И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Рассмотрим функцииf ( x ,y ) = х 3 + у 3,g { x , y ) - x A+уА. В точке (0;0) вторые дифференцих функций равны нулю (проверьте!). Однако несложноубедиться (сделайте это самостоятельно!), что у функцииg (x ,y ) имеется экстремум (какой?) в точке (0;0), а уфункции / (х,у) в этой точке экстремума нет.7.2.СЛУЧАЙ Ф УНКЦИИ ДВУХ П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х .Рассмотрим более подробно достаточные условиясуществования локального экстремума для случая функциидвух переменных.ТЕОРЕМ А 3. Пусть функция /( х ,,х 2) дифференцируема в некоторой окрестностиU = U (x0) точкиХ0= (х0,,х02) и дважды дифференцируема в самой точкех0. Пусть точка х0 является стационарной, a emopoiдифференциалd / ( х 0)функцииOj|(^/X])” +f(x)в точке2<7Х|б/х2 + ajn (dx2) , еде a^.fx,xt (^o)'a w> 0 , mt1 - h j - 2- Тогда, если определитель A2 =a \la 22§7.
Локальный экстремум.точка х0 является точкой локального75•(локального максимума, если ап > 0, и локального минимума, если</, j <О).Если же А2 =‘иа \2(12 < О, то экстремума в точкеа 22v„ нет.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из курса линейной алгебрыизвестен критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичной формы, заключающийся в следующем: если всеI пивные миноры матрицы квадратичной формы положиюльны, то квадратичная форма положительно определена.Исли же знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса, то квадратичная форма отрицательно определена. Всилу этого критерия, при условии0 и0 второйшфференциалd 2f ( x 0;dx) является знакоопреде(положительной или отрицательной, в зависимости от знака</и ) квадратичной формой. Следовательно, по теореме 2, впом случае в точке х0 имеется локальный экстремум.Пусть теперь А2 <0.
Покажем, что тогда экстремуманет.Предположим сначала, чтотеореме 2, ht =0. Обозначим, как и вi= 1,2, где р = dx = -^(cft:,)2 +РООГогда d f ( x 0;dx) = all(dxl) + 2andxxdx2 + a22(dx2) =О~ P [^n(^i) + 2d\2h^h2 + #22(^2 ) ] =^h<2a 11[&\\{h\) +2 a \ 2Q\\h\h 2 +cin (^2)(^22^11 “ ^12Х ^ г ) ] =/}^—[(auhx + anh2) + A2(h2) ]. Следовательно, взяв hx = 1,a.и h2 =0, получимдлявторогодифференциала:§7. Локальный экстремум.76Рd f ( x 0;dx) = -----(аи Уаизнак, как а ,,. А с~ Р aw>т0 естьдругой стороны, если взятьа,’II, то второй дифа\2\ =7 (0ференциал"*■(a i2 )V(^i| ) + (а 1г)приобретаетследующийвид:d 2f ( x 0;dx) =Р' ■А.О н)Ра\- и имеет, следовательа\\(a il) “*“(^12)О н) ^ Ol2)но, знак, противоположный знаку аи .
Таким образом, второй дифференциал является в этом случае знакопеременной квадратичной формой, и поэтому, в силу теоремы2, экстремума в точке х0 нет.Пусть теперь А2 < 0, и а ,, = 0. Заметим, что в этомслучае обязательно а12 ^ 0. Тогда получаем:= p 2h2(2au hl+ a22h2)0 и возьмём |22 2 . Зафиксируемнастолько малым, чтобы выражение в круглых скобкахимело такой же знак, как произведение anh® (Поскольку(А,0)2 +(/720)2 = 1,а 12h <Тогдатодляэтогодостаточновзять- проверьте это самостоятельно!).) Т (й22)d 2f ( x 0;{ph°,ph2})и d 2f ( x 0;{p h °,p (-h 2)})будутиметь разные знаки, то есть при изменении знака h2 знакd 2f также меняется.
Итак, второй дифференциал в данномслучае есть знакопеременная квадратичная форма, и потеореме 2, экстремума в точке х0 нет. Теорема 3 полностьюдоказана.§7. Локальный экстремум.77ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ К §7.I) Пользуясь предложенными в данном параграфеметодами, найдите точки локальных экстремумов изначения функции в них, еслич50 20.
