И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 4
Текст из файла (страница 4)
| / ( * ' ) - 4 | < | (определение пределафункции по Коши). Значит,|/С О “f i x ")|< |fix ')-b \+то есть в точке а выполнено условие Коши.ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть функция f ( x ) удовлетворяетусловию Коши в точке а. Выберем последовательностьаргументов [хт) такую, что х т —>а,Пустье> 0 - произвольное число. Согласно критерию Коши,найдется такое 8 = S(£) > 0, что для любых точекх', х "е Df, 0 < р(х',а) <8 , 0 < pix",|/(х')- / (х")| < £. Так как х т—>а , то существуетнатуральный номер N такой, что 0 <шобогонатурального,длят> N .Тем более, 0 < р ( х т+р, а) < 8 для любогчислар и любого\ f i x m+P) - f i x m)\ <£.Мы показали, что для любого0 найдется такоенатуральное N , что для любого m > N , для любогонатурального р выполнено: |/( х '”+,’) - / ( х ' п)| <Этоозначает в точности, что числовая последовательность\/ (хт)} фундаментальна.
Значит, она сходится (критерийКоши сходимости числовых последовательностей).Осталось показать, что для любого выбора послеитательности аргументов {xmj все последовательностишачений функции \ f ( x m)\ будут сходиться к одному июму же числу. Пусть х т—m—-> ,, ут—->а ,vm * a ;f ( x m)—>b,i исдующую последовательность аргументов :f Рассм20§2. Предел функции многих переменных.\zm} ={ x ' , y l , x 2, y 2, . . .
, xm, y m,...}.Легко видеть, что z m—>а,Фдоказанному нами, существует число d такое, чтоf { z m) —>d . Но последовательности {/(х'и)} и {/(>''")}являются подпоследовательностями последовательности{/(г")} и должны сходиться к тому же пределу. Отсюдаполучаем, чтоЪ = с = d. Теорема полностью доказаОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функция / ( х ) называется бесконечно малой в точкех —>аа е R" , если limчение: / (х) = о(1), х —>а.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.
Пусть функция f ( x , y ) определенав некоторой проколотой окрестности точки (х0,у 0) е R 2.Еслинайдетсятакоее >0,что доy , y e U c( y0), существует lim f ( x , y ) = <р(у) и существуетlim (р{у) = b , то говорят, что существует повторный пределу-+у«lim lim f ( x , y ) = b. Аналогично можно определить повторУ-*Уаный предел lim lim f ( x , у ) .дг-> х0 у ^>у „Заметим, что существование повторных пределов функции в точке и существования ее предела как функции двухпеременных (такой предел называют также двойным) неэквивалентны. Приведем соответствующие примеры.хуX2 + у 2 ф 0ПРИМ ЕР 1.
Пусть f ( x , y ) = X2 + у 2 ’0,х2 + у 2 = 0§2. Предел функции многих переменных.21ху0значит,2л° -У. 2- = U’х~*°х + у0+уlimlim f ( x , y ) = 0. Аналогично limlim f ( x , y ) = 0. Покажем,IхлитоУ * О,Ншу -+0 *-» 0jc->0у -> 0что не существует lim f ( x , y ) . Рассмотрим две последова*->0у-> 0ГN1 1„ , ,Г1Гдельности: {(хт, у т)} = •1 5И {(xm,y m)} = j — , -------[т тV.т т JТогда {(хт, у т)} т —>оо > (0 ,0 ), { ( * : , ; / ) } т-усо ->(0,0), но1{ / { х т, у т)} = [ ~, то есть для различ-ш.IX последовательностей аргументов, стремящихся к точке(0,0), соответствующие последовательности значенийфункции могут сходиться к разным числам.
Это означает,что функция f ( x , y ) не имеет предела в точке (0,0).Значит, из существования обоих повторных пределов неследует существования двойного предела.Покажем, что и из существования двойного предела неследует существование повторных.ПРИМЕР 2. Рассмотрим функцию2.f(x,y) = <О,О211(х)+уsin—sin—, 0уху = 0ОРели х +у - » 0 , то f ( x , y ) —>0 (как произведение(iceконечно малой функции на ограниченную). Значит,11т/(х,у) = 0 по определению предела функции по Коши.Покажем, что не существует ни один из повторныхпределов (поскольку переменные входят в нашу функциюсимметричным образом, то достаточно рассмотреть один изИ1М1Х пределов).
