В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Все перестановки множества Е образуют группу. Для конечного множества Е из и элементов эта группа называется с и мметрической группой 3„. Обратимся к примеру 4), в котором были рассмотрены операции совмещения равностороннего треугольника ВС!1 с самим собой. Обозначим через Е множество вершин этого треугольника: Е = (В СР). Очевидно, группу операций, рассмотренную в примере 4), можно получить, обращаясь к следующей группе перестановок: "=(:::) '-(:::) "=(:::) 6) Рассмотрим группу Е„состоящую из двух элементов 0 н 1, в которой умножение определено по правилу 00 О, 01=1, ! 0=1, 1 1=0. (9.1) Единицей группы является.
элемент О. Эту группу называют г р у п п о й в ы ч е т о в по модулю 2. 7) Рассмотрим группу, состоящую из двух элементов: !) тождественное преобразование евклидова пространства (обозначим этот элемент О); 2) отражение евклидова пространства относительно начала координат (обозначим этот элемент 1). Очевидно, умножение (т. е. последовательное проведение операций 1) и 2)) элементов 0 и ! будет проводиться по правилу (9.1). Мы видим, что рассматриваемая группа отличается от группы Е, (пример 6) лишь природой элементов Групповые свойства этих двух групп одинаковы. эламвнты твоими гэзпп ггл.
9 Отметим следующие свойства групп (мы будем использовать мультипликативную форму записи композиции). Теорема 9.1, Если аа ' = е, то а 'а = е. Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть х — обратный элемент для элемента а '. а 'х = е. Тогда а = ае = а (а 'х) = (аа ') х =- ех, т, е а = ех Следовательно, а'а=а'(ех)=(а'е)х=а'х=е, т е а'а=е, Теорема доказана. Теорема 9.2. Для любого элемента а группы справедливо со.
отношение еа = а. Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 9.! а 'а = е и, кроме того, аа ' = е. Поэтому еа = (аа ') а = а (а 'а) = а, т. е. еа = а. Теорема доказана. Теорема У.З. Если ах = е и ау = е, то х = у. Доказательство. Так как ау=в, то у — обратный элемент для а, и поэтому, согласно теореме 9.1, уа = е. Имеем далее у = уе = у (ах) = (уа) х = ех = х. Теорема доказана. Из доказанных теорем вытекают следующие важные следствия: Следствие 1.
Обратным элементом для элемента а ' служит элемент а. Или, иначе, элемент а ' является как правым, так и левым обратным элементом для элемента а (т. е, аа ' = е и а'а=е) Следствие 2. В любой группе уравнения ах = Ь и уа = Ь однозначно разрешимы. Решениями этих уравнений служат соответственно элементы х = а 'Ь и у =- Ьа '. Следствие 3. В группе имеется единственный нейтральный элемент (единица груггпы! (если ае = а и ое' = а, то е = еь). 3 а м е ч а н и е, Отметим, что обратным элементом (аЬ) ' для произведения аЬ слуэкит элемент Ь 'а '. Действительно, используя ассоциативное свойство умножения, получим (аЬ) (Ь-'а ') = а (ЬЬ ') а ' = оеа ' = аа ' = е.
3. Изоморфнзм групп. Подгруппы. Примеры, рассмотренные в предыдущем пункте (см примеры 4 и 5, примеры 6 и 7) по. казывают, что существуют группы, отличающиеся природой своих элементов, но обладающие одинаковыми групповыми свойствами. Такие группы естественно назвать и з о м о р ф н ы м и. Сформулируем точное определение этого понятия. Определение 1. Две группы 6, и 6, называются из ам о р фи ым и, если сугцествует взаимно однозначное отображение группы 6, на группу 6, такое, что для любых элементов а и Ь из 6, выполняется условие 1 (оЬ) = 1 (а) 1 (Ь).
Заметим, что если е, — единица группы 6,, а е, — единица группы О„то 1 (е,) = ем Действительно, 1 (е,) = 1 (егег) = = ! (е,) 1 (е,) и умножение на элемент, обратный к 1 (е,), показывает, что е, = г (е,) $ О ПОНЯТИЕ ГРУППЫ.
ОСНОВНЫЕ СВОИСТВА ГРУПП 265 Отметим также, что обратное отображение 1 ~ группы 6, на еруппу б, для любьх влементов х и у из 6, удовлетворяет условию ~ т (ху) = ~ ' (х) 1 ' (у). Кроме того, для любого а нз 6, из равенства е, = г (е,) = = 1" (аа ') = )' (а) 1' (а ') следует, что обратным к элементу Т" (а) является элемент ~ (а '). Таким образом, изоморфные группы, рассматриваемые абстрактно, без указания природы их элементов, с точки зрения групповых свойств неразличимы. 3 а м е ч а н и е 1. Обычно соответствие между изоморфными группами 6, и б, называется и з о м о р ф и з м о м или и з аморфным отображением одной группы на другую (конечно, прн этом обе группы равноправны). 3 а м е ч а н и е 2. Изоморфное отображение группы б на себя называется автоморфнзмом.