лf ( x ,y ) = x y +— +—(х > 0, > 0).хУ7) Найдите точки локальных экстремумов следующейфункции трёх переменных:/ (x,y,z) =х2 + у 2 + z 2 + 2х + 4у -6z.I) Определите множества точек локальных экстремумовфункций:а) /( * ) = \х\ + |j>| / б) g(x, у) = |х| - ^§ 8.НЕЯВНАЯ Ф УНКЦИЯ.Этот параграф посвящён обсуждению понятия неявнойфункции, условий её существования, непрерывности, дифференцируемости, а также правил вычисления её частныхпроизводных первого и второго порядков.Довольно часто при решении задач зависимость переменнойи отппеременных (х,,...,х„) бывает зауравнения следующего вида:F (u ,x u ...,xn)(1)где F - некоторая функция (п+О П РЕД ЕЛ ЕН И Е 1. Функция и = м(х,,...,хп) называетсянеявнойф ункцией,определяем ойф ункциональны месли при подстановке её еуравнение (1) оно обращается в области G в тождество:F{u{xx,...,xn),xv ...,xn) = 0.уравнением(1 ) в о б л аст иG ,П РИ М ЕР 1. Рассмотрим уравнение:F ((* )u ,x{, x 2 ) = и 2 + х,2 + х 2 — 1 = 0 .Легко видеть, что две непрерывные функции, задаваемые формулой: м, 2 = ±дД —Х|2 - х \ , являются неявнымЕфункциями, определяемыми уравнением (*) в замкнутогокруге D ]радиуса 1 с центром в начале координат.
Однакокроме них, есть бесконечное множество других неявны?функций, не являющихся непрерывными, которые можшзадавать так:мс (х,,х2)+ д/l —х,2 - х 2 , ( x , , x 2)д/ l - x j 2 - х 2 , ( xv xgG,2) ^ D \ G ,где G - произвольное собственное подмножество круга D '.§8. Неявная функция.79На Рис.З ниже показано, что часть сферы, задаваемойуравнением (*), лежащая в малой окрестности точки А,однозначно проектируется на плоскость XOY. Это означает,что уравнение (*) однозначно разрешимо в этой окрестности относительно и, и следовательно определяет единственным образом явную функциюИ напротив,часть сферы, лежащая в малой окрестности точки В, неоднозначно проектируется на плоскостьЭто означает,что уравнение (*) в этой окрестности не является одношачно разрешимым относительно и.
Отметим, что в точке8FSFI производная —Ф 0, а в точке В наоборот, —дидимы выясним, что это как раз имеет принципиальное значение для однозначной разрешимости уравнения (*) отноI Iцельно переменной и.^ Y3РИС.З«80§8. Неявная функция.8.1.УСЛОВИЯ СУЩ ЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНФУНКЦИИ.Рассмотрим вопрос, при каких условиях в окрестностиданной точки гарантировано существование единственнойнепрерывной и дифференцируемой неявной функции, определяемой данным функциональным уравнением типа (1).ТЕОРЕМ А 1. (О существовании и дифференцируемости неявной функции). Пусть функция- F (u ,x{,...,xn) дифференцируема в некоторой окрестностиV = V(u0,x0)точки (и0,х0).
Пусть, кромеdFdFР (щ ,х0) = 0,— (м0,хо) * 0, идиди(н0,х0) . Тогда для любогонепрерывна в точке0найдётся8 - 8(e) >0, что в 8 -окрестноститакоех0 (тоесть для любого х такого, что 1 * -* „II < 8 )определенаединственным образом такая функция <р(х) = <р(х],...,х„),для которой F(ip(x),x) = 0, и||<д(х) -< е для любогох е Wt)-(x0) . При этом функция <р(х) дифференцируема вWs (xo), и её частные производныевычисляются поформулам:f:dip7,i = \,...,( 2)дХ:FНа Рис.
