В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Перейдем к конкретным примерам. П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить следующий опре- мятгицы и опоедалитвли 1гл. 1 Прнмер2. Вычислим так называемый треугольный о п р е д ел и тел ь, у которого все элементы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю о ...
о ам ... О ан ап ~»вЂ” а< — ц ~ ат а . а ~»- цг ° ° <»- и ы- ц й а»ь .а» ~»- Ч а»» Разлагая определитель Ь„по последнему столбцу, мы получим, что он равен произведению элемента о,„на треугольный опреде- литель (и — 1)-го порядка Ь„ц равный ан 0 о ам ам ... О й» -»в па" аг» ц <» ц Последний определитель мы снова разложим по его последнему столбцу, в результате чего убедимся в том, что он равен произведению элемента а<» ц ы ц на треугольный определитель (и — 2)-го порядка Ь„ы Продолжая аналогичные рассуждения, мы придем к следующему выражению для исходного определителя: Л„= а„о„...
о„„. Итак, треугольный определитель ровен произведению элементов, стоящих но его главкой диагонали. 3 а меч а н и е 1. Если у определителя Л равны нулю все элементы, лежащие ниже главной диагонали, то этот определитель также равен произведению элементов, лежащих на его главной диагонали (убедиться в этом можно по схеме, изложенной выше но примененной не к последним столбцам, а к последним строкам можно и просто произвести транспонироваине Ь н свести этот случай к рассмотренному выше). Аналогичным способом устанавливается, что определитель, у которого ра вны нулю все элементы, лежащйе выше (или ниже) побочной диагонали, равен произведению числа ( — 1)" (»-цгл и всех элементов, лежащих на этоя диагонали.
П р и м е р 3. Обобщением треугольного определителя вто рого порядка может служить определитель 2п-го порядка следую- 1А 01 щей блочной матрицы ~ с~, в которой А, В и С вЂ” произвольные квадратные матрицы и-го порядка, а Π— нулевая квадратная матрица и-го порядка. Убедимся в том, что для указанного зз опрвдалитнли аг) 1 ...
1 ха ... кл 1 к к', 4 ... л . (1.39) А(х„х„..., х„) = л-1 л-1 л-1 ! «к ° ° ° л Вычитая первый столбец из всех последующих, будем иметь о (», — «,) (хт — хт) к (х т) х! (хат хт) 2)!(х„х„..., х„)= („л-1 „л-1) л — 1 (.л-1 л-!) (»а Далее естественно произвести разложение в результате чего мы получим А(хм х, ..., х„)= по первои строке, (ка — к!) (х„— к!) (ха кт) (ха — х!) (кт т— хт) Й вЂ” !) (кл 1 кл 1) (кл 1 л 1) (кл ! хл 1) ') Напомним, что символами ) А (, [В), )С(, „. мы договорнлнсь обозначать определителя матриц А, В„С, ... соответственно.
2 Злк 459 определителя справедлива формула ! и С !=)А1!С1*). (1.37) Привлекая теорему Лапласа, разложим определитель, стоящий в левой части(1,37), но нс)2вьсм л строкам. Так как определитель, у которого хотя бы один столбец состоит из нулей, равен нулю, то в формуле разложения (1,31) будет отлично от нуля только одно слагаемое, причем это слагаемое (в силу того, что ( — 1)п+" +"1+!'+ +'1= 1) будет как раз равно ) А ~ ~ С ). 3 а м е ч а н и е 2. Аналогичными рассуждениями легко убедиться в справедливости формулы ~,".
' ~=( — 1) )В~!С~ (1.33) (А, В, С и О имеют тот же смысл, что и выше). Для этого следует разложить определитель, стоящий в левой части (1.38), ао последним н строкам и учесть, что ( 1)[[к+И+...+тл)+[1+„.+л) ( 1)тл [тл+11!а ( 1)л П р и м е р 4. Вычислим теперь так называемый о п р е д елитель Вандермонда (гл. ! млтвицы и опгадалитали 34 Вычитая теперь из каждой строки предыдущую строку, умно- женную на х,, получим («а — «!) ° ° ° («л — а!) «а(*а «!) ° ° "л(«л «!) («а — «!) «а(«, — «О й(х„х„...,хл) = 4 («2 — «!) '3 ("3 — «!) ° ° ° «» ("» — "!) Далее мы можем вынести за знак определителя общий множитель первого столбца, равный (х, — х!), общий множитель второго столбца, равный (х, — х,), ..., общий множитель (п — Ц-го столбца, равный (хл — х,).
