И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 13
Текст из файла (страница 13)
содержит точку (0;0), то она заведомо содержити некоторую окрестность этой точки, а значит, и точки вида(х; х), (х ;-х ), где хФ0. Поэтому в такой облуказанных функций нельзя выразить через другую.10.1ДОСТАТОЧНЫ Е УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИСТИ ФУНКЦИЙ.Рассмотрим теперь условия, при которых данный конечный набор функций является независимым.ТЕОРЕМ А 1. Пусть задан набор функций: м, == ф\(х,,•••,х „ ),..., ит = (рт(Х|,...,Хл), где1. Пусть все§ 10.Зависимость и независимость функций.101функции этого набора определены и дифференцируемы внекоторой окрестности точки М0(х0|,...,х0л). Тогда, еслиякобиан из этих функций по каким-либо т переменнымотличен от нуля в точке М 0, то функции данного наборанезависимы в некоторой окрестности точки М 0.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Не ограничивая общности, будем считать, что в точке М 0 отличен от нуля якобиан(2)£>(и,, ц2, - , 0D ( x x,x2,...,xбудем рассуждать от противного.
Предположим, что функцииих,и2,...,итзависимы в некоторой окрестности точкиМ0, т.е. одна из этих функций, например ик, всюду этойпкрестности выражается в виде икгде Ф - некоторая дифференцируемая функция. Пользуясьправилом дифференцирования сложной функции, вычислимпроизводную функции ик по любой из переменных х, (/ =I, 2, ....
т). Получаем следующие равенства:...дик ЭФ Эм,дФ дик ,дФ Эм..,дх,|дидх,дик_,ЭФ дит...+(/ = 1, 2, .... т).дитт дх,IФормулы (3), рассматриваемые в точке М 0, показывают,•но к-я строка якобиана (2) представляет собой линейнуюм>мб|1иацию остальных его строк с коэффициентами, соотЭФ ЭФЭФ ЭФЭФ ,Ипегвенно равными ---- ,----- ,...,-------,-------,...,----- (всеЭм, ди2 дик_х дик+хдитиротводные вычислены в точке М0). Но в этом случаеминтаи (2) равен нулю в точке М0, что противоречитУ» ношио теоремы. Доказательство закончено.102§10.Зависимость и независимость функций.П РИМ ЕР 3.
Выше (см. пример 2) рассматривались двефункции u i = x + y H U 2 = x - y , n c помощью определения 1была показана их независимость в окрестности точки (0;0) .Применяя к этим функциям теорему 1, получаем, что онинезависимы в окрестности любой точки пространства R 2,1D ( u . , u 2)поскольку якобиан= - 2 * 0 всюду в1D (x,y)Ю .2.ФУНКЦИОНАЛЬНЫ Е М АТРИЦЫ И ИХП РИ ЛО Ж ЕН И Я.Пусть снова задан набор из т функций от п переменных (1). Будем предполагать, что функции (1) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точкиМ 0(х0|,...,х0„ ), причем все частные производные первогопорядка этих функций непрерывны в самой точке М 0.Рассмотрим вопрос о том, какие из функций набора (1)являются независимыми.
С этой целью составим из частныхпроизводных всех функций (1) следующую функциональную матрицу:д<р{д(р,дф,йх.д(р2дх2д<р2дхпд(р2йх.дх2дхпд(Ртйх,д(Ртдх2д(Ртдх псодержащую т строк и п столбцов. Справедливо следующеезамечательное утверждение.ТЕОРЕМ А 2. Пусть в описанных выше условиях функциональная матрица (4) обладает свойствами:1) некоторый минор r-го порядка отличен от нуля iточке А/0(х0,,х02,...,х0„);§ 10.Зависимость и независимость функций.1032) все миноры (г + 1)-го порядка равны нулю в некоторойокрестности точки М 0.Тогда г функций, представленных в указанном миноре г-гопорядка, независимы в окрестности точки М 0, а каждаяиз остальных функций зависит в этой окрестности отуказанных г функций.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Не ограничивая общности,можно считать, что в точке М {) отличен от нуля минор,стоящий в левом верхнем углу матрицы (4), т.е. определитель:д(рхд<Р\дххдхгф 0.(5)д<Р,д(ргдх,дх.I огда из теоремы 1 сразу вытекает независимость функцийих,и2,...,иг в окрестности точки М 0. Остается доказать, чтонюбая из остальных функцийности М 0 отзависит в окрестих,и2,...,иг Д. окажем, например, чтивиситв окрестности М0 от их,и2,...,иг .Пусть значения первых г функций их,и2,...,иг в точкеД/(, равны.и^х= (Xqi,х0 2 х0п) , ...,Заметим, что эти первые г функций их,и2,...,иг набора (1)представляют собой единственное и дифференцируемое решение следующей системы уравнений:Fl(ui,...,ur,xl,...,xn)= (рх{ххг..,хп) - и х = 0(6)и...............................................................Fr{ux,- ,u r,xx,...,xn) = (pr{xx,...,xn) - u r =0некоторой окрестности точкитI /-^-мерного пространства переменных)104§10.Зависимость и независимость функций.поскольку в указанной точке N0(u0l,...,u0r,x0[,...,x0n) якоби-D (F\,...,F),уан ——----- — = I - 1)Ф0, и следовательD(ut,...,ur)условия теоремы 1 из §9 (о существовании системы неявных функций).D(F„...,Fr)С другой стороны, поскольку якобианD {x,,...,xr)совпадающий с минором (5), также отличен от нуля в точкеN 0, то систему (6) можно в окрестности этой точки однозначно разрешить и относительно переменных х,,...,хг .
