В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Примеры тензоров (236). 3. Основные операции над тензорамн (239). 8 3. Метрический тензор. Основные операции векторной алгебры в тензорных обозначениях 1. Понятие метрического теюора в евклидовом пространстве (243 2. Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора (245). 3. Ортонормпроваиные базисы в Р' (247). 4. Дискриминантный тензор (248), 5.
Ориентированный объем (250). 6, Векторное произведение (251). 7..Двойное вегторное произведение (252). 8 4. Метрический тензор нсевдоевклидова пространства. 1. Понятие нсевдоевклидова пространства и метрического тензора нсевдоевхлидова пространства (252). 2. Галилеевы коор- ОГЛДВЛБ1Нй динаты. Преобразования Лоренца (254). 3. Преобразования Лоренца пространства Е'1 ьз1 (255). 8 5.
Тензор момента инерции 258 Глава 9. Элементы теории групп 260 4 1. Понятие группы. Основные свойства групп 260 1. Законы комнозвпин (260). 2. Понятие группы. Некоторые свойства групп (261). 3. Изоморфизм групп. Подгруппы (264). 4, Смежные классы, Нормальные делители (265). 5, Гомоморфизмы. Фактор-группы (267). 8 2.
Группы преобразований 271 1, Невырожденные линейные преобразования (271). 2. Группа линейных преобразований (272). 3. Сходимость элементов в группе ОЦп). Подгруппы группьг ОЬ(п) (273). 4. Группа ортогональных преобразований (274). 5. Некоторые дискретные и коненные подгруппы ортогональной группы (276). 6. Группа Лоренца (278).
7. Унитарные группы (281). 4 3. Представления ~рули 281 1. Линейные представления групп. Терминология (282). 2. Матрицы линейных представлений. Эквивалентные представления (283). 3. Приводимые и неприводимые представления (284). 4. Характеры (285). 5. Примеры представлений групп (287). Алфавитный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Книга написана с учетом опыта чтения лекций на физическом факультете, а также на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. От других руководств по линейной алгебре ее отличает более полное изложение теории линейных операторов, наличие специальной главы, посвященной итерационным методам решения линейных систем, наличие доказательства сходнмости метода вращении для решения полной проблемы собственных значений, изложение метода регуляризации А.
Н. Тихонова для отыскания нормального решения линейной системы. Четвертое издание перепечатывается с текста третвего издания, в котором исправлено несколько замеченных опечаток. Июнь 1998 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Эта книга возникла в результате переработки курса лекций, читавшихся авторами в Московском государственном университете. Отметим некоторые особенности изложения. Изложение начинается с изучения матриц и определителей, причем определитель п-го порядка вводится по индукции через определитель (и-1)-го порядка с помощью формулы разложения по первой строке.
Нри этом легко доказывается теорема о разложении по любой строке и по любому столбцу (схема доказательства этой теоремы оказывается совершенно аналогичной схеме доказательства теоремы Лапласа). Традиционное определение детерминанта (определителя) непосредственно через его элементы является простым следствием данного в этой книге определения. Изучению линейпых систем предшествует теория линейных пространств и преобразований базисов и координат векторов в таких пространствах. Нри изучении линейных систем мы сразу же знакомим читателя не только с обычной, но и с матричной формой записи системы и вывода формул Крамера. 8 пгпдисловил Изучение вещественных и комплексных евклидовых пространств завершается доказательством теоремы А.
Н. Тихонова об отыскании нормального решения линейной системы. Нри изучении линейных операторов излагаются все основные аспекты спектральной теории в конечномерных евклидовых пространствах. Теорема о приведении матрицы к жордановой форме доказывается с помощью предложенного А. Ф. Фплипповым короткого метода, основанного на индукции. Книга содержит специальную главу, посвященную итерационным методам, в которой с единой точки зрения рассматриваются важнейшие итерационные методы решения линейных систем (явный и неявный методы простой итерации, метод Зейделя, метод верхней релаксации) и устанавливаются условия сходимости этих методов.
Для общего неявного метода простой итерации выясняются установленные А. А. Самарским условия получения наиболее быстрой сходимости. Нриводится доказательство сходимости метода вращении для решения полной проблемы собственных значений. Изложение теории билинейных и квадратичных форм завершаегся приведением к каноническому виду уравнений гиперповерхностей второго порядка в и-мерном пространстве. Нри изучении теизоро в, наряду с тр адни но иным материалом, излагается важная для приложений тензорная форма записи основных операций векторной алгебры.