В результате получим Л (х„х„..., х„) = (ха — х!) (Ха — х!) ... (хл — х!). д» (хм ха» ° "» .«л) ° Со стоящим в правой части определителем Л (ха, ха, ..., хл) поступим точно так же, как и с Л (х„ха, ..., хл). В результате получим, что б (х„х„..., х„) = (ха — х,) ... (х, — х,) Л (ха, ..., хл). Продолжая аналогичные рассуждения далее, окончательно получим, что исходный определитель (1.39) равен Л (х„х„..., х„) = = (ха х!) (ха х!) ". (хл — ха) (ха — ха) ...
(хл ха) ... ... (х„— х„!). 6. Определитель суммы и произведения матриц. Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает, что определитель суммы двух квадратных. матриц одного и того же порядка и А = ((ам) и В = )Ь» "(( равен сумме всех различных определителей порядка и, которые могут получиться, если часть строк (или столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) матрицы А, а остальную часть — совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) В. Докажем теперь, что определитель матрицы С, ровной произведению квадратной матрицы А на квадратную матрицу В, равен произведению определителей матриц А и В.
Пусть порядок всех трех матриц А, В и С равен и, и'пусть Π— нулевая квадратная матрица порядка и, а ( — Ц Е следующая матрица: ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В силу примера 2 иэ предыдущего пункта определитель матрицы ( — 1) Е равен числу ( — 1)". Рассмотрим следующие две блочные квадратные матрицы порядка 2п: В силу формул (1.37) н (1.38) из предыдущего пункта определители этих матриц равны [( — цВ и! =!АНВ! ! ( — ПВ о!=( 1) 1( 1)Е)~С~=)С!' Таким образом, достаточно доказать равенство определителей !1 — ЦЕ В! !1 — ЦЕ О! ° Подробнее зти два определителя можно записать так.
О О ... О 0 О ... О ап авв авв ° ° ° апв авв ' ° ° авп О О ... О в э„э„... ь,п ь„ь„... э, апв — 1 О апв ° . ° апп о ... о — 1 ... О Эп! Эпв . Эпп О О ... — 1 (1.40) аи авв ° " авп си свв ° ° ° свп авв авв авп см свв ' свп апв ав ... апп спв св ... спп — 1 О ... О О О ... ΠΠ— 1 ... О О О ... О О О ° .. — 1 О О ... О Для того чтобы убедиться в равенстве этих двух определителей, достаточно заметить, что первые и столбцов у этих определителей совпадают, а каждый столбец второго определителя (1.40) с номером л+ й (где й = 1, 2, ..., П) в силу формулы см и = ~; а,вбвл получается в результате прибавления к (п + й)-му в=а столбцу первого определителя (1.40) линейной комбинации первых и его столбцов с коэффициентами, соответственно равными [гл.
! мдтвицы н опрадялитилн зб Ьа„Ььз, ..., Ьае. Таким образом, определители (1.40) равны в силу следствия 5 из п, 3. В заключеиие заметим. что иепосредствевио из формулы (!.37) вытекает, !А О! что определитель прямой суммы ! А 9 В) = ~ ~ двух матриц А и В равен — ~0 В~ произведевию определителей етих матриц. 7. Понятие обратной матрицы. Пусть А — квадратная матрица и-го порядка, а Š— единичная квадратная матрица того же порядка (см.
п. 2 5 1). Матрица В называется п р азой о бр а гной по отношению к матрице А, если АВ = Е. Матрица С называется лево й о бр ат ной по отношению к матрице А, если СА = Е. Так как обе матрицы А и Е являются квадратными матрицами порядка и, то матрицы В и С (при условии, что они существуют) также являются квадратными матрицами порядка л. Убедимся в том, что если обе матрицы В и С существуют, то они совпадают между собой. В самом деле, на основании равенств (1.7) (см. п.
2 $1), соотношений АВ = Е, СА = Е и сочетательного свойства произведения матриц, получим С = СЕ ° С (АВ) = (СА) В = ЕВ = В. Естественно возникает вопрос об условиях на матрицу А, при выполнении которых для этой матрицы существуют как левая, так и правая обратные матрицы '). Теорема 1.4. Лля того чтобы для матрицы А существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель бе1 А матрицы А был отличен от нуля. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о б х о д и м о с т ь.
Если для матрицы А существует хотя бы одна из обратных матриц, например В, то из соотношения А В = Емы получим, что йе1 А.бе1 В= = бе1 Е 1 *'), откуда вытекает, что бе1 А ~ О. 2) Достаточность. Пусть определитель Л бе1 А отличен от нуля. Обозначим, как и выше, символом Аы алгебраические дополнения элементов аы матрицы А и составим матрицу В, в 1-й строке которой стоят алгебраические дополнения з-го столбца матрицы А, поделенные на величину определителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
