И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 9
Текст из файла (страница 9)
+ (, x „ ~ x j, —Ьк!ox,дх.64§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.Легко видеть, что g m+|(x0) = 0 (достаточно учесть, что каждая круглая скобка (х, - x 0i) в выражении (14) вышеобращается в нуль в точке хо).Осталось доказать, что для любого i, i=l,2,...,n, функдяцияm+1 (х0) и все её частные производные до порядка тдх:включительно обращаются в нуль в точке хо, а для этого, попредположению индукции, достаточно показать, что функЯация 6т+| (х) определяется равенством типа (13), а точнее,дх.следующим равенством:<5/дх:дХ,дх.(15)Ш 1,ч5/ч 5К- Y - (*i-^ o i)-r- + - + (xn “ х0»)тЭХ: (Х)|,=,0ох,ох.ГГ'к\Так как все переменные х, (i=l,2,...,n) равноправны ивходят в выражение для gm+l(x) симметрично, то достаточно доказать равенство (15) длято есть следующееравенство:d f d fdg m+1 (x) = —(x)дх, (*)U „ дх,дх,(16)m 1 ,чдч3L- У - (*i -^ o i)T - + - + (xn " xoJ t dx, (X)|x=,oдх,dx.t,k \Из (14) очевидно, что для доказательства (16) достаточноубедиться, что для каждого номера к=1,2,...,т+1 при фиксированных х2,х3,...,х„, верно следующее равенство:§6.
Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.d(*idx.(17)65-kдD- x 0i)— + - + (xn- x 0n) — / ( * ) |*=*0 =dx,ox,“1k —\= k (*. “ *01)т ~ + - + (Хп~Х«,)т ~OX,ox;I .«к как при дифференцировании no xi| , , . \ ' з , . . . , х и фиксированы,то величину:чD = (x2- x 01)—dj_dx,переменныед+ ... + (xn- x 0n)—дх2охппри дифференцировании по х, можно рассматривать какпостоянную.
Кроме этого, заметим, что поскольку символыл-ддII?*"$r\<,—---- используются для получения значенииЛх, дх2 дхп•iiici пых производных функции/ в фиксированной точке х0,и» мри дифференцировании по xi указанные символы нужноpm сматривать как постоянные величины.В силу сказанного, для доказательства равенства (17)н» I 11очно доказать, чтодА ~ k . aч д ~~(Iк >(*i —-^oi )^(*1 *01) ~ Ddx.дххдхх-I*Дифференцируя функцию (*> “ * o i ) ~ + D по х,, какдх• 'in-Miyio, и учитывая отмеченную выше независимость отд< <им полов D и — , мы получаем равенство (18).
ИндукдхЩи мкончена. Лемма 1 доказанаЛЕММА 2. Пусть g(x) = g(x|v..,x„) - произвольнаяВЦмпрш. удовлетворяющая двум требованиям:ц(х)траз дифференцируема в точкех0 = х01,...,х0„;66§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.2) сама функция g(x) и все ее частные производные полюбым переменным х,,...,хп до порядка т включительнообращаются в нуль в указанной точке хо.Тогда для функции g(x) при —» х0 справедлива оценка:g(x) = о(/У"), гдер = ||х - х0| .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕМ М Ы 2.
При т=1 утверждение леммы вытекает из условия дифференцируемостифункции g(x) в точке х0, которое обеспечивает равенство:И Qcrg(x)-g(x0) = У - ^ - ( х п/х, - хы) + бВ самом деле, так какМ дх,.g(x0)= О, И -2-(х0) =0 для всех = 1,. , п , то получается, чтоdxjg(x) = о (р). Для проведения индукции предположим, чтолемма 2 справедлива для некоторого номера1, идокажем, что в таком случает она справедлива и для номерат+1.Пусть функция g(x) удовлетворяет двум требованиямлеммы 2 для номерат+1. Тогда очевидdgная производная этой функции первого порядка - —^-(х),/ = 1 , будет удовлетворять двум требованиям леммы 2для номера т, а поэтому, по предположению индукции,будет справедлива оценка:(19)A .W = 5 (p -).OXjЗаметим теперь, что поскольку т > \, то1> 2 , ифункция g(x), удовлетворяющая двум требованиям леммыдля номера т+1, во всяком случае, хотя бы один раз дифференцируема в окрестности точки х0.
