И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть функция / (х) т раз (т > 2)■>1н/>ференцируема в точке х0. Тогда её частные производные т-го порядка не зависят от порядка последоващ, и,ного выполнения операций дифференцирования.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что проSmfучи тодная ----------------------(х0) не зависит от перестаlmlk+1дlkх,...дХ: МдХ:.. Й Хнонки двух соседних операций дифференцирования, то естьтказать равенство:54 §5.Производная по направлению. Градиент функции.Частные производные высших порядков.(14)дт/дх,1т ...дх,**+1 дх,lkо 0)МdmfО 0)дх,lm ...дх,lk дх,lk+1 ...дх,МС этой целью рассмотрим функциюF(x) =dk~ 'f(х), 1 <дхlk- 1 ...дх.1\к <т И.
з условия теоремы следует,что:1) при\< к <т —\функция F(x) дважды дифферцируема в некоторой окрестности точки х0;2) прик=т- 1 функция F(x) дважды диффв точке х0.Но тогда, по теореме 1, её смешанные частные пронзавd2Fпри 1 <к < т—1 тождествеводныедх,lk дх,lk+1 ’ дх,lk+1 дх,1ксовпадают в некоторой окрестности точких0, а прик = т - 1 они совпадают в точке х0.
Это означает, что:дк+' fдк+'f1) -----------------= ---------- ------- при \ < к < т - \ в некодх,'*+1дх,lk...дх,М дх,‘кдх,'4+1...дх,Мторой окрестности точки х0, откуда при дальнейшемдифференцированиипоостальнымпеременнымх, ,...,х; получается равенство (14);dk+' fdM f2) равенство: --------- -------= ---------- ------- в точке х0 придх,дхlk, ...дх,дх,дх, ...дх,lk+1lklk+11\к = т - \ совпадает с искомым равенством (14).Теорема доказана.Из теоремы 3 вытекает следующее обстоятельство.§5. Производная по направлению. Градиент функции. 55Частные производные высших порядков.УТВЕРЖДЕНИЕ 2.
Если функция / (х)раз(т > 2) дифференцируема в точке х0, то её частныепроизводные т - го порядка можно записывать вdmfщей форме:-------------------, где 0 <т, а, + + а„=т.(дхп(У".Эх, Г'*1ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ К §5 .I).’)')В каком направлении данная функция быстрее всегоубывает?Как вычислить нормаль к графику дифференцируемойфункцииz —f( x ,y ) .Если функция дифференцируема в данной точке 10раз, то на каком множестве совпадают её смешанные частные производные а) 7-го порядка; б) 9-гопорядка; в) 10-го порядка ?§6.ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРАКак указано в заголовке, в этом параграфе будет изложено понятие кратных дифференциалов функции п переменных и выведена важная для приложений формула Тейлора, представляющая приращение функции (при малойнорме вектора приращений её аргументов) в виде суммынекоторого многочлена и бесконечно малой функции (принорме вектора приращений аргументов, стремящейся кнулю).6.1 ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШ ИХ ПОРЯДКОВ.Ранее, в параграфе 4, мы рассматривали инвариантную форму записи (первого) дифференциала функции/( х ) = /(х,,...,х„) (формула (13)).
При этом сам оператордифференцирования имеет, очевидно, вид:ах,охпПредположим, что после применения к функции / (х)оператора дифференцированияполучается снова дифференцируемая функция d f (х) (в данной точке или на данноемножестве). Для этого достаточно предположить, что функция /( х ) дважды дифференцируема (в точке или на мнежестве), а переменные х,,...,хя либо независимы, либо тожпредставляют собой дважды дифференцируемые функци(в соответствующей точке или на соответствующем мнежестве). Тогда к функции d f (х) можно снова применитоператор дифференцирования, который (в аналогичноинвариантной форме записи) можно обозначить для удо(ства другой буквой, например, так:ЯЯ8 = (V, 8х) = — 8 х х + ...
+ —Эх,дхп§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.57Композиция этих двух операторов имеет вид:(I)S{df) = Ti dx,. dx,4=1 ^ 4 *"4i + - + ^dx.~ dxn)' fak ■ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Вторым дифференциалом функции /( х ) в точке х0 называется величина■5{df)(x0) - значение композиции (1), взятое при равенI Iне: S x = { S x ], . . .
