И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Утверждение 1полностью доказано.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. МножествоAa Rназываетсяограниченным, если существует число>0 такое, чтоA czBr (0).ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Непрерывной кривой в R” называется множествоL = {x = (xv ...,xn) e R |nх, =^,(0,•••>*„ = Р„(0Ьгде t e[ a, P] и все функции <pk(t) непрерывны на отрезке[a,j3].Будем говорить, что точку х, = ( х , х , „ ) и точкух2 = (х2|,...,х 2я) можно соединить непрерывной кривой,если существуют такие функции (pk{t), = 1, 2,..., непрерывные на отрезке[а, /3],что12§1. Пространство R n*11= Р„(а )> *21 = 0>l(A —>*2, =<Рп(Р)-ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.
Множество A cz R" называетсялинейно связным, если любые две точки этого множестваможно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей вА . Областью называется всякое открытое линейно связноемножество.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Если каждому натуральному числупоставить в соответствие какую-либо точку пространстваR ", то полученное множество точек х,,х2,...,х т ,...н а з ы вается последовательностью точек ви обозначается{I * тт J}Ш„ ,})т = 0,1,...... .т—1\ ИЛИ {I х тГоворят, что последовательность {хт } сходится, еслисуществует точка a e R " такая, что для любого е > 0найдется натуральное число N = N{e) такое, что длялюбого натурального m > N выполнено: р ( х т, а ) < £ . Точкаа называется пределом последовательности.
Обозначение:limx„ = а или х,„---------->а.оо тЛЕМ МА 1. Последовательность {хт } сходится точкеа - (я ,,..., ап)тогда и только тогда, когдаХ пЛт —>оо^ ^1 * ''' ’Х птni —^*где х = (х ,,...,х ) (т.е. последовательность сходитсятогда и только тогда, когда она сходится по-координатно).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть lim хт = а . Значит, для любогот—>ооЕ> 0 найдется N = N(e) такое, что для любого т> Nвыполнено неравенство : л[(хпП- а, )2 + ... + (xmn - а,,)2 <Тогда очевидно, что:mlдля любого т > N . Значит,а,х тп..- апп < £§1. Пространство R"m —>oo^ ^ 1 J * * *> ^ m n13m —>ooДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть сходятся координатные последовательности: s Ml— — >д,,хтп- т^ >ап. Тогда длялюбогое >0 существуют натуральныечислN k = N k(£), к =1,2,...,п, такие, что для любого т, m > N k£верно: \хтк ак| <—j=.
Пусть= шахТогдаNдляуплюбогот>N имеем:а,)2 +... + (хтп- а п)2 < пЗначит,5 хш--------т т—>оо >а . Лемма 1^доказана.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Последовательность {хт } называется фундаментальной, если для любого0 существует натуральное число N =) такое, что для любогонатуральногот> N и для любого натуральногополнено: р(Хт+р,Х т) < £ .ЛЕММА 2.
Последовательность {хт } является фундаментальной тогда и только тогда, когда фундаментальнакаждая из координатных последовательностей {хт |}, ...,{*«„ } •ДОКАЗАТЕЛЬСТВО леммы 2 аналогично доказательству леммы 1. Оно предоставляется читателю в качествеупражнения.ТЕОРЕМА 1 (критерий Коши сходимости последовательности). Последовательность {хт} то-чек пространстваR” сходится тогда и только тогда, когда она являяется фундаментальной.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Последовательность фундаментальна тогда и только тогда, когда она фундаментальна покоординатно (лемма 2). Каждая из координатных после14§1. Пространство R"довательностей является обычной числовой последовательностью. Она сходится тогда и только тогда, когда онафундаментальна (критерий Коши сходимости числовой последовательности).
Но последовательность точек R n сходится тогда и только тогда, когда она сходится по-координатно (лемма 1). Значит, последовательность точек пространства R ” сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной. Теорема доказана.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Последовательность {хт } точекпространства R" ограничена, если существует числоОтакое, чтохтa BR(0) для любого натурального т .ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Пустьт, <т2 < ... <... гдетх,тг,...,тк,...
- натуральные числа. Последовательностьх ,хт^, ,х называется подпоследовательностью последовательности {хт}.ТЕОРЕМА 2 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности \хт } точек пространстваR" можно выделить сходящуюся подпоследовательность.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательность {х,„} ограничена,значит,существует число>0такое,что^дхш1)^ + ... + (хшя)2 <R для любого натурального т .
Тогдаочевидно, что для любогоm :> |xml|< /есть числовые последовательности..., {хтп} ограничены.Выделим из последовательности {хш|} сходящуюся подпоследовательность k ,,} » хi — j^zr+Ot (теорема Больцано-Вейерштрасса для числовых последовательностей).Рассмотрим последовательность к г )• Она ограничена(как подпоследовательность ограниченной последователь-I15§1.
