В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Оказывается, числа Х! н Х„(при условии (7.57)) являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями В (х, х) на сфере (х, х) = 1 (то, что зти значения достигаются, установлено выше). Чтобы убедиться в справедливости замечания, достаточно заменить в (7.56) все Хь сначала на А„, а затем на Х! и воспользоваться соотношениями (7.57) н (7,58). Очевидно, получим неравенства Х„~ В (х, х) ч. ;А,. Ь т) ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯЯКЛ й 7.
Гиперповерхности второго порядка В этом параграфе мы познакомимся с понятием и основными типами гиперповерхностей второго порядка. Кроме того, будут указаны способы исследования таких поверхностей. !. Понятие гиперповерхности второго порядка. Пусть )т— и-мерное вещественное евклндово пространство, Ради геометрической наглядности будем называть векторы х этого пространства т о ч к а м и. Г и и е р и о в е р х н о с т ь ю В второго порядка будем называть геометрическое место точек х, удовлетворяющих уравнению вида (7.62) А (х, х) + 2В (х) + с = О, где А (х,х) — не равная тождественно нулю квадратичная форма, В (х) — линейная форма, а с — вещественное число, Уравнение (7.62) будем называть о б щ и м у р а в н е и и е м гиперповерхности второго порядка.
Выделим в пространстве )Г какой-либо ортонормированный базис )ва). Координаты вектора х (точки х) в этом базисе обозначим через (х„ х„ ..., х„). Тогда (см. п. 2. р 1 этой главы) квадратичная форма А (х,х) может быть представлена в виде А(х, х)= ~~ аг,х!х„ (7.63) н а ! где а„=А(ел вь) (7.64) н А (е1, вь) — значение на векторах в, и е„симметричной билинейной формы А (х, у), полярной квадратичной форме А (х, х).
Линейная форма В (х) в указанном базисе (е„) представляется в виде «) В(х)= Е бх, (7.65) е-! Таким образом, общее уравнение гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве )Г с выделгнныл! базисом '(еа') может быть представлено в следующей форме! л л ~~~ а!ахрга+ 2 ~ Ь„ха+с=О. (7.66) г е Ф ! Договоримся о следующей терминологии. «) Согдасыо лемме ы. 1 $4 гд. б аннеаная форма В (») может быть представдеыа в анде В (х) (», б), где б — постоянная вектор. Обозначая ЬТ, Ь„...
..., ьл коордвнатм вектора б н учнтмвая ортонормыроваыыость базиса (вь), мм поаучнм вредставаевне В (») в виде Г(.бб). вилинепные н кВАДРАтичные ФОРмы П'л т Слагаемое А (л, .Е) = Я п>зх,хь будем называть г р у п и о й !,Ь=! с т а р ш и х ч л е н о в уравнения (7.62) или (7.66), Группу слагаемых В (л) + а Е Ььхд + с будем называть Ь=! л и н е й н о й ч а с т ь ю уравнения (7.62) или (7.66). Мы будем рассматривать в дальнейшем матрицы аи ...
а!а Ь! !а!! ... а!а 1 А = ~ .. .. ) и В = ' ' ' ' ' ' ' ' (7.67) аю ° ° ааа Ьа Ь! ... Ь а н определители де( А и де( В этих матриц. Исследование гиперповерхностей второго порядка мы будем проводить с помощью метода, сходного с методом, применяемым в аналитической геометрии при исследовании кривых и поверхностей второго порядка, заданных общими уравнениями. Идея этого метода заключается в том, что путем выбора специальной декартовой системы координат на плоскости (для кривых второго порядка) илн в пространстве (для поверхностей второго порядка) достигается максимальное упрощение уравнения кривой илн поверхности.
Затем путем исследования этого уравнения выясняются геометрические свойства кривой или поверхности. Кроме того, перечисление всех возможных типов простейших (каионическнх) уравнений кривых или поверхностей второго порядка позволяет дать их классификацию. Чтобы использовать этот метод в многомерном случае, мы сна. чала должны изучить такие преобразования (отображения) п-мер. ного евклидова пространства, которые представляют собой аналоги преобразований декартовых прямоугольных координат в случае двух и трех измерений.
Такими преобразованиями в и-мерном случае будут параллельные переносы и такие преобразования базисов, при которых ортонормированный базис переходит в новый ортонормированный базис. Точные определения этих преобразований будут даны в следукяцем пункте. Очевидно, гиперповерхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект пространства г', не изменяется, если производится преобразование указанного выше вида.
Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения вида (7.62) (илн (7.66)) можно выбрать такое начало координат и выбрать такой ортонормированный базис в У, что это уравнение, записанное в координатах относительно нового базиса, будет максимально простого вида, и поэтому, как и в случае двух и трех измерений, можно будет указать геометрические характеристики таких поверхностей н дать им классификацию.
