В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(1.2) Для обозначения суммы двух матриц используется запись С .= = А + В. Операция составления суммы матриц называется их с л о ж е н н е м. Итак, по определению Ьп Ьм ь„ вм ап ам ам ам Ьаа °, (а„+ Ь„) (а,, + Ь„) ь, апи абаз (ап+ Ьм) (а„+ Ьм) (а~„+ Ь,„) (а,„+Ь „) ааа+ Ь,д1) (ааа+ Ь„,~) ... (а,а„+ Ь,аа) сц = аац (1 = 1, 2, ..., т; 1 = 1, 2...,, и). (!.3) Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел а именно. 1) переместительным свойством: А + В = В + А, 2) сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (В + С).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц. б) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А=)аД (1=1,2, ..., т; 1, 2, ..., л) на вещественное число Х называется матрица С = 1сц) (1 = 1, 2, ..., т; 1 = 1, 2, ..., а), элементы сц которой равны 1гл ~ матоицы и опзвдвлитвли 1в Для обозначения произведения матрицы на число используется запись С = ХА илн С АХ. Операция составления произведения матрицы на число называется у м н о ж е н и е м матрицы на это число.
Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами: 1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (Хр) А = Х (рА); 2) распределительным свойством относительно суммы матриц: Х (А + В) = ХА + ХВ; 3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (Х + р) А = ХА + рА. 3 а м е ч а н и е. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и и естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и и, которая в сумме с матрнцей В дает матрицу А.
Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С А — В. Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = А + ( — !) В. в) П е р е м н о ж е н и,е м а т р и ц. П р о и з в е д е н и е и матрицы А )ац) (1 = 1, 2, ..., т; 1 = 1, 2, ..., п), имеющей порядки, соответственно равные т и и, на матрицу В =)ЬЦ (1 = 1, 2 ° ..., и; 1 = 1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственноравныеи и р, называется матрица С = )сц)(1 = 1, 2, ..., т; 1 = 1, 2, ..., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р, и элементы ссь определяемые формулой си = ~~ а ьбю (1 = 1, 2, ..., т; 1 = 1, 2, ..., Р). (1.4) е=! Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А В.
Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется и е р е м н о ж е н и е м этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В, В частности, оба,произведения А В и В А можно определить лишь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк В, а число строк А совпадает с числом столбцов В. Прн этом обе матрицы А В и В А будут квадратными, но порядки их будут, вообще говоря, различными. Для того чтобы оба произведения А В и В А не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо н достаточно, чтобы обе матрицы А и В были квадратными матрицами одного и того же порядка.
МАТРИЦЫ )З Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: влемент с», стоящий на пересечении ~'-и" строки и /-го столбца матрицы С = А В, равен сульне напорных произведений соответствующих влементов 1-й строки матрицы А и )-го столбца матрицы В. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка ) )) аы ам1 "1Ьы Ьтэ) 1(аыгы+ атэ Ьэт) (аыгм+ а»вес) а э а 1'1Ь 1 Ьээ)) 1(аэдгы+ аээ Ьэй (амЬ»+ аееэм) Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В: 1) сочетательное свойство1 (АВ) С А (ВС); 2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (А + В) С = АС + ВС нлн А (В + С) = АВ + АС.
Распределительное свойство сразу вытекает из формул (1.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно ааметить, что если А 1а»)) (1 = 1, 2, ..., т; 1 ° 1, 2, ..., п), В )Ь)в) (! 1, 2,..., и; й=1,2,,..., Р), С=)се~1 (л= = 1, 2, ..., р; 1 1, 2, ..., г), то элемент йи матрицы (АВ) С а у е ""'ьп 4>рюю~«Е (Е 'ца) ° ' ~е ~о"ин э=1 е 1 л ) а А(эд Р йи,-в „(в ьы), д Ри ш, )=1 э ! = й)~ вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительно )' и й. Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц А н В одинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц А и В оба произведения АВ и ВА определены и являются матрицами одинаковых порядков).
Элементарные при- меры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, переспшновочным 10 11 10 01 свойством. В самом деле, если положить А =10 0)) В то АВ )оо~' а ВА ~о1~' Здесь мы укажем, однако, важные частные случаи, в которых справедливо перестановочное свойство *), ') Две мэтрнпы, длн пронэведеннн которых спрэведлнво перестэновочаое свойство, прннвто нээывэть к ам мути ру юптнмн.
