И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Градиент функции (в данной точке) - этовектор, направление которого есть направление наибольшей скорости роста функции, а норма градиента равнаиной наибольшей скорости роста.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из формулы (3) получаем:jf|^(*о) = {grad Д х 0),е) =||11оскольку cos{grad/, лe) <1, и дошего значения 1, когда векторы сонаправлены, то легко46 §5.Производная по направлению.
Градиент функции.Частные производные высших порядков.df r (х0)^видеть, что максимальное значение производной„ —де_grad / ( х 0)будет в том и только в том случае, когда е - -f-------— — , то\grad / ( х 0)||есть когда вектор е совпадает с ортом градиента / ( в точкех0).Какова же максимальная скорость роста функции / ?grad / ( х 0)получаем, что:Из формулы (3), при е =\g r a d f(x 0)\ ’? (* ){grad(/ xo),]p~^7jf) = |• Лемма доказана.деIgrad||/ЗАМЕЧАНИЕ 1. Поскольку, в силу Леммы I, направление и норма градиента есть направление и величинамаксимальной скорости роста функции (в данной точке), тоградиент grad /( х ) не зависит от выбора системы координат.Рассмотрим теперь направление градиента функции поотношению к её поверхности уровня, то есть к геометрическому месту точек, определяемому уравнением вида:Рс : / ( х ) = /(x,,...,x„) = c , где с некоторая константа.ЛЕММА 2.
Градиент дифференцируемой в точке х0функции / (х) ортогонален её поверхности уровня Рс, проходящей через точку х0.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в малой окрестноститочки х0 взята произвольная точках, х е Рс,х - х0 = Ах ф О.В силу дифференцируемости функции /( х ) в точке х0,имеем:О = А/ = / ( х 0 + Дх) - Д х 0) = (grad Д х 0), Дх) + о(||Дх||) .Разделив это равенство на ||Дх||, получим:§5.Производная по направлению. Градиент функции. 47Частные производные высших порядков.Ах,0 = А/INI(4)№+ !<IM!>= (И) НАх.'++ " '+ ^ (*0>| мrf№ :A+ °<IN>terarf/<*o)WN11ри переходе к пределу в (4) при ||Ах||-»0 векторАхHiпревращается в касательный вектор екас в точке х0 к поверхности Рс, поэтому получается, что (grad / (х0),екас) = 0.Таким образом, g r a d f (х0) _LeKac .
В силу произвольноститочки хе Рс отсюда следует, что grad / (х0) ±Рс. Эсвершает доказательство леммы.5.2.ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.Если у функции /(х ) = /(х,,...,х„) частная производив!определена в некоторой области, то онадх,иноке является функцией п переменных. Может случиться,что эта функция имеет частную производную по переменном х, в некоторой внутренней точке х0 = (х0,,...,х0л)попастиа2/G.Тогдаэтупроизводную-^—(—^-)(х0) =дх, дх,(х0) называют второй частной производнойдх,дхк41111 / сначала по переменной хк, а затем по переменной\t.
в точке х0 = (х01,...,х0п) (то есть сначала производитсяшфференцирование похк,а затем по х, )частная производная второго порядка называется смешан-48 §5.Производная по направлению. Градиент функции.Частные производные высших порядков.ной. Далее, применяя такое же рассуждение ко второйчастной производной, можно определить понятие третьейчастной производной, и так далее. Основываясь на этомописании понятия второй частной производной, мы можемввести следующее общее индуктивное определение:ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.
Если функция / ( jc) = / ( х,,...,хи)(х) (п - 1)-го порЭх,1п-1...дх;*1ка в некоторой областиcz , у которой такжесуществует частная производная по переменнойв точкеимеет частную производнуюдЗ”'1/G,то эта производная: —- ( - Зх,.1п ln-1 ...ох,М- называется частной производной п-го порядка функции/( х ) по переменным х, ,...,х( в точке х0 и обозначаетсях0 = (х01,...,х0„) е3”/(*о) •Зх,1пЗх,'«-1...Зх,чАналогично частным производным первого порядка,существуют другие обозначения и для частных производныхвысших порядков.Производныеd2fОо)>dxidxk3й/(х0) можно обозначать и так: f ”4X,Зх,lnЭх,ln-\ ...Эх,.Мсоответственно.
