры М~ элементов ]-й строки одинаковы. Но отсюда следует, что формула й = Хб, + рб, сразу вытекает из равенств ам = М~э + рс~ (1 = 1, 2, . „п). Конечно, линейное свойство справедливо и для случая, когда 1-я строка является линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. Кроме того, линейное свойство справедливо и для столбцов определителя. Доказанные три свойства являются о с н о в н ы м и свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются л о г и ч е с к и м и еле дст в и я ми трех основных свойств. Следствие 1.
Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) ровен нулю. (В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель б не из- опэвделитвли менится, а с другой стороны, в силу свойства 2' изменит знак на противоположный, Таким образом, Ь = — Л, т. е.
25 = О или Ь = О. Следствие 2. Умножение всех злементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число А равносильно умножению определителя на это число Х. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) оиределителя можно вынести эа знак этого определителя. (Зто свойство вытекает из свойства 3' при р=О) Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) оиределителя равны нулю, то и сам оиределшпель равен нулю.
(Это свойство вытекает нз предыдущего при ),= О.) Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) оиределшпеля пропорциональны, то определитель равгн нулю. (В самом деле, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1), Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элемента другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель Х, то величина определителя не изменится. (В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3' разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк (нли столбцов) и следствия 4.) 3 а м е ч а н и е.
Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую мы приведем для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей (соответствующне примеры будут приведены в следующем пункте).
Прежде чем сформулировать еще одно свойство определителя, введем полезное понятие алгебраического дополнения данного элемента определителя. Алгебраическим дополнением данного элемента аы оиределшпеля и-го порядка (1.11) назовем число, равное ( — 1)'+~ М~ и обозначаемое символом Ап. Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента может отличаться от минора этого элемента только знаком. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ зо !гл. ! С помощью понятия алгебраического дополнения теоремы !.1 и 1.2 можно переформулировать так: сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения этой строки (этого столбца) равна этому определителю. Соответствующие формулы разложения определителя по г-й строке и по 1-му столбцу можно переписать так: Ь= ~ ацАц (для любо~о 1= 1, 2, ..., и), ! ! а и Я ацАц (длЯ любого 1 1, 2, ..., и) ! 1 (1.13') (1,2Г) Теперь мы можем сформулировать последнее свойство определителя: Ф'.
Свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов). Суммапроизведений влементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю. Доказательство проведем для строк (для столбцов оно проводится аналогично). Записывая подробно формулу (1.13') а!! аи ...
аы а!! ам ... а!а =А,!оп+ Апа„+... +А,„а!„, (1.36) аа! ат заметим, что поскольку алгебраические дополнения Ац„АИ... ..., А, не зависят от элементов 1-й строки асо ад„..., а,„, то равенство (1.36) является тождеством относительно а!„а„, ..., а,„ и сохраняется при замене чисел ап, аии ..., а,„любыми другими и числами. Заменив аи, а!„..., а,„соответствующими элементами любой (отличной от г-й) я-й строки аг„аг„..., аА„, мы получим слева в (1.36) определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно следствию 1.
Таким образом, Апаю+А!аь +" ° +А! а! О (для любых несовпадающих ! и й). 5. Примеры вычисления определителей. При конкретном вычислении определителей широко используются формулы разложения по строке илн столбцу и следствие 5, позволяющее, не изменяя величины определителя, прибавлять к любой его строке (или столбцу) произвольную линейную комбинацию других его опгеделнтели З1 $21 делитель четвертого пор ядка: 4 99 О 6 60 17 15 43 вз гб О 134 20 106 5 Вычитая из первого столбца утроенный последний столбец, будем иметь вз 16 0 134 20 106 5 1 99 0 в О 17 0 43 Далее естественно разложитьопределитель по первому столбцу.
В результате получим 6 16 О Ь= 1 ° 17 134 20 43 106 5 Теперь в определителе третьего порядка вычтем из второго столбца удвоенный первый столбец. При этом будем иметь В 0 0 — 17 100 20 43 20 5 Разлагая, наконец, последний определитель третьего порядка по первой строке, окончательно получим 50 ~ = 8 (500 — 400) = 800. 8 =8.~ строк (нли столбцов). Особенно удобно использовать формулу разложения по тем строкам (или столбцам), многие элементы которых равны нулю. В частности, если в данной строке отличен от нуля только один элемент, то разложение по втой строке содержит только одно слагаемое и сразу сводит вопрос о вычислении определителя порядка п к вопросу о вычислении определителя порядка (и — 1) (мннора, стоящего в указанном слагаемом). Если в данной строке отличны от нуля несколько элементов, отвечающих пересечению этой строки с несколькими столбцами, то, применяя к указанным столбцам следствие 5, мы можем, не изменив определителя, обратить в нуль все элементы данной строки, за исключением одного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
