И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Однако довольно часто в практических задачахгребуется отыскать точку, в которой данная функция принимает значение, большее (или меньшее) её значений не вовсей окрестности этой точки, а лишь в некоторой её части,точки которой удовлетворяют специальным условиям (такназываемым условиям связи). Эти условия связи обычнозадают набором уравнений.ПРИМЕР 1. Пусть требуется найти экстремум фунищиz —х —ну а прямойL:менныехиу связаны между собой уравнением:у -2х = 0.Эта задача легко решается.
Достаточно подi 1авить равенство:у = вх2 выражение для функполучим: z = x —4х= -З х . Так как получевсюду отрицательна, кроме точки 0, где она равна 0, тоочевидно, что х0 = 0 - точка её максимума (даже не локальною, а глобального). Однако исходная функция Z = х 2 —у 2и точке (0;0) не имеет локального экстремума, в чём нефудно убедиться.по§11. Условный локальный экстремум .На Рис. 5 ниже показан ещё один наглядный примерусловного локального экстремума.
Поверхность S заданауравнениемS:z=f ( x , y ) = x 2 + y 2(эллиптлоид). Функция f(x,y) не имеет локального экстремума вточке А. Однако, если рассматривать пересечение поверхности S с плоскостью Q, представляющее собой параболу,то есть рассматривать функцию f(x,y) при условии, что переменные х ,у связаны уравнением плоскости Q, то с этойточки зрения точка А является локальным минимумом. Таким образом, это условный локальный минимум.РИС.5Сформулируем теперь общее понятие условного локального экстремума.
Пусть в некоторой области G сзадана функция п + т переменных м = f { x x,...,xn,y v ...,ym) исистема уравнений:§11. Условный локальный экстремум .111' F{(xl,...,x„,yl,...,ym) =ОР т ( Х\>">Хп>У1>->Ут)*1= °ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Условным локальным экстремумом функции / при условиях связи (1) называется точкаM 0(x0i,...,x0lt,y ov...,y0m) такая, что её координаты удовлетворяют условиям связи (1), и существует окрестностьточки М0, в пределах которой значение функции / ( М 0)является наибольшим (наименьшим) среди её значений вовсех точках этой окрестности, которые удовлетворяют условиям связи (1).Рассмотрим теперь задачу об отыскании условноголокального экстремума функции u = f ( x ],...,xn,y l,...,ym) приусловиях связи (1).11 Л.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА.Выясним, каковы необходимые условия существования условного локального экстремума в рассматриваемойточке М0.Для решения этого вопроса будем предполагать, чтовсе функции в левых частях системы (1) дифференцируемыв некоторой окрестности рассматриваемой точки М0, Ихчастные производные по переменнымнепрерывны в самой точке М0, и якобиан^ 0 в точкеD(yi’->ym)Л/,,.
Таким, образом, выполнены все условия теоремы 1 из§) о существовании системы неявных функций, и следоваи-ньно, для любых положительных чиселнай1ётся окрестность точки х0 = (х0|,...,х0п) , в которой единст-112§11. Условный локальный экстремум .венным образом определён набор из т дифференцируемыхнеявных функций:’ У,<=<Р,9§Ут =<Рт(Х\>-,*„)определяемых системой функциональных уравнений (1) иудовлетворяющих неравенствам: |у, - м0| | <|< ,< s m. Подставив равенства(2) в функциюи=f ( x x,...,xn,y x,...,ym), мы сведём нашу задачу к задаче оотыскании обычного локального экстремума функции(3)и = _ / Х Х |xn,<Pi ( X j хп(рт{хх,..., у „У) = Ф(хх,...,хп)в точке N0(x0[ ,...,х0п) .
Необходимые условия для этого намизвестны (см. теорему 1 из §7). А именно, если в точкеN 0(x0l,...,x0n) имеется локальный экстремум дифференцируемой функции Ф(х,,...,х„), то её дифференциал в этойточке равен нулю при любых достаточно малых приращениях переменных, то есть имеет место равенство:с!Ф = Ф' йЬс, +... + Ф'г dxn —0 (все частные производные вычислены в точке N 0). Далее, в силу тождества (3) и инвариантности формы записи первого дифференциала, имеемравенство:(4)с!Ф= d f =f[ d x x+... + f dxe + f dyx +... + f yВ равенстве (4) дифференциалы dy{ =это дифференциалы найденных неявных функций. Они могут быть выражены через дифференциалы dxx,...,dxn в видеих линейных комбинаций следующим образом.
При подстановке неявных функций <рх(х),...,<рт{х) в систему уравнений связи (1) в некоторой окрестности точкиА0(х01,...,х0„) возникает система тождеств:§11. Условный локальный экстремум .113Fi(x[,...,xn,(pl(x),...>(pm(x)) = О(5){Fm(xi,...,xn,<pl(x),...,<pm(x)Дифференцируя тождества (5), получаем линейнуюсистему:dFxdF{dF{dF{+ ... + —±dxn+ ^ ± dyl+ ... + —=05x,d x „ md y(6 )dF, dFm ,dFm ,dFm— — dx,+... + — —dxn + — —dy, +... + — —dym = 0ax,dxnay,dym(Напомним ещё раз, что все частные производныеточкеN0(x0,,...,x0n)).
В силу наложенногоD(FF )ранее условия: —Ф0, - систх,-,У т)венное решение относительно дифференциалов,dym=d(pm, выражающееся по формулам Крамера. Тоесть каждый из дифференциаловпредставляетсяв виде некоторой линейной комбинации дифференциаловdx,,...,dxn. Подставляя эти линейные комбинации в равенство (4) и приводя подобные члены, получим уравнениевида:A,dx,+ ...+ Andxn = 0.