Поэтому для g(x)выполнены условия Теоремы 1 для номераПо ука-§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.67чанной теореме, для любой точки х из достаточно малойокрестности точки х0 найдется число(0;1) такое, чтосправедлива формула:g(x) = g(x0) + dg(x0 + в(х - х0)) =( 20)Заметим, что поскольку точка=в(х - х0) лежит меж-ду точками Хо и X, то ||£ - х„| <= ||х - х0||, и поэтому, в силуПодставляя последнюю оценку в правую часть (20) ипучитывая, что g(x0) = 0, получаем: g(x) = o (//”)^|x,. - x 0ii=lА так какокончательноимеем:g(x)= о (р т+1).Индукция завершена. Лемма 2зана.Обратимся теперь к доказательству теоремы.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.
УтверждениеIгоремы легко следует из доказанных лемм 1 и 2. Как ужеотмечалось выше, для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что при выполнении условий теоремы дляфункции g m(x) , определённой равенством (13) (а это и естьостаточный член формулы Тейлора для функции /( х ) ) ,справедлива оценка:g m()x = о ( р т).68§6.
Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.В силу леммы 1, сама функция) и все ее частныепроизводные по любым переменным х,,...,хя до порядка твключительно обращаются в нуль в точке хо- Но тогда всилу леммы 2, справедлива искомая оценка: gm(x) = о ( р т).Теорема доказана.*1ВОПРОСЫ И УПРАЖ НЕНИЯ К §6.1)2)3)Можно ли в формулировке теоремы 2 убрать условие,что функция f (х) дифференцируема т-1 раз в некоторой шаровой окрестности точки х0, и оставитьтолько условие её т-кратной дифференцируемости всамой точке х0 ?Напишите подробную формулу для второго дифференциала сложной функции двух переменных:z = f (х,у), х = x(t), у = y(t) (здесь х = x(t), у = y(t) непредполагаются линейными функциями).Напишите формулу Тейлора-Маклорена для функцииsin х- cos у до порядка т=3 с остаточным членом: а)в форме Лагранжа; б) в форме Пеано.§7.ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХПЕРЕМЕННЫХ.В этом параграфе мы рассмотрим понятие локальногоэкстремума для функции п (п > 1) переменных, условия его<ушествования и правила отыскания.7.1.НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Точка х0 = (х01,...,х0п) , внутренним для области определения функции f( x ) =называется точкой её локального экстремума, если длятобой точки х из некоторой её окрестности U = U(x0)разность А/ = / ( х ) - / ( х 0) отлична от нуля и сохраняеттак. В частности, если А/ > 0, то это точка локальногоминимума, а если Д /< 0 , то это точка локальногомаксимума.На Рис.2 ниже изображён график функции z=f(x,y) надно пастью D. Точка А - точка локального максимума, а точкаН точка локального минимума этой функции, / (А) z,, ./ {H) = z 2.ТЕОРЕМА 1. (Необходимое условие существованияшкального экстремума). Если у функции f (х) в точке х0| \ 1 чествуют все частные производные fи эта точкаче шется точкой локального экстремума, то все частныепроизводные в ней равны нулю, то есть /* (х0) = О,.к 1ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Зафиксируем у функции /( х )иге переменные, кроме хк (1< к < п ), и рассмотрим фун" ""«<p(xk)= lf ( x 0i,...,x0k_l,xk,x0k+l,...,x0n)- функцию одной§7. Локальный экстремум.70переменной. Очевидно, что для функции <р(хк) точка х0кявляется также точкой локального экстремума. Как известно из материала первого семестра, производная функцииодной переменной в точке локального экстремума равнанулю. Поэтому <р'(х0к) = f ' (х0) = 0 , что и требовалось доказать.РИС.2О П РЕДЕЛ ЕН И Е 2. Точка х0 = (х01,...,х0п) называетсястационарной для функции/(х ,,...,х и) , если онавнутренняя для её области определения, и все частные производныевнейопределеныиравнынулю:f ' x S x о) = 0(к = 1 - л ) -Однако одно только условие равенства нулю всехчастных производных не является достаточным условиемдля существования в данной точке локального экстремума.§7.
Локальный экстремум.71ПРИМЕР 1. Рассмотрим функциюЕёчастные производные в точке (0,0), очевидно, равны нулю.Но разность А/ = f{ x ,y ) ~ /(0,0) = лгу - 0 больше нуля приодинаковых знакаххиразные знаки. Таким образом, локального экстремума в точке (0,0) у этой функции нет.Ниже, при формулировке и доказательстве достаточных условий для существования локального экстремума, мыбудем пользоваться некоторыми понятиями и фактами,мзиествными из курса линейной алгебры.ТЕОРЕМА 2. (Достаточные условия локальногоисстремума).