Автоморфизмы группы определенным образом характеризуют ее симметрию. Если отдельные автоморфизмы группы рассматривать как некоторые элементы, а последовательное проведение автоморфизмоа — как произведение соответствующих элементов, то автоморфизмы сами образуют группу (единичным элементом будет тождествеиныи автоморфизм).
Зта группа называется группой автоморфизмов данной группы. Легко убедиться, что группа автоморфизмов группы 2, (см. пример б предыдущего пункта) изоморфна этой же группе. Важную роль в теории групп играет понятие п о д г р у п п ы, Определение 2. Подмножество 6, элементов группы 6 называется подгруппой этой группы, если выполнены условия: 1) если элементы а и Ь принадлежат бн то и аб принадлежит бм 2) если элемент а принадлежит б„то и обратный элемент а( также принадлежит 6,. Подгруппа 6, группы 6, рассматриваемая как самостоятельное множество, в котором определена операция умножения по закону композиции из объемлющей группы 6, представляет собой группу.
Проверка этого утверждения не представляет затруднений. Простейшей подгруппой любой группы является ее единичный элемент. Другим примером может служить подгруппа бг всех четных чисел в группе б относительно сложения всех целых чисел. 4, Смежные классы. Нормальные делители. Пусть Н, и Н,— произвольные подмножества группы б. П р о и з в е д е н и е м подмножеств Н, и Н, назовем подмножество Н„состоящее из всех элементов вида ЙА, где Ь, Е Н„ й, Е Н,.
элементы теоРии ГРупп ~гл. з Для произведения подмножеств используется обозначение Н, = Н Н,. (9.2) Рассмотрим случай, когда НГ состоит из одного элемента Ь. Тогда, согласно (9.2), произведение Нт и Н, можно записать в виде ЬН,. Отметим, что если подмножества Н, и Н, являются подгруппами группы 6, то их произведение Н,Н„ вообще говоря, не является подгруппой. Пусть Н вЂ” подгруппа группы 6, а — элемент группы 6. Множество аН называется левым смежным классом, а множество На — правым смежным классом подгруппы Н в 6.
Конечно при выборе другого элемента вместо а правые и левые классы подгруппы Н в 6, вообще говоря, изменяются. Отметим следующие свойства смежных классов (эти свойства формулируются лишь для левых смежных классов; для правых смежных классов они формулируются аналогично): 1'. Если а Е Н, то аН ее Н. 2'. Смежные классы аН и ЬН совпадают, если а 'Ь ~ Н. 3'. Два смежных класса одной подгруппы Н либо совпадают, либо не имеют общих элементов. 4'. Если аН вЂ” смежный класс, то а Е пН. Первое из отмеченных свойств очевидно.
Убедимся в справедливости свойства 2'. Так как, согласно !', а 'ЬН гн Н, то, поскольку аа ' = е, имеем ЬН = (аа ') ЬН = а (а 'Ь) Н = аН. Тем самым свойство 2' установлено. Перейдем к доказательству третьего свойства. Очевидно, достаточно доказать, что если смежные классы аН и ЬН имеют общий элемент, то они совпадают. Пусть элементы Ь, Е Н н Ьх Е Н такие, что ад, = ЬЬ, (9.3) (равенство (9.3) означает, что классы аН н ЬН имеют общий элемент).
Поскольку Н вЂ” подгруппа группы 6, то элемент Ь,й~т принадлежит Н. Отсюда и из (9.3) получаем а 'Ь = Ь1лз' Е Н. Следовательно, согласно свойству 2', аН = ЬН. Свойство 3' доказано. Свойство 4 следует нз того, что подгруппа Н содержит единичный элемент е, и поэтому ае = а Е аН. Пусть Н вЂ” подгруппа 6, для которой все левые смежные классы одновременно являются правыми смежными классами. В этом случае для любого элемента а должно иметь место соотношение аН = На.
(9.4) 13 ПОНЯТИЕ ГРУППЫ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП йбу Действительно, согласно свойству 4', элемент а Е аН. С другой стороны, класс аН является одновременно некоторым классом НЬ, который, очевидно (в силу того, что а ~ НЬ), совпадает с множеством На. Подгруппа Н, для которой все левые смежные классы являются правыми смежными классамн, называется н о р м а л ь. ным делителем группы б. Справедливо следующее утверждение; Если Н вЂ” нормальный делитель группы б, то произведение смежных классов представляет собой также смежный класс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