Если среди переменных х, ,...,х,не всесовпадают, то такая частная производная « - г о порядканазывается смешанной.ПРИМ ЕР 1. Рассмотрим следующую функцию:. д/ _,\ = arctgxy; —Of = Уfу/i x , у)\2 2Зх 1+ х 2у 2 ’1+ х 1у§5.Производная по направлению. Градиент функции. 49Частные производные высших порядков.Для её частных производных верно равенство (проверьтеего самостоятельно!):<?7а1 - х 2у 257-) =дхду дх,1+х2у 2(l + T y 2)2<3у<3хПРИМЕР 2.
Пусть теперь задана функцияX2 - у 2.2 . . . 2чIxy —> 0g(x,y) = j 7 2+ / ’0,0Вычислим её частные производные первого порядка:4х2у2 + х4 - у 4-, х + у >0УГАх\у) = 0,=04х2у2+х4- у 4Л (х;у), х +у > 00, х = у = 0И этом случае оказывается, что смешанные частные производные второго порядка в точке (0;0) не совпадают, а именно:/;(0;0) = lim Л (0 ;7 -/:(0 ;0 ) = - 1;у —>0уЛ:(0;0) = Н т № 2 Ь ^ Ш = 1.лг—>0111роверьте самостоятельно все вычисления!).Рассмотрим теперь понятие п раз дифференцируемой(функции, которое также вводится индуктивно.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функция /(х ) = /(х,,...,х„) называется дважды дифференцируемой в точке х0 = (х01,...,х0л) ,вс ни она дифференцируема в некоторой окрестности этойюч ки, и все её частные производные дифференцируемы в50 §5.Производная по направлению.
Градиент функции.Частные производные высших порядков.точке х0. Аналогично, если функция / (х) (п -1) раз (1)дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, и всееё частные производные (и-1)-го порядка дифференцируемы в точке х0, то /( х ) называется п раз дифференцируемой в точке х0.Из теоремы 3 параграфа 4 и только что приведённогоопределения 4 вытекает следующее достаточное условиедля того, чтобы функция была п раз дифференцируема вданной точке.УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Для того, чтобы функция /( х )была п раз дифференцируема в данной точкех0 = (х01,...,х0„), достаточно,чтобы в некоторойокрестноститочких0онабылап —1 раздифференцируема, чтобы у неё существовали все частныепроизводные п-го порядка, и чтобы все они былинепрерывны в самой точке х0.Рассмотрим теперь вопрос о том, зависят ли смешанные частные производные функции / (х) по одному и томуже набору переменных от того, в каком порядке производится последовательное дифференцирование, и при какихусловиях они совпадают.
В приведённых выше примерах,как мы видели, в одном случае (Пример 1) смешанныепроизводные второго порядка совпадают, а в другом(Пример 2) они различны. Сформулируем и докажем 2теоремы о достаточных условиях равенства смешанныхчастных производных второго порядка функции двух переменных.ТЕОРЕМА 1.
Если функция f( x ,y ) дважды диффе-2/ренцируема в точке (х0,у 0) , то —— (х0,у0) = — (x0,.y0) .дхдудудх§5.Производная по направлению. Градиент функции. 5 1Частные производные высших порядков.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Условие теоремы означает, чточастные производные функцииопределены в некоторой окрестности U= U(x0,y0)точки (х0,у 0)цируемы в самой этой точке. Пусть приращение h достаточно мало, так что точкапринадлежитокрестности U . Рассмотрим выражение Ф === /О о+ h,y0+h)~f(x0+ h,у о) - / О 0которое можно представить следующими двумя способами.Uo-первых, так:ф® = [ f(x 0 +h,y0+ h ) - f ( x 0+ h,y0)]-1;где//ч- [Ж >Уо+И)-/( хо>у »)]=Ф 0Ф0),(рх)= f ( x ,y 0 + h ) - / (х,у0) .