Пространство R"ности), значит, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность |х 2|, х 2— кИ так далее. Вконце концов, из последовательности |дящуюся подпоследовательность \хтVкп)| выделим схохткп —----->ап.>00Рассмотрим теперь последовательность |х}. Так какV 'к„ JвсееёкоординатныепоследовательностиV » " *.-ко >а - ’ •••’довательность также сходится к точке1). Теорема доказана.*123xv(а ,,...,сходятся:>а">' то и) (леммаВОПРОСЫ И УПРАЖ НЕНИЯ К §1.1) Докажите, что следующее определение предельнойточки множества эквивалентно определению 4: Точка х 0называется предельной точкой множества, если длялюбого числа г > 0 в £ -окрестности точки х 0 содержитсябесконечно много точек множества А .2) Является ли единичная сфера в пространстве R"открытым множеством? Замкнутым? Приведите примермножества в R " , которое не является ни замкнутым, ниоткрытым.3) Приведите пример неограниченной последовательности точек пространства R" из которой, тем не менее,можно выделить сходящуюся подпоследовательность.§2.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМ ЕННЫ Х.В данном параграфе мы рассмотрим понятие функции ппеременных и обсудим важнейшее понятие предела функции и условия его существования.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Если каждой точке х из множестваХ а R" ставится в соответствие по определённому законудействительное число / (х ), то говорят что на множествеX задана функция п переменных /( х ) = / ( х , ,..., х„ ) ,х = (х,,...,х„)е X . МножествоXназывается при этомобластью определения функции / (х) и обозначается D f .ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (предел функции по Коши). Числоb е R называется пределом функции f (х) в точке е,если для любогое>0 найдется число 8 = 8(c)что для любой точких е Dfтакой, чтовыполнено: |/( х ) lim /(x ) = 6 илих -* аb\< е О. бозначения:lim f ( x x, . . . , xn) = b.х \ - ^ а\хпОПРЕДЕЛЕНИЕ 2' (предел функции по Гейне). Числоb6 R называетсяпределом функцииf ( x ) в точке е,если для любой последовательности аргументов {хш},хт —„р—»а,хт -Ф-а, соответствующая последовзначений функции стремится к Ъ\ f { x m) — n_¥aa.УТВЕРЖ ДЕНИЕ 1.
Определения 2 и 2 ’ предела функции многих переменных эквивалентны.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.(2)=> (2'). Пусть число А является пределом функции /( х )в точке а по определению 2 (по Коши). Покажем, что тогдавыполнено и условие определения 2’. В самом деле, пусть§2. Предел функции многих переменных.17{хт } - произвольная последовательность, сходящаяся к точке а.
Зададим любое числое> 0 . Тлению 2, существует такое0 , что для всехх ,0 <р(х,а) <,8 выполняется неравенство: |/(х ) -По числу8 для последовательности {хт} найдётся тномер N = N(S) е N , что для всех, будетр( хт, а)<8, а следовательно, и\ f (xm) - A \ < s . Этоозначает, что предел lim f ( x m) = А. Таким образом, условият —>соопределения предела по Гейне выполнены.(2')=>(2). Пусть теперь выполнены условия определения (2').
Предположим, что определение по Коши небыло бы выполнено. Это означало бы, что существует такоечислоs>0 , что для любогоимеется точкахп,> 0 , например, для 8п ~ —пр( хп, а)< 8п, но |/(тиворечит определению по Гейне, так как последовательность {х,,} в этом случае сходится к точке а, но последовательность {/(х„)} не сходится к числу А. Утверждение1 полностью доказано.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Будем говорить, что х —>•оо, еслих —у+оо. ЧислоbеRназываетсяприх —>оо, если любоготакое, что для любой точки х ее>0 найдетсятакой, что ||х|| > 8 ,выполнено: |/(х ) - b\ < е .ТЕОРЕМА 1. Пусть функции /( х ) и g(x) заданы наножествеX сz R ”,и существуют пределы: lim f ( x ) = b,х—>аlimg(x) = с.
Тогда существуют пределы: * '-4л ёlim (/(x) ± g(x)) = Ъ±с,l im (/(x |- g(x)) = bх-*а~|& ■ -БИБЛИОТЕКАMSу718§2. Предел функции многих переменных./( х ) Ъlim------ = — (еслих —>аg(x) сДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим последовательность} точек множества X такую, что х т т —>оо -»а, х т Фа.Тогда У(хт ) —м- - - > Ь , g (x m)^>с (определение предела по Гейне). В силу свойств числовых последовательностейполучаем:( / ( x m) ± g ( x m))—-> ± ,^Д(если с * 0 ).Отсюда и из определения предела функции по Гейнеследует утверждение теоремы.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.
Функция / (х) удовлетворяет условию Коши в точкееалюбого£ >0 найдется число S = 3(c) > 0 такое, чтолюбых двух точек х',х" едля которых О < р { х ' , а ) <8 ,и 0< р(х",а) < б(или ||х'|| > £,||х"|| >венство: |/ ( х ') - / ( х " ) | <£выполнено нера.ТЕОРЕМА 2 (критерий Коши существования пределафункции многих переменных). Функция / (х) имеет конечный предел в точкеаеR"(или притотогда, когда она удовлетворяет условию Коши в точке а(или прих —>со).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Будем проводить доказательство для случая, когда а е R" (случайоо рассматривается аналогично).НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть lim Д х ) = Ъ .Зафиксируем чисх ->ало£ >0. Тогда найдетсяточек х',х"еб = б (0 тDf 0, < /Дх', а) < 5 , 0 < /Дх", , в§2. Предел функции многих переменных.19нено: | / М - 4 | < | .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