З г1 гипвгповеехности втогого погядкл 2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортоиормированных базисов в ортонормированные. Параллельным и е р е и о с о м в евклидовом пространстве г' мы будем называть преобразование, задаваемое формулами (7.68) где х — фиксированная точка, называемая новым началом координат. Пусть точки х,х' их имеют координаты, соответственно равные(хм хм ...,х„), (х«,хг, ..., х„') и (хп хм ..., х„).
Тогда в координатах параллельный перенос определяется формулами хь=хь+хм й 1, 2, ...,л. (7.69) Отметим, что при параллельном переносе любой фиксированный базис не изменяется. Перейдем теперь к выяснению характеристики преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный. Допустим, что ортонормированный базис «аь«преобразуется в новый ортоиормироваиный базис «ез«. Разложим каждый вектор а1 по векторам «аь«.
Получим е~ = рпе~+ рме2+ "° + р,~е., е'= рпв +р е + "° +р.те., (7.70) и,' р~ е1 + р,аз+ ° ° ° + р .е.. Обозначим буквой Р матрицу преобразования (7.70): й~ Рм ° ° Рп1 Р Рм Рм ° Рм (7.71) Так как базисы «вь) и «е'«ортонормированные, то из (7.70) путем скалярного умножения и,' на а» получим 11 при) й, (е~, е4) Е р,р ь Ьм ~ (7.72) е 1 1 0 при )чей. Рассмотрим теперь транспонированную матрицу Р', т.
е. матрицу, полученную из Р перестановкой строк и столбцов. * Очевидно, согласно (7.72), РР' =Р'Р =У, (7.73) где ! — единичная матрица. Билинейные и кВАдРАтичные ФОРмы |Гл. т 2)4 Равенства (7.73) показывают, что матрица Р' является обратной для матрицы Р, т. е. Р' =Р'. (7. 74) Допустим теперь, что мы рассматриваем преобразование ортонормированного базиса (еь) по формулам (?.70), причем матрица Р этого преобразования удовлетворяет условию (7.73) (нлн, что то же, (7.74)). Тогда очевидно, элементы ргв матрнцы Р удовлетворяют условню (7.72), что согласно этим же соотношениям (7 72), эквнвалентно условию ортонормнрованностн базиса (ва), Напомним, что в 2 9 гл.
5 матрицу Р, удовлетворяющую условню (7.73), мы назвали ортогональной, Итак, для того чтобы преобразование (7.70) было преобразованием ортонормированного базиса в ортонормированный, необходимо и достаточно, чтобы матрица Р этого преобразования была ортогональной. 3 а м е ч а н н е. Обращаясь к формулам (5.14) преобразовання координат вектора прн преобразовании базиса (см и 1, 2 2, гл. 5) н учитывая, что обратная матрица для ортогональной матрнцы Р есть матрица Р', получим следующне формулы преобразовання координат точки х при переходе от ортонормнрованного базиса к ортонормнрованному: Х| = Р||Х| + риХ2+ ' +РЫХив Хт РМХ| + РттХт + + утехе~ (7.75) х„= р„, х, + р„,х, + ... + р„„х„.
3. Преобразование общего уравнення гиперповерхностн второго порядка прн параллельном переносе. Рассмотрим параллельный перенос, который определяется как преобразование пространства (г по формуле (7.68) (нлн в координатах по формуле (7.69)). Левая часть (7,62) после подстановкн вместо х его выраження по формуле (7.68) в силу линейности квадратичной формы по первому и второму аргументу е) н свойств линейной формы примет следующий вид: А(х', х')+ 2(А(х', х)+ В(х'))+(А(х, х)+2В(х)+с) = О. ь) Квадратичная форма А (х, х) связана с симметричной билинейной фор.
ной А (х, у), полярной к форме А (х, х). Билинейная форма А (х, у) линейна по аргументам х а у. Фигурирую|нее в дальней|нем твисте вмражение А (х', х) представляет собой значение формы А (х, у) на векторна х' н х. з 71 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Итак, общее уравнение (7.62) гиперповерхности В при параллельном переносе (7.68) запишется в форме А(х', х')+2В(х')+с'=О, (7.76) В'(х')=А(х', х)+В(х'), (7.77) с' = А (х, х) + 2В (х) + с. (7.78) Запишем полученные формулы в координатах. л Пусть координаты точек х' их равны соответственно х1, хз, ... ..., х„' и х1, хг, ..., хл. Так как при параллельном переносе базис «в»«не меняется, то квадратичная форма А (х', х') запишется следующим образом: л А(х, х)= ~~ а!»х,'х» (7.79) (отметим, что коэффициенты ам = А (еь в») не меняются, так как не меняются базисные векторы и»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