Пусть функция /( х ) =.,хи) п( и иых переменных 1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 = х01,...,х0я, и дважды дифференцнруема в самой точке х0. Пусть х0 - стационарнаяьч. то естьd f(x0) =0. Тогда, если второй диффе< //(х 0) представляет собой знакоопределённую квадратичную форму, то х0 - точка локального экстремума. Приином, если форма d 2f (х0) положительно определена, тоvH - точка локального минимума, если d / ( х 0) отрицатсльно определена, то х0 - точка локального максимума.лИсли же квадратичная форма d / ( х 0) - знакопеременна,пт локального экстремума в точке х0 нет.72§7.
Локальный экстремум.Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Разложим разность А/ по форйлора прип= 2 с остаточным членом в формеd 2f ( x 0)и2A f - f ( x ) - f ( x 0)+ o (|M | ) =Пеано:2!= ^ Z Z f v , (xo)Ax<+ 0 (IN I)l=l y=lAx.L f ” (x ) =Обозначим h: =' ||Ax||’ Л ^Л °;ag = « ( |У ) =^||Ax||2бесконечно малая при ||Дх|| —>0. Тогда А/ представляется вГ ^^виде: А/ = ^ ||Axf £ ау • hfa + а . Заметим, что векторVIS/JSn ''/г = {А,имеет норму /г = 1 ^ /г ' = 1, то есть это эле/=1мент единичной сферы б’"-1 пространства R ".Рассмотрим случай, когда d 2f ( x 0) - положительноопределённая квадратичная форма. В этом случае квадратичная формаФ(И) =^ a,,hlh] - также1</J<wопределённая непрерывная функция на единичной сфереб"4 , являющейся замкнутым ограниченным множеством вR ". Следовательно, по второй теореме Вейерштрасса,функция Ф(/г) достигает на б"-1 своего инфимума, то естьсуществует такая точка8,=Ф (£)= inf {Ф(/г)} = //.Посколькувсюду на сфереheS"-'Ф(Ь) > 0 , то Ф(/?) > Ф(£) = р > 0.
Воспользовавшись этим,получаем:а -» 0 приА/ = —||Дх||‘'(ф(/г) + а ) > —||Д х||~(/л-а). Так как||А х ||—>0, то найдётся такое 8 = 8{р) > 0 , что73§7. Локальный экстремум.|ри||Дх|| <будет1Л / ' > ^ Н 2(// + « )>иа <— .Приэтихусловиях>^||A x||2(/u -^ -) = ^||A x||2^ > 0 . Итак,inя любого х такого, что ||Ах|| < 5 , всегда будет А /> 0 .( ледовательно, точка х0 - точка локального минимума.В случае отрицательно определённой квадратичнойформыd 2f ( x 0)совершенно аналогично доказывается, чтгочка х0 - точка локального максимума.лПусть теперь d / ( х 0) - знакопеременная квадратичная форма. Тогда, пользуясь предыдущими обозначениями,имеем: Л/ = —р 2(ф(И) + а ),где /? = ||Дх||, а Ф(/г) - зна2ременная квадратичная форма на единичной сфере S'”-1.< к-довательно, существуют такие точки h ',h "e S n~', что'!»(//') < 0, Ф(й") > 0.
При этом заметим, что а зависит от р ,иа=а{р) -» 0 прир—>■0, аПоэтому, взяв р 0 достаточно малым, можно добиться,IгооыI= |«(/?0)| < min{-—-—221■}. При этих условияхо\'дет одновременно:I огда для точек х'=Ф(И') + а (р 0)<0,х 0+ p 0h',(A/)i = / ( х ') - / ( х 0) = ^■(/?0)2(Ф(/г') + а (р 0)) <0,и (Д /)2 = f(x " ) - / ( х 0) = ± (А )2(Ф (/0 +)) > 0.приращение функции меняет знак, следовательно,.... ка х0 не является в этом случае точкой экстремумафункции / (х ).
Теорема полностью доказана.I I ki k ,§7. Локальный экстремум.74ЗАМ ЕЧАНИЕ. В случаях квази-знакоопределённости(или, другими словами, полуопределённости) квадратичнойг\формы второго дифференциала а / ( х 0) ответ о существовании локального экстремума в точке х0 неясен. (Нэпомппним, что квадратичная форма A(h) = ’^ 2 ^ a ijhihj называется>1квази-знакоопределённой (или полуопределённой), если0 при любомh= (/?,,...,/?„) (или0 при любомh), и кроме того, существует такой элементф 0,чтоА {К )= 0.)П РИ М ЕР 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