МАТРИЦЫ И ОПРВДВЛИТВЛИ Среди квадратных матриц выделим класс так называемых д н а гон а л ь н ы х матриц, у каждой из которых элементы. расположенные вне главной диагонали, равны нулю, Каждая диагональная матрица порядка п имеет вид о а, ... о (1.5) о о ...
л„ где е(„е(„..., б„— какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. е(т = е(в = ... = е(„е(, то для любой квадратной матрицы А порядка и справедливо равенство А0 = 0А, В самом деле, обозначим символами сп и са элементы, стоящие на пересечении 1-й строки и 1-го столбца матриц А0 и 0А соответственно.
Тогда из равенства (1.4) н из вида матрицы 0 получим, что сп = апе(~ — — аеф, с)т = 4ап = «(ась т. е. сп = с)я Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами а', е(е = ... = Н„= е(особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при е( = 1, называется е д и н н ч н ой м а т р н ц е й и-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при е( О, называется нулевой матрицей и.го порядки и обозначается символом О, Таким образом, о а ... л В силу доказанного выше АЕ ЕА и АО = ОА. Более того, из формул (1.6) очевидно, что АЕ=ЕА А, АО=ОА =О. (1.7) Первая из формул (1.7) характеризует особою роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство *) А + О = О + +А =А.
В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадратных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю). ') Это равенство является прямым следствием формулы (цэ). МАТРИЦЫ а 13 3. Блочные матрицы. Предположим, что некоторая матрица А = ~авт) пРи помощи гоРизонтальных и веРтикальных пРЯмых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется б л о к о м исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицы А = ~А з), элементами А з которой служат указанные блоки.
Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного> столбца. Например, матрицу а,в авв в авв аы авв айв ~ аы айв авв аы а,в авв авв а» а«! авв авв 3 ав, авй а» а« ~ ав, а„ авв авй авв авв ! авв авв ) Авв Авй! можно рассматривать как блочную матрицу А = ~ ~~, элейв йй ментами которой служат следующие блоки: А ~ аи ~ы ~ы а>в~~ А (! аы авв (! авв а ав а в ) авв ав, А>в= авв авй а» авв, Айв = авв ав а в авв аы авв ~аы авв «) При этом блочные элемеиты «Аар сами вычислиивтся по правилу умномеиия матрицы Аав иа число Х.
Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки. В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица А = )ац)! является блочной и имеет блочные элементы А р, то прн том же разбиении на блоки матрице АА = )Хиц) отвечают блочные элементы ХА р *). Столь же элементарно проверяется, что если матрицы А и В имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты иа блоки, то сумме матриц А н В отвечает блочная матрица с зле- МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИГЛ.
! ментами С,З АРЗ+ В,з (здесь А„З и В,а — блочные элементы матриц А й В). Пусть, наконец, А и  — две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока А,з равно числу строк блока Вз„ (так что при'любых а, )) и у определено произведение матриц А„ЕВЕ,). Тогда произведение С АВ представляет собой матрицу с элементами С„„определяемыми формулой Сат ~ Е АРЕВат. з Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц А и В (предоставляем это сделать читателю). В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой п р ямой суммы квадратных матриц.
П р ямой суммой двух квадратных матриц А и В порядков г» и л соответственно называется квадратная блочная 1А Ой матрица С порядка т + л, равная С = ~, ~. Для обозначения прямой суммы матриц А и В используется запись С = А ® В. Из определения прямой суммы матриц А н В очевидно, что эта сумма, вообще говоря, не обладает перестановочным свойством. Однако элементарно проверяется справедливость сочетательного свойства: (А Ю В) ф С А ф (В Е С). С помощью свойств операций над блочными матрицами легко проверяются следующие формулы, устанавливающие связь между операцией прямого суммирования и операциями обычного сложения и перемножения матриц: (Ащ Щ А„) + (Вм 9 В„) = (Ам + В,„) ф (А„+ В„), (А ф А„)(В щ В„) =А„В„9 А„В„ (в этих формулах Ам и  — произвольные квадратные матрицы порядка и, а А„и „— произвольные квадратные матрицы порядка л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
