В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Оператор А» называется сопряженным к А, если для всех х Е У и у Е У выполняется равенство (Ах, у) =(х, А*у). (7.42) Оператор А называется самосопряженным, если А = А», т. е. если для всех х ~ У и у Е (Ах, у) =(х, Ау). (7.43) Рассмотрим билинейную форму В (х, у), заданную в евклидовом пространстве У. В главе 5 было установлено, что каждой такой форме В (х, у) однозначно соответствует линейный оператор такой, что справедливо равенство В(х, у) (Ах, у). (7.44) аилинаяные и квлдялтичные воямы Ггл. ! Кроме того, в теореме 5 33 было доказано, что билинейная форма В (х, у) является симметричной тогда и только тогда, когда оператор А, фи!урнрующнй в (7 44), является самосопряженным. Напомним также, что в теореме 5.35 для любого самосопряженяого оператора А было доказано существование ортонормированного базиса нз собственных векторов Это означает, что существуют ортонормированная система е„е„..., е„и вещественные числа Х„Хь, ..., Х„такие, что Ав, =),е,.
(7.45) Доказательство. Так как В(х,у) — снмметрнчная билинейная форма, то существует самосопряженный оператор А такой, что В(х, у)=(Ах, у). (7.47) По теореме 5.35 для оператора А можно указать ортонормнрованный базис «еь» нз собственных векторов этого оператора; пусть Хь — собственные значения, отвечающие е„. Пусть вектор х имеет в базисе вь координаты $». х Е $ьеь.
ь ! (7.48) Тогда, очевидно, поскольку еь — собственные векторы оператора А: ю Ах Е Хьсьвь. (7.49) ь 1 Отметим, что в базисе «еь«матрица оператора А имеет диагональный вид. 2. Приведение квадратнчной формы к сумме квадратов в ортогональном базнсе. Пусть В (х, у) — симметричная билинейная форма, заданная в вещественном евклидовом пространстве У, а В (х, х) — определяемая ею квадратичная форма.
Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы В (х, х) к сумме квадратов. Теорема 7.В, Пусть В (х, у) — симметричная билинейная форма, заданная в евклидовом пространстве У. Тогда в пространстве У существует такой ортонормированный базис «е„«и можно указать такие вещественные числа Х„, что для любого х Е У квадратичная форма В (х, х) может быть представлена в виде следую. и(ей суммы квадратов координат яь вектора х в базисе «еь«! л В(х, х)= ~, "зьт'.
(7.46) л ! ФОРМЫ В ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 207 Из соотношений (7.48) и (7.49) вследствие ортонормированности базиса (е») получаем следующее выражение для скалярного произведения (Ах, х): (7.51) где $» — координаты вектора х в базисе (в»). До к а з а тел ь от в о. Согласно замечанию в конце й 2 этой главы скалярное произведение в конечномерном вещественном пространстве может быть задано с помощью билинейной формы В (х, у), полярной к положительно определенной квадратичной форме В (х, х). Поэтому мы можем ввести в линейном пространстве У скалярное произведение (х, у) векторов х и у, полагая (х, у) = В (х, у) (7.53) Таким образом, У представляет собой евклидово пространство со скалярным произведением (7.53). По теореме 7.1! можно указать такой ортонормированный базис (е») и такие вещественные числа Х», что в этом базисе квадратичная форма А (х,х) представляется в виде (7.51).
С другой стороны, а любом ортонормированном базисе скалярное произведение (х,х), равное, согласно (7.53), В (х„к), представляется в виде суммы квадратов координат вектора х. Таким образом, представление В (х,х) в виде (7.52) в базисе (е») также обоснованно. Теорема доказана. (Ах, х)= Е ХД». (7.50) » ! Отсюда и из соотношения (7.47) получаем (7Аб).
Теорема доказана. 3. Одновременное приведение двух квадратичных форм и сумме квадратов в линейном пространстве. Докажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух кнадратичных форм к сумме квадратов в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве. Теорема 7.У. Пусть А (х, у) и В (х, у) — симметричные билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстпве У. Допустим далее, что для всех х ~ У, х Ф О, справедливо неравенство В (х, х) > 0 (т. е.
квадратичная форма В (х, х)— положительно определенная). Тогда в пространстве У можно рказатьбазис (в») такой, что квадратичные формы А (х,х) и В (х,х) могут бьапь представлены в виде л А (х, х) = ~ Х,~»», »-! л В (х, х) = ~ $~», (7.52) Билинейные и квАЛРАтичные ФОРмы [Гл. г 208 В(х, у) =(Ах, у). (7.54) При этом единичной сферой в У мы будем называть множество тех векторов х Е У, которые удовлетворяют уравнению (х, х)=1 или 1х'1 1.