(Можно отметить, что полученнстантывоА,,...,Ап- это просто частные производные вточке N0 вышеупомянутой функции Ф(х,,...,хя)). Отсюдаполучаем, что необходимыми условиями локального условного экстремума при описанных условиях является равенство нулю указанных констант, то есть равенства:(7)А1=А2 =... = А„=Резюмируем теперь наши рассуждения.ВЫВОД (Необходимые условия условного локальногоэкстремума). Если система (1) уравнений связи удовлетво-114§11. Условный локальный экстремум .ряет (по отношению к переменным у 1,...,ут) в окрестности точкиМ 0{х0\,...,х0п, у 0\,...,у0т)условиямсуществовании системы дифференцируемых неявных функций (теорема 1 из §9), то необходимыми условиями длясуществования условного локального экстремума у функциии= /(х ,,...,х п,ут) в точке Л/0 являются равенства(7), получаемые из уравнения (4) и системы (6).
Поэтому вописанных условиях для отыскания п + т координат точкивозможного условного экстремума следует решитьследующую систему из п + т уравнений:А1= А 2 =... = А„=0Fl(xl,...xn,y l,...,ym) = 0f j x „ - , x „ , y l,...,yj=011.2.М ЕТОД НЕОПРЕДЕЛЁННЫ Х М НОЖ ИЛЕЙ ЛАГРАНЖ А.Рассмотрим теперь метод, предложенный Лагранжемдля отыскания локального условного экстремума. Этот метод, как мы увидим ниже, позволяет вывести и необходимые, и достаточные условия для существования условного локального экстремума рассматриваемой функции вданной точке М 0.
В предыдущих рассмотрениях задачи осуществовании условного экстремума мы опирались на то,что переменныеу,,...,утявляются неявными функцих,,...,х„, задаваемыми уравнениями связи (1). В методеЛагранжа отсутствует (в явном виде) представление переменных у 1,...,ут как функций от х,,...,х„, то есть происходит симметризация переменных, они становятся равноправными.§11. Условный локальный экстремум.115Пусть по-прежнему задана функция п + т переменныхи=f{x\,...,xn,y x,...,ym)и система уравнений (или условий) связи (1). Требуется найти необходимые и достаточные условия для существования в данной точкеМ0(х01,...,х0п>Уо\,—>Уот) условного локального экстремумафункции и f ( x l,...,xn,y i,...,ym)при условиях связи (1).Для решения этой задачи предлагается рассмотретьспециальную функцию, которая носит имя Лагранжа.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцией Лагранжа рассматриваемой задачи называется функция (от п+т переменныхxv ...,xn,y„ ...,ym)\(8)Цх,у) = f(x,y)где х = (*,,...,*„),,FA+(х,у) +...
+ AmFm(*У = (У],-,УAjЛН Е О Б Х О Д И М Ы Е У С Л О В И Я У С Л О В Н О Г ОМ У М АП ОeRЭ К С Т Р Е М Е Т О Д У Л А Г РА Н Ж А .Будем предполагать, как и выше, функции f ( x , y ) ,Fi(x,y),...,Fm(x,y) дифференцируемыми в окрестноститочки М0(х01,...,х0п,у 0],..., у0ш). В этих условиях функцияЛагранжа (8) также дифференцируема. Будем (как и выше)предполагать также, что частные производные функцийl\(x,y),...,Fm(x,y) попеременным (у,,...,ут ) непрерывны всамой точке М0, и якобиан W l - F J . о в точке М0.П(Уо-,Ут) ’Пусть известно, что в точке М0 у функции f ( x , y )имеется условный экстремум при условиях связи (1).
Вы41 мим, каким обязательным условиям должны удовлетиорять в этом случае её координаты.В силу сделанных выше предположений, мы по-прежи с м у располагаем равенствами (4) и (6). Умножим каждоеи I равенств (6) на произвольные (пока неопределённые) попоянные множителиЛ,,...,Ат .Полученные пос116§11. Условный локальный экстремумножения равенства сложим почленно с равенством (4). Врезультате получается равенство:<9>пЁсд/=1=ттт+Xwr„j=\к=1k=1ж+К , dx\ +... + L'x dxn +L'yidyl =dL = 0.Подберём набор констант (неопределённых множителей) Л0 = (Л01,...,Л0т) так, чтобы все коэффициенты при dy}в (9) равнялись нулю (у =Л0 = (Ли).
Это означает, чтодолжно быть решением системы:д , = /; , + 1 Л № > ; , = «к=\тк=\В силу наложенного выше условия, что,a вD O W ,* .)точке М 0, такой набор констант Д0 = (Д,01,..., Д0т) определяется из системы (10) единственным образом по формуламКрамера.
Равенство же (9), при подстановке в него набораДо =(Д01,...,Я0т), приобретает вид:т(И)/=1Отсюда, в силу независимости переменных x1?...,xw, следуАг=1ют равенства:(12)тд + £ л , •№>;,= о, i=i,...,в.к=\Объединяя систему (10) с системой (12), и присоединяя к ним систему уравнений связи (1), получим следующую итоговую систему из п + 2т уравнений, которым§11. Условный локальный экстремум117при данных условиях обязаны удовлетворять координатыточки условного экстремума:т/ ' + 2 л г а ; =°k=1тЛ. + Zк=1- W ) ',.=от(13)/;, + 2 > < № у,, = ок=1/и/;=ок=1F 1(xi,...,x„y1,...,ym) = 0Fm(x1,...,xn,y 1>...,ym) = 0Таким образом, каждой точке М0(х01,...,х0п,у 0],...,у0т)условного экстремума при предположениях, перечисиенных выше, соответствует единственное решение(хт,...,х0п,у т,...,уы Л о - Л т ) системы (13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