Пусть, например,0. Тогда очевидно,22§2. Предел функции многих переменных.,.2 . 1 .1Л,.2 . 1 .1что limx sin—sin—= 0 , a lim y sin—sm — не существует.*->°хуJt^°XуЗначит, не существует пределИш /( х ,у )при любомх-*0фиксированному 0Ф, и тем более, не сущесlimlim f ( x, y) .у —*0 х-*0Легко показать также, что у функции могут существовать двойной и один из повторных пределов, но не бытьвторого повторного предела. Для этого немного изменимфункцию из примера 2:ПРИМ ЕР3.Пусть(х2 + у 2) sin —, у ф О/ ( х ,у ) = <УО,У= 0Тогда lim /(x ,y ) = 0, lim lim /(x ,y ) = О, однако повторныйдет—>0у ->0 х -* 0у-у 0предел lim lim /( х ,у ) не существует (проверьте это СаМОх-^Оу->0стоятельно!)И наконец, рассмотрим пример того, что оба повторныхпредела могут существовать, но не быть равными.Х2 - у 2П РИМ ЕР 4.
/( х , у)222п2 » Х2 + У2 Ф 0х2+ у 20,х 2 + у 2= 0Тогда ясно, что lim lim / ( х ,у ) = -1 , a lim lim /( х ,у ) = 1у —>0 х -»0х ->0 у —>0Покажите, что lim /( х ,у ) в этом случае не существуетх —>0у —>0§2. Предел функции многих переменных.23ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ К §2 .I) Покажите, что для функции /(х ,у ) = х - у двойнойх +уIредел Иm f { x , y )не существует, однако оба повтордг—>0у->0пых предела существуют, причём lim ijt->0 vу->0|" n ( lim /( x .y ) J = - l.|= 1,/Является ли бесконечно малой в точке (1,1) функцияb) f ( x ty) = — f^?У' I 11усть известно, что для некоторой функции f(x,y) сущеi гвует двойной предел lim f ( x , y ) = b и один из поХ-*ХсУ~+Уоторных пределов lim lim f ( x , y ) = c. Докажите, что ва) / О , у) =У-+У0*->*0оом случаеЪ=с.§3.Н ЕП РЕРЫ ВН О СТЬ Ф УНКЦИИПЕРЕМ ЕННЫ Х.многихВ данном параграфе мы обсуждим понятие непрерывности функции многих переменных в точке и на множестве,а также свойства непрерывных функций.Пусть функция /( х ) задана на множествес R ”,а е X , иточка а является предельной точкой множестваX .О ПРЕДЕЛЕНИ Е 1 (формальное).
Функция / ( х ) называется непрерывной в точке а , если lim /( х ) = / ( а ) .х->аУточним это формальное определение в следующихдвух вариантах.О П РЕДЕЛЕН И Е Г. (по Коши). Функция / ( х ) непрерывна в точке а , если для любого> 0 найдется числоS = S ( e ) > 0 такое, что для любой точки x g D ,, длякоторой р ( х , а ) < S , выполнено: |/ ( х ) - f ( a )I < s .О ПРЕДЕЛЕНИ Е 1" (по Гейне).
Функция / ( х ) называется непрерывной в точке а , если для любой последовательности аргументов {х"'|, х " '—>а , соответствующая последовательность значений функции сходится кЭквивалентность определений 1, Г и 1" следует из эквивалентности определений предела функции по Коши и поГейне.Пусть множествоXсявляется для него предельной.§3. Непрерывность функции многих переменных.25ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция / (х ), определенная намножестве X , называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке еОбозначим Ах, = х, а,Ахп = хп - а п- приаргументов.