(7.55) Для упрощения рассуждений мы воспользуемся выводамн предыдущего пункта о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Итак, пусть В (х,х) — квадратичная форма, В (х, у) — полярная этой форме билинейная форма, А — самосопряженный оператор, связанный с В (х, у) соотношением (7.54). По теореме 7.8 в ортоиормированном базисе (в„'1, состоящем из собственных векторов оператора А, квадратичная форма В (х,х) имеет вид л В(х, х) = Я )[»БА» Ф-! (7.56) 3 а м е ч а н и е.
Из доказанной нами теоремы непосредственно следует, что любую квадратичную форму в произвольном вещественном линейном пространстве можно привести к каноническому виду. Однако способ такого приведения является, вообще говоря, более сложным, чем способы, изложенные выше в 2 3, поскольку он требует нахождения всех собственных векторов неко. торого самосопряженного оператора (см. по этому поводу гл.
6). 4. Экстремальные свойства квадратичной формы. Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию г, определенную иа некоторой гладкой поверхности В (см. определение гладкой поверхности в гл. 5 части 2 «Основ математического анализа»). Будем говорить, что точка х, поверхности В является с т а ц и о и а р ° н о й т о ч к о й функции 7, если в точке х, производная функции г по любому направлению на поверхности 5 равна нулю. В частности, точки экстремума функции ) являются ее стационарными точками. Значение 7" (х,) функции [ в стационарной точке х, называется стационарным значением.
Иногда стационарную точку х, функции 7" называют ее критической точкой, а величину г" (х,) — к р и т и ч е с к и м з н а ч е н и е м. В этом пункте мы исследуем вопрос о стационарных и, в частности, экстремальных значениях квадратичной формы В (х, х) иа сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве У и о связи этих аначений с собственными значениями самосопряженного оператора А, с помощью которого симметричная билинейная форма В (х, у), полярная квадратичной форме В (х,х), представляется в виде ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ $ б] где $« — координаты вектора х в базисе (в«), а ХА — собственные значения оператора А. Мы договоримся нумеровать эти собственные значения в порядке убывания: ~!»~ )'« ~» ' ' ' » )"А' (7.57) Заметим, что в выбранном базисе единичная сфера, определяемая уравнением (7.55), в координатах Вектора х задается уравнением (7.58) Докажем следующую теорему. Теорема 7.10. Стационарные значения квадратичной формы В(х, х) на единичной сфере (7.55) равны собственным значениям йб оператора А.
Эти стационарные значения достигаются, в частности, на единичных собственных векторак еА оператора А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как речь идет о стационарнын значениях функции В (х, х) при условии (х,х) = 1, т. е. об условном зкстремуме этой функции, то мы можем воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа (см. «Основы математического аиализаб часть 1, п. 2, Э 5, гл. 15).
Составим для функции В (х, х), используя ее выражение (7.56) в данном базисе (в«), функцию Лагранжа !Р($„$„..., $„), учитывая при этом, что уравнение связи имеет вид (7,58). Получим (7.59) где Л вЂ” неопределенный множитель Лагранжа. Напомним, что если Х в (7.59) выбрано так, что при условии (7.58) выполняются соотношения О, й =1,2...,,л, дч' (7.60) то в точках сферы (7.58), отвечающих этим значениям Х, функция В (х, х) (квадратичная форма В (х, х)) имеетстационарноезначение.
Таким образом, вопрос о стационарных значениях В (х,х) на сфере (х, х) 1 редуцируется к исследованию системы уравнений (?.58), (7.60) относительно неизвестных Х и координат $„$„... ..., $„ векторах. Отметим, что при этом $„ $„ ..., $„ будут координатами того вектора х, на котором В (х,х) будет иметь стацио.
парное значение. вилииеяиыв и квлдглтичныа сонмы [гл. г 2Ю Так как — = 2 (Մ— Х) Ь„то интересующая нас система вч' (7.58), (7.60) йримет внд л Е$л=1, «=! (Хь — Х)$ь — — О, 4=1, 2, ..., н. (7.61) Пусть система (7.61) имеет решение Умножая каждое из соотношений (Ц вЂ” А) $„= 0 на $ю сумл мируя затем полученные соотношения н учитывая, что ~ 3= 1, л ! получим, согласно (7.56), следующее значение для А: Х = Я ХлД=В (х, х). Ф-! Таким образом, если 1! и х = $» $м ..., 3„) — решение системы (7.6!), то 3, равно значению квадратичной формы В (х, х) на веюпорех = (с!, $м ..., $„), на котором вта форма имеет стационарное значение.
Легко видеть, что решениями системы (7.61) служат следующие значения неизвестных Х и $!! Х=дл; 5! О, ..., 1л !=О, ~„=1, 6!+!=О, ...,5„=0, 1=1, 2, ...,и. Очевидно, зти решения являются собственными значениями Х„ и координатами соответствующих собственных векторов еа. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Мы только что выяснили, что собственные значения Х, являются стационарными значениями квадратичной формы В (х, х) на сфере (х,х) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
