И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это означает, чтосложная функция / (x(t)) непрерывна в точке а. Теоремапоказана.ТЕОРЕМА 3 (о сохранении знака непрерывной функцией). Если функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точкиае",непрерывна в точке а и / ( аR(• 0) то существует число 5 > 0 такое, что f ( x ) > О(• 0) для любой точки х е Us (a) .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть /( о ) > 0 (случай противоположного знака рассматривается аналогично). ОбозначимЛ о—) . Тогда £ > 0 и существует> 0 такое, что28§3. Непрерывность функции многих переменных.для любого х , р(а, х) < 8 (определениеКоши непрерывности функции в точке).
Раскрывая модуль,Теорема доказана.ТЕОРЕМ А 4. Пусть множество Xлинейно связно, и функция f ( x ) непрерывна в каждой точке множества X . Если точкиa,b ечислами / ( а ) и / ( b ) , то на любой непрерывной кривой,соединяющей точки а и b и принадлежащей множествуX , найдется точка с такая, что / ( с ) = у .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть кривая L задается уравнениями х,,■■■, х„ = (р„( 0 , , и все функции<pk(t) непрерывны на отрезке [а,/?], причем L целикомпринадлежит множеству X . Тогда на отрезке [а,/3] заданафункция / (х,(/) ,...,хи(0 ), которая является непрерывнойна [«,/?] по теореме о непрерывности сложной функции.Поскольку /( х ( 0 ) является числовой функцией аргументаt, то (по теореме о прохождении непрерывной функциичерез любое промежуточное значение) для любого числа у ,лежащего между /( х ( « ) ) и /(х (/? )), найдется точкатакая, что f ( x ( ^ ) ) = y .
Пусть с е R" - точка скоординатами{(рф%),...,(рп{%)).Т огда c e L ,Теорема доказана.ТЕОРЕМ А 5 (первая теорема Вейерштрасса). Еслифункция / (х) непрерывна на замкнутом ограниченноммножестве X е й " , то она ограничена на этоммножестве.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть это не так. Тогда для любого натурального числа т найдется точкаетакая,§3. Непрерывность функции многих переменных.29что /( x 'n) > m . Последовательность {хш} ограничена (поскольку ограничено множество X ), значит, из нее можноIнаделить сходящуюся подпоследовательность {хкт} (теорема Больцано-Вейерштрасса).
Пусть х к"' -------»хп.Так какт—>ооUмножество X замкнуто, то оно содержит все свои предельные точки. Следовательно, х0 е X . Тогда функция/(х ) непрерывна в точке х0, и последовательность!/(**”)} должна сходиться при т -> со к числу / ( х 0). Нопоследовательность { /{хк”‘)} - бесконечно большая (так как/’(х*") > кт для любого т ). Значит, наше предположениеневерно, и функция /(х ) ограничена на множестве X .Теорема доказана.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Точной верхней (нижней) граньюфункции /(х ) на множествесназывается дей<Iвиительное числоМ )тт( акое, чтоI) /(х ) < М ( / (х) > т) для любого х е X ;го числае>0 найдется точка х' е X такая,/ (х') >М - (е / (х') <т + ).ТЕОРЕМА 6 (вторая теорема Вейерштрасса).
Еслифункция /(х ) непрерывна на замкнутом ограниченноммножестве X cz R", то она достигает на этоммножестве своих точной верхней и точной нижней граней.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Пусть M = sup/(x). Если дляхлюбого х е X верно неравенство: / ( х ) < М , - то функция/•'( ' ) = ----- ------ непрерывна на множестве X и F(x) > ОМ - Д х)Для любого х е Х . Значит, согласно первой теореме Вей■рш грасса, существует число0 такое, что F(x) < А при§3. Непрерывность функции многих переменных.30всехх е Х .
Тогда f ( x ) < M -----< М для любогоАМы пришли к противоречию с определением точной верхней грани. Значит, наше предположение неверно, и существует точках0€ Xакая,тчтоСлучай тонижней грани рассматривается аналогично. Теорема доказана.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Пусть множество X a R" таково,что любая его точка является предельной. Функция f ( x )равномерно непрерывна на множестве X , если для любогоS=5(e) >0 такое, что для любыхдвух точек х',х" е Х ,р (х ',х )п < 6 , выполн|/М - /( 0 |< * .ТЕОРЕМА 7 (теорема Кантора). Если функция f (х) непрерывна на замкнутом ограниченном множествесто она равномерно непрерывна на этом множестве.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть / (х) непрерывна, но неравномерно непрерывна на X . Тогда существует>0такое, что для любого натурального числа т найдутсяточких'т, х"т е X, для которых р{х'ттно(*)Последовательность {дс^,} ограничена, следовательно, изнее можно выделить сходящуюся подпоследовательность{х'к }. Пусть х'к —т->оо >х0. Так как множество X замкнуто, тозначит, / { х[ ) —х0 е X .Функция / (х) непрерывна в точке/ ( х 0) . С другой стороны, так какт—>оо§3. Непрерывность функции многих переменных.31Тогда получаем, что |/ ( * ' ) - f(x"k ) —,п_>оо- >0 . Это противоречит неравенству (*). Следовательно, наше предпоюжсние неверно, и функция f { x ) равномерно непрерывнам.| множестве X .