Здесь же даются понятия псевдоевклидова пространства, галилеевых координат и преобразования Лоренца. Книга завершается изложением элементов теории групп и их представлений. Следует отметить, что данная книга примыкает к «Аналитической геометрии», хотя может читаться и независимо от нее. Авторы приносят глубокую благодарность А. Н. Тихонову и А. Г. Свешникову за большое количество ценных замечаний, Ш. А. Алимову, вклад которого в эту книгу далеко вышел за рамки обычного редактирования, Л. Д. Кудрявцеву, С. А. Ломову и особенно А. А. Самарскому за весьма полезные критические замечания и ценные советы, Е. С.
Николаеву, Д. Д. Соколову и Е. В. Шикину за болыпую помощь при написании некоторых разделов этой книги. Яняарь 1974 г. В. Ильин, Э. Позняк ВВЕДЕНИЕ В этой книге мы будем иметь дело с внепше различными объектами: 1) с матрицами (или прямоугольными таблицами из чисел), 2) с алгебраическими формами, включающими в себя так называемые линейные, билинейные и квадратичные формы, 3) с так называемыми линейными (и, в частности, с евклидовыми) пространствами и с линейными преобразованиями в таких пространствах. Элементарные представления об этих объектах читатель имеет нз курса аналитической геометрии.
В самом деле, в курсе аналитической геометрии изучались квадратные матрицы второго н третьего порявков н отвечающие этим матрицам определители. Линейная и квадратичная формы представляют собой соответственно однородную линейную и однородную квадратичную функции нескольких независимых переменных (например, координат вектора).
Примером линейного пространства может слуяппь совокупность всех геометрических векторов на плоскости (или в пространстве) с заданными операциями сложения этих векторов и умножения их на числа. Если для совокупности таких векторов задано еще и скалярное произведение, то мы придем к понятшо евклидова пространства. Примером линейного преобразования в таком пространстве может служить переход от одного декартова прямоугольного базиса к Песмотря на внешнее различие, перечисленные совокупности объектов тесно связаны между собой, большинство утверждений допускает равносильную формулировку для каждой из этих совокупностей.
Панболее отчетливо эта связь выявляется при изучении произвольных линейных и евклидовых пространств (и линейных преобразований в таких пространствах). Однако более конкретная матричная трактовка результатов непосредственно связана с фактическими вычислениями (и, в частности, с решением линейных систем уравнений). Именно поэтому мы начинаем наше рассмотрение с изучения матриц и неоднократно возвращаемся впоследствии к матричной трактовке результатов. ГЛА ВА 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В этой главе изучаются таблицы из чисел, называемые м а тр н ц а и и и играющие в дальнейшем важнейшую роль. Здесь вводятся основные операции над матрицами н детально изучаются свойства так называемых оп р е дел и тел ей, являющихся основной числовой характеристикой квадратных матриц.
ф 1. Матрицы а,з ам ° .. а,„ азз азз . азз или ...) аи азз ° ° ° аз а азз азз аз» ар~1 абаз ° ° аул Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, А), либо символ ~ац)(, а иногда и с разъяснением: А = ~ац)) = (ао) (1 1 2 . за' 1' 1 2, а) ° Числа аи, входящие в состав данной матрицы, называются ее ел е и е н т а м и.
В записи ац первый индекс з означает номер строки, а второй индекс 1 — номер столбца, В случае квадратной матрицы азл аза ап ам азз азз (1,1) аа ааз ° ° ° ааа !. Понятие матрицы. М а т р и ц е й называется прямоугольная таблица нз чисел, содержащая некоторое количество аз строк и некоторое количество а столбцов. Числа «з и а называются п о р я д к а м и матрицы.
В случае, если т = а, матрица называется к в а д р а т н о й, а число аз а — ее порядком. В дальнейшем для записи матрицы будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки: матрицы вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Г л а в н о й д н а г о н а л ь ю матрицы (1.1) называется диагональ а„а„ ... „. а„„, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый ннжйий ее угол.
П о б о ч н о й д и а г о и а л ь ю той же матрицы называется диагональ ата( -пг ... ам, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. 2, Основные операции над матрицами и их свойства. Прежде всего договоримся считать две матрицы р а в н ы м и, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. Перейдем к определению основных операций над матрицами. а) Сложение матриц. Суммой двух матриц А ~ац~ (1 1,2,...,т; 1=1,2, ...,и) и В=)Ьц~ (1 ° 1, 2, ..., т; ) = 1, 2, ..., и) одних и тех же порядков т и л называется матрица С ° 1сц~ (1 1, 2, ..., т; 1 = 1, 2, ..., и) тех же порядков т и л, элементы сц которой равны сц=*ац+Ьц(1 1, 2, ..., т;1=1, 2, „., п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