И во-вторых, так:® = \.f(xo + h-,yQ+ h ) - f ( x 0,y0 + h) ] -(о)[/О о +h,У)о- f i x о>Уо)] = ИУо +гдеу (у ) = f ( x 0,+h,y)~ f ( x 0,y ) .Применяя теорему Лагранжа к дифференцируемойфункции <р{х) на интервале (x0;x0 + , из (5) получаем:Ф = <Р'Хixo+ 0h)-h = [Г Ф + y 0 +h)~0)~ / ф 0 + Oh, y 0))-h = [f:(x0 + Oh, y0+h)~ / ; (x0,y 0)]-h~[fx(xo+h,y0) Of'x{Даиее, в последнем выражении в квадратных скобках стоятприращения дифференцируемой в точке (х0,у0) функции/,', которые можно представить следующим образом:[/*'0о + Oh, y 0+ h )- / ; О 0,у 0)] = /* (х0, у0)6»/г +Г ,!+/х'у(хо’Уо)ЬU'AXо+Oh, у 0) - /,'(*„, Уо)] = / я Оо.
^0 )$* +Где а ,,а 2,а 3- бесконечно малые при>0. ПодставляяПолученные выражения в (7), получаем:52 §5.Производная по направлению. Градиент функции.Частные производные высших порядков.ф = С(*о,Уо)М 2 + f ^ ( x 0,y 0)h2 + (a {Oh + a 2h)h - f l x(x0,y 0)Oh2- a 2Oh2.Таким образом,(8)ф=f l y(x0,y 0)h2Совершенно аналогично, используя представление (6),получаем:ф ='yТоV( +Oh)■h=[ fy (+- f y ( x 0,y 0 +Oh)]-h =(9)[f'y(x0 + h,y0 + Oh) -~ [.f'y*o( *To + Щ -f'y(x0f'y(x0, y0)] • =f ^ y ( x 0, y 0)O h2 + C0 {h + p 20 h ) h - f ; ( x 0, y 0)O h 2 - & 0 h 2 ,где Д ,/?2,/?3- бесконечно малые при> 0. Поэтому из (9)получаем:(ю)o = f ; x(x0,y 0)h2 + ( p + p 2o - p 3o )h 2.Поделив налhиприравнивая (8) и (10), получим:fly (*о»То) + (« 119+ «2 - <*3в) = Гух(х0, То) + (А + РФ ~ Р$ ) >откуда и следует искомое равенство: f" x(х0,(х0,у 0),так как разность / " (х0,у 0)~ / " (х0, у0) есть бесконечно малая при /г —>• 0 и значит, равна нулю.
Теорема доказана.ТЕОРЕМ А 2. Если у функции f ( x , y ) в некоторойокрестности U = U(x0,y 0) точки (х0,у 0) существуютчастные производныеf , f , f ' f f l v, причём производныеf f ’fly непрерывны в точке (х0,у 0), то имеет месторавенство: f ”x(х0,у 0) = f xy(х0,у 0).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используем выражение Ф инекоторые выкладки из доказательства теоремы 1. Из ра-§5.Производная по направлению. Градиент функции. 53Частные производные высших порядков.игнства (7) и условия теоремы о существовании частнойпроизводной f ”y , применяя теорему Лагранжа, получаем:<11)Ф = [/,'(*о + М’Уо + А) - Л'(*о + &,Уо)] ‘h =fly (х0+6h,у 0 + вф )С другой стороны, используя выкладку (9) и условиеIгоремы о существовании производной f"x и применяягее>рему Лагранжа, имеем:"Ф=[fy(xo+h,y0+г ух(х0 +e 2h,Щ- / ; (х0Уо+дег е2е (0;1).IIоделив наh2и приравнивая правые части выраженийи ( 12), приходим к равенству:1и )fix (*о + &2h>у о+ Щ(х0 + eh, у0+ e f ) .При переходе к пределу в (13) при>0, в силу условияm прерывности этих производных в точке (х0,у0) , получаемискомое равенство:f l x(x0,y 0) - f l y(xТеоремати гью доказана.Из теоремы 1 выведем достаточное условие равенства| мешанных производных высших порядков.ТЕОРЕМА 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