Теорема доказана.ВОПРОСЫ И УПРАЖ НЕНИЯ К §3.I ) Пусть известно, что функция ( f ( x ) - g ( x ) ) непрерывна вточке а е R " . Следует ли отсюда, что функции / (х) иц(х) непрерывны в точке а ? Приведите соответствующие примеры.! | I ели в первой теореме Вейерштрасса отказаться отусловия замкнутости множества X , останется ли верным заключение теоремы? Приведите пример.') I ели отказаться в теореме Кантора от условия ограниченности множества X , останется ли теорема верной? Приведите пример.§4.ДИФ Ф ЕРЕНЦИРОВАНИЕФ УНКЦИЙ М НОГИХ ПЕРЕМ ЕННЫ Х.В этом параграфе будут изложены основные понятия,связанные с дифференцированием функций многих переменных: понятие частных производных функции, важнейшее понятие дифференцируемости функции и условия дифференцируемости, а также понятие дифференциала функции п переменных и его основные свойства.4.1 .Ч А С Т Н Ы Е П РО И ЗВ О Д Н Ы Е .Пусть, как и выше, х = (х ,, х2)е",/( х ) - некоторая функция, и точка х0 = (х01,х02,...,х0я) - внутренняя дляее области определения Df ; Дх = х - х 0 = ( Д х ,,...,^ ) , гдеДх* = хк- х ок;к = 1,2О П Р Е Д Е Л Е Н И Е 1.
Частной производной по переменной хк функции / ( х ) в точке х0 называется предел:»= limA x k -+ 0(х0)= lim Ак^ дхk'* " Д гf ( x 0l,...,x0k +Аxt ,...,x0H) - / ( x 0„...,xM,...,x0JДХ;d f-(х 0) применяют обозначение / ' (х0).Часто вместо -^дх*Заметим, что частная производная - это обычная производная функции одной переменной, которая получаетсяиз функции / (х ), если зафиксировать и считать постоянными все её переменные, кроме хк . А поскольку из дифференцируемости функции одной переменной следует еёнепрерывность (в данной точке), то отсюда сразу следует,§4.Дифференцированиефункций многих переменных.
33МИ* если существует частная производная -^ -(х 0) , то фундхкМши /(х ) непрерывна в точке х0 попеременнойI 1РИМЕР 1. Для функциишии 1шло в точке (У.^-11К - — 'Xх ',f =zОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят,ференцируема в точке х0, если.частные проx,yz) (при х > 0, z * 0) следующ1■x z• lnx, / ; =( ^-)lnx.zzчто функция f ( x )существует такая окре-Ц нос и. U = £/(х0) точки х0, что для любого x e U ( x 0) при||)1иснис А / = / ( х ) - / ( х 0) имеет вид:( |)IA#Д / = Л,Дх,+... + АпАхп +д(р), р- > 0 ,А.Ап - фиксированные числа, не зависящие от прира-ни Miiii переменных Дх,,...,Дхл, /? = ||Дх|| = д/дх,2 + ...
+ Дх„2 .i.lMCI им, что о(р) =0(/>) Ах2 +... + Ах2 _ о (р ) Ах, А _Ах, + ... +ррр|||Н Кольку !ГП|< 1, а величинар » 0, то обозначив а к =Ро (р ) ■АхкДх„Ах...Рбесконечно мала прик =1,2,..., л, получаем .<(/)) = «, Ах,+... + « „ -Дхл, где а, - бесконечноМним прир-» 0.‘ >1о позволяет получить следующее представление при■|||н ипн дифференцируемой функции:А/ - Л, Ах, + ... + АпАхп +«,Ах, ++ ... + а лДхл = (Л, Ах) + (от, Ах)34 §4.Дифференцирование функций многих переменных.Здесь в скалярных произведениях участвуют « -в е к торыA = (At,...,An), а = (а 1,...,ап),Ax = (A x,,...,A x„).Пэтом выражение ДДх, + ... + АпАхп =есть главная, линейная относительно приращений переменных, часть приращения функции А /.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.
Дифференциалом (первым дифференциалом) функцииf(x)в точке х0 (совектору Ах приращений переменных) называется главная,линейная относительно приращений переменных, частьприращения функции: а5/~(х0; Ах) = ДДх, +... + Д,Дх„, гдеконстанты А],...,Ап определены из равенства (1).Что же представляют собой эти константы? Ответ на этот вопрос мы получим из следующей теоремы.ТЕОРЕМА 1. (Необходимое условие дифференцируемости функции).
Если функция /(х ) дифференцируема вточке х0, то в этой точке существуют её частные производные fповсем переменным= 1,и вернравенства:Д ( х 0) = Ак, к = 1,...,и, где Ак- постоянные изформулы (1).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмём вектор приращенийДх = ДАх = (0,...,0,Дх*,0,...,0), то есть переместимся от точких0 в некоторую точку х вдоль координатной оси хк . Поскольку функция /(х ) дифференцируема в х0, то её приращение (согласно (1)) в данном случае имеет вид: А/ =л/= Akf = АкАхк + о(р), р = |Дх41. Следовательно,-^ -(х 0) == Нш AJ = Ак, что и завершает доказательство теоремы.0 Дх,......... ................................................................................................................. ..........................................35Отметим, что теорема 1 1а(, *1 ■стантыА„...,А„в определении 2 т п ш "'""''"''" '*делёнными.'",игея единшчиу«<*-С Л Е Д С Т В И Е .
Если1 функция,точке х0> то при достаточна***фервнцируема6^'tno маломп ЙЯ),ИЛ,ции имеет вид:'(3)^ = T ~ (xo)* Ах, +,„ +J!L-(x ч А^Х\Qx (Хо )‘Из теоремы 1 и формулыдифференцируемой функции можнГ'опреда™^ ' " \ Тренциал как главную, линейную относится, ™^—ь к ’ часть приращения функц™>d^ f(xV и0;Ax)'X = -л J(4)\ /dy,(t 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