4 дана иллюстрация к проводимому ниже доказательству теоремы.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведём рассуждения дляслучаяп= 2. Общий случай рассматривается аналСначала докажем существование требуемой функции и ееединственность. Предположим для определённости, чтсdF_dF_в точкесилунепрерывностиВО„,хо,,х02) > 0 •диди§8. Неявная функция.(мн,х01,81х02), существует окрестностьв„ dFкоторойтакже является положительной (кроме того,можно считать, что t / c F , то есть всюду в U функцияF ( u , x x, x 2 )дифференцируема). Следовательно, функция/'’(и,х01,х02) , как функция одной переменной , монотонновозрастает на пересечении окрестности U с прямой L , зачаваемой уравнениями L :(см.Рис.4).РИС.4Следовательно, для произвольного числауказать точки M x(ux,x0i,x02),•поF (M X)<0, a0 можноnтакие,F (M 2)>0 , причёми0 - £§8.
Неявная функция.82< и2 <и0 + £ . Далее, в плоскостях Р у .и = и х, Р2 :и = и2 можно выбрать шаровые окрестности Ц точек М, (/ = 1,2) такие, чтоF (M )<0 приМпри М е Д 2. Можно считать, что эти окрестности одного итого же радиуса 8 = 8(e) > 0. Таким образом, мы получилицилиндр С : <Oiи, <и <и.1- x0l)2+ (х2 - х02)2, - удовлетворяющийследующим условиям:1) функция F (u ,xt,x 2) дифференцируема (а значит, инепрерывна) в С;2) F ( m, x,, x2) монотонно возрастает в цилиндре С попеременной и ;3) F ( m, x,, x2) отрицательна на нижнем основании цилиндра С, и положительна на его верхнем основании.Обозначим D 2 - двумерный открытый диск (то естькруг), являющийся ортогональной проекцией цилиндра С наплоскость переменных (х,,х2).
Из условий 1)-3) следует.что над любой точкой х = (х,,х2) еD(то((//,,xl,x2);(w2,x1,x2))) в цилиндре С существует единственная точка М(м(х,,х2),х1,х 2) , в которойОПонятно, что геометрическое место таких точек над дискомD 2 представляет собой график искомой неявной функциикоторую мы обозначим и = ^>(х,,х2), (х,,х2) е D . Единственность этой функции очевидна из её построения.Покажем теперь, что построенная выше неявная функция непрерывна в области D .При построении функции м = ^(х,,х2) для произвольного £ > 0 мы подобрали такое число 8 = 8(£) > 0 , что ка/только выполнено неравенство:§8. Неявная функция.83Iх - * 0 1 = V O l " *01 ) 2 + 0 2 " *02для функции и = (р(х{,х2) немедленно выполняется неравенство: и0- е <щ<и =(р(х{,х 2) <и2 <и0 + £ , и с|<р(х,,х2) - м 0| = \(р(х\,х2)- ^(х0|,х02)| < £.
Это означает непрерывность функции и = (р{хх,х 2) в точке (х0|,х02) . Непрерывность её в любой другой точкедоказывается совершенно аналогично. (Достаточно вместо 5 взятьчисло8 = Д(£';х1,х2) > 0 такое, что D~<zD2, где D -- дискрадиуса 8 с центром в точке(х,,х2) .)Докажем теперь дифференцируемость построенной нечвной функции. Поскольку все точки диска D 2 обладаютодинаковыми свойствами, то как и при доказательстве непрерывности, достаточно провести доказательство дифференцируемости для точки (х0|,х02).
Для этого рассмотрим(нулевое) приращение дифференцируемой функции F :0=AF = F(u0 + Ам,х01 + Дх,,х02 + Дх2) - F ( i/0, x01, x02) == Ft'(Au +F^ Ах, + F'Ах2+ аАи + ДАх, +где а ,Р ,у - бесконечно малые при условии, что норма|{Ам,А х,,А х2}| =Дм2 +(Дх1)2 +(А х2) 2 —> 0 ,Аи = А<р= <р(х0Х+ Ах,, х02 + Дх2) - <p(x01,x02) ,и все частные производные вычислены в точке (и0,х0|,х02) .' )гпода получаем:<*)0=(F: +а) Аи +(F;+ Ах, +причём из условия теоремы FJ * 0, следовательно, прицистаточно малом а будет также (F„' +0. Поэтому из( \) можно выразить приращение неявной функции Аи =...Имеем: А( К + Р)( К +Г)ср = Аи=-1------ Ах,------ 2------Ах,.(К + а )(. )2§8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