Тогда следующую величину:А/(*) = / ( х ) - / ( я ) = /(а , + Ах,,...,а„ + Д х „ ) - / ( а , будем называть (полным) приращением функции / (х) вточке а.Отметим, что функция /( х ) непрерывна в точке атогда и только тогда, когда lim ДДх) = 0, что равносильнох ->аутверждению: Н тД /(х ) = 0 .Лх, —>0Av„->0ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.ОбозначимчерезAkf (х) ==f ( a ],...,ak_l,ak +Axk,aM ,...,an) - f ( a i,...,an) - частноеприращение функции /( х ) в точке а , соответствующееприращению аргумента Ах*.
Функция /( х ) называетсянепрерывной в точке а по переменной хк, еслиЛI'mА\1->0 / ( * ) = 0 .ЗАМЕЧАНИЕ. Если функция непрерывна в некоторойючке, то она, очевидно, непрерывна в этой точке по каждойиз переменных. Обратное, вообще говоря, неверно. Приведём соответствующий пример.(Х + у )2ПРИМЕР 1. Пусть f ( x , y ) = \ х 2 + у 2 >1,Г(Ах)im/(0+Ax,0)-/(0,0)=limAt >0Лх->0 (Ах)\х2+у2Ф0. Тогдах2+у 2 = 0Л= 0. Значит, функJция f ( x , y ) непрерывна по х в точке (0,0). Аналогично26§3. Непрерывность функции многих переменных.доказывается непрерывность по у в точке (0,0). Однакоf ( x , y ) не является непрерывной в начале координат: пустьх т = — , у т = ——, тогда f ( x m, y m) = 0 .
Мы получили, чтоттпоследовательность {(х„,,у,и)}— >(0, 0не стремится прит—> оо к / ( 0, 0) = 1,f ( x , y ) не является непрерывной в точке (0, 0) по совокупности аргументов (т.к. не выполняется определениеГейне).ТЕОРЕМ А 1. Пусть функции f ( x ) и g(x) определеныа множествекеX a R ".Если f { x ) и g(x) непрерывны вточке/(* )а е X ,то функции ( / (х) ± g (x )), ( / (х) • g (x)),gO )(при g(a ) ^ 0) также непрерывны в точке а .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1 следует из определениянепрерывности функции в точке и теоремы об арифметическими операциями над функциями, имеющими предел.О П РЕДЕЛЕН И Е 4.
Пусть функции х, =q>{( /,,...,tk),...,х л = (рп(/,,... ,tk) - заданы на множестве<zТогдаtеТ омжно поставить в соответствие точкух = (x ,,...,x n) = {(px(t),...,(pn{t)) е R ” . Пусть X a R" - множество всех таких точек х. Если на множестве X заданафункция f ( x ) : X - > R , то говорят, что на множестве Тзадана сложная функция/( х ,..,х„ (Г,,...,tk)) = / ( х ( 0ТЕОРЕМ А 2 (о непрерывности сложной функции).Пусть функции х, = <р,tk),х п = (/,,..рывны в точкенепрерывна в точкеа= (a,,...,b=где§3. Непрерывность функции многих переменных.27j = l,...,n. Тогда сложная функция f{x(t))' непрерывна вточке а.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть последовательность точекмножества Т сходится к некоторойнкеа= (а ,,...,я 4) е{хт } = {(х{" ,...Т .Обозначим,x j - (р,(7”,х ”)}. Так как все функции (pj ( )непрерывны в точке а, то последовательность {х'”} сходится кЬ=(<р^а),...,(рп(а))(здесь мы пользуемделением непрерывности функции по Гейне, а также темфактом, что последовательность точек пространства R"сходится тогда и только тогда, когда она сходится покоординатно). Поскольку функция, в свою•иIсредь, непрерывна в точке= (6, ,...,/>„), где/>( =cpj(а,,...,ак),то числовая последовательность { / )}сходится к f ( b) . Мы получили, что для любой последошггельности аргументов {/'”} = {(/” ,...,/" )} , сходящейся кючке а, соответствующая последовательность значенийфункции {f {x(t m))} сходится к f(x(a)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