Тоесть всюду в достаточно малой окрестности точки N 0система (6) имеет единственное и дифференцируемоерешениех,(7)= y / l ( u ], . . . , u r , x r+l,...,x........................................Хг —I//г(МЗаметим, что равенства (7) и первые г равенств из (1) полностью эквивалентны в окрестности точки N 0. В частности,если подставить величины х ,,х 2,...,хг , определяемые уравнениями (7), в первые г равенств (1), то указанные равенства обратятся в следующие тождества относительно (независимых) переменных хг+1,...,х„,ц,,...,мг :' <pl(y/l,...,i//r,x r+l,...,x„) = ulПродифференцируем эти тождества по переменным х(1=г+1,...,п) и учитывая, что м,,...,г/г не зависят от хг+1,...,х„получим следующую систему:§10. Зависимость и независимость функций.105д(рхдщгд(р{д<рх ду/х+ ...++= 0,йх, дх,дхг дх,дх,(В)д<рг ду/ 1 + | д<ргу}д__ Qйх, дх,дхг дх,дх,Заметим, что равенства (8) справедливы для всех точекM(x],...,xr,xr+i,...xn) из некоторой окрестности точки М 0.Для того, чтобы показать, что функция иг+1 зависит внекоторой окрестности точки М 0 только отподставим значения х,,...,хг,определяемые(7), в (г+1)-е равенство системы (1).
При этом получим:иг+1 Фг+I (Х| »•••>Хг ) ■*>+!’•••>■*■„)*Р1 1( Wl >•••>•••>У'г (М1 ,•••, мг»хг + 1 Х„ ), Хг+, Х „ ] = Ф ( и , Нг, хг + 1 Х„ ) , ТОость фактически нг+1 превращается в функцию аргументовнх,...,иг,х г+],...,хп, которую мы обозначили символом Ф.Остается доказать, что для всех значений переменных*'|,...,хг,хг+1,...хя, лежащих в достаточно малой окрестноститочки М 0, функция Ф на самом деле не зависит отх,+|,...,х„. Для этого достаточно доказать, что для всехх п из достаточно малой окрестности точки М0справедливы равенства:йФ=0 (1=г+1,).( ‘ >)дх,Продифференцируем функцию Ф по переменной х,(/ т+1,...,п) как сложную функцию.
Получим:йФд(Рг+\д ¥х+ + dffr+1д ^ _ д(рг+х( 10)йх, дх,дхг дх,дх,дх,1’ассмотрим теперь следующий минор (г + 1)-го порядкаматрицы (4):106§10.Зависимость и независимость функций.dtp,дх,д = д<Ргдх,d(Pr+iдх,дсргdtp,дхгдх,д(ргдхгд(ргндхгdtprдх.д(Рг+\дх,По условию теоремы этот минор равен нулю всюду вокрестности точки М 0. Умножим равенства (8) и (10) насоответствующие алгебраические дополнения А|}...,Дг,Д г+1элементов последнего столбца минора (11) и после этогосложим все эти равенства. В силу теоремы о том, что суммапроизведений элементов данного столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого(другого) столбца равна определителю (нулю), получимЭФ(12)Л = — Лг+1ох,В равенстве (12) символ Д обозначает минор (11), равныйнулю всюду в окрестности точки М 0, а алгебраическоедополнение Дг+1 совпадает с минором (5), отличным отнуля в точке М 0, а значит (в силу непрерывности всехчастных производных, входящих в него) и в некоторойокрестности этой точки.
Из равенства (12) поэтомузаключаем, что всюду в некоторой окрестности точки М 0справедливы равенства (9). Теорема доказана.ПРИМ ЕР 4. Исследуем зависимость функций:2 U 2 — X j ~b X 2 + X3 X4 ,t/j —Xj2 +, Xj2 +, Х32 +, х4,w3 - l x xx 2 + 2xtx 3 + 2 x , x4 + 2 x 2x 3 + 2 x2x4 + 2 x 3x4.Функциональная матрица (4) имеет в данном случае следующий вид:§10.Зависимость и независимость функций.2х22х,12(х 2 +х3 +2х31х4)12(х, +х3 +х4)1072 х412(х, +х2 +х4)2(х, +х2 +х3)Легко убедиться в том, что все определители третьего порядка тождественно равны нулю.
При этом в любой точкепространства (х ,,х 2,х3,х4), у которой не все четыре координаты х,,х2,х3,х4 совпадают, хотя бы один из определителей второго порядка:2х,2х22х,2х31112х43з12х,11- отличен от нуля. Значит, в окрестности любой из указанных точеки,и и2 независимы, азависит отВ частности, мы ещё раз подтвердили зависимостьОфункции <р3(х,у) = х + у от функций (рфх,у) - х + у,(р2(х, у) = ху в Примере 1.ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ К §10.1) В какой области пространства R3 переменных х,у,z являются независимыми функции е**, eyz, exz ?2) Даны функции:их= х +Что можно сказать о зависимости или независимостиэтого набора? Укажите все возможные подмножестванезависимых функций из данного набора.3) Верно ли, что (гладкая) зависимость набора дифференцируемых функций вида (1) при т=п в некоторой окрестности точки х0 = (х01,...,х0п) эквивалентна линейной зависимости их дифференциалов в данной точке108§ 10.Зависимость и независимость функций.х0 ? Если да - докажите.
Если нет - приведите соответствующие примеры.§ 11.УСЛОВНЫЙ ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.Данный параграф посвящён понятию условного локального экстремума функции многих переменных, болееобщему, чем понятие локального экстремума, изложенное впредыдущем параграфе.Итак, теперь наша цель - рассмотреть более общеепонятие условного локального экстремума и способы егоотыскания. В точке локального экстремума - например, локального максимума - функция принимает значение, которое больше (а в случае локального минимума - меньше)значений этой функции во всех точках некоторой окрестности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