S x n} = {dxl ,...,dxn} = d x , где все частныепроизводные вычислены в точке х0, то есть выражение:d 2f = y ^ -^ —(~/-dx[ + + -^f—dX")- dxk.dx.4=1 dx,.^ 4 dx.Но индукции, если определён и дифференцируем дифференциал йГ " '/( х), то п-ым дифференциалом (дифференциалом п -го порядка) функции / (х) в точке х0называетсянедичина d nf ( x 0) = S (d n 'f) ( x 0) - значение композиции<S(dn- ' f ) , взятое при равенстве:S х = { S x \ , .
. . S х п) = {dxt ,...,dxn} = dx ,Iдо все частные производные вычислены в точке х0.ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть переменные х,,...,хлНезависимы или являются линейными функциями. (линейной функцией п независимых переменных понимаюткфункцию вида хДtl,...,tk) = ^ a iJtJ.,где a{j e R ). ТоУ=1нч дифференциалы, кроме первого, равны нулю, посколькураины нулю все частные производные второго и болеемысоких порядков. В этих случаях форма записи для дифференциалов высших порядков существенно упрощается.Волее конкретно, отметим что:§6.
Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.58п п1)(х0)dx:dxj - квадратичная форма от/=1 у=Iпеременныхdxv ...,dxn .Эта квадратичная фметрична, если участвующие в ней частные производные не зависят от порядка последовательного дифференцирования.В указанных случаях для дифференциалов высшихпорядков верно равенство:(2)3)d mf = (-^-d xl +... + ^ - d x n)mf = (y ,d x )mf , 1.ах,дхпДля вычисления дифференциалов высших порядков вуказанных случаях удобно пользоваться следующейформулой полинома Ньютона (которую мы здесь недоказываем):(а,+... + ап)т=т\( 3)- IГ\ +...+уя0 < /, <т(фУ' •■•••(ап)у",(^1 )•*••• *{у„)!6.2.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРАДля функций многих переменных, аналогично случаюодной переменной, имеет место формула Тейлора.
В этомразделе мы будем рассматривать функции п независимыхпеременных.ТЕОРЕМ А 1. (Формула Тейлора с остаточным членомв форме Лагранжа). Пусть функция / ( х ) = /(х ,,...,х п)(т + \) раз дифференцируема в некоторой окрестностиU = U(x0) точки х0 = (х01,...,х0я). Тогда для всякогох, хe U (x 0), приращение функции = / ( х ) - / ( х 0) представимо в виде:1§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.59d 2f ( x 0)A f = f ( x ) - f ( x 0) = d f(x0) + о, +.
...+, d mf ( x 0) +R2!mlеде остаточный член имеет следующий вид (называемыйостаточным членом в форме Лагранжа):(4)(5),в(т +1)!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сложную функцию(t)= f ( x 0+ tAx) = / (х01 + tAxv ..., х0п + fAx„). Эта фунFкция одной переменной, в силу условий теоремы, удовIстворяет всем требованиям для представления её поформуле Тейлора-Маклорена, рассмотренной в первомсеместре, при /0 = 0,t= 1,taписать:( 6)F 0 ) - F( 0 ) . F'(0) +ЕЖ + ... ++ОТ2!т\( т + 1)!Заметим, что поскольку внутренние функции\к(0 = xok + tAxk являются линейными, то производныесложной функции F(t) в точке t0 = 0 легко вычисляются иимеют вид:F '(°) = Y ,^ - i .x 0)-Axi = d f (х0),i= \ V X iЧ)F \0 ) = f i£ e f f - ( x >)Ax,Ax/ = d 1f ( x 0),7-1 /=1 OXfiXjF <m)(0) = d mf ( x 0),= d ~ " f(x , + вАх).(Предлагаем проверить равенства (7) самостоятельно!)Подставляя эти равенства в (6), получаем и искомую§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.60формулу (4), и формулу для остаточного члена (5), что итребовалось.
Теорема доказана.СЛЕДСТВИЕ. (Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме). Пусть выполнены все условиятеоремы1,и пусть, сверх того, все частные производные{т+1)- го порядка функции / ( х ) = /(х ,,...,х л) непрерывныв некоторой шаровой окрестности точки х0 = x0i,...,x0n.Тогда остаточный член Rm в формуле (4) может бытьпредставлен в виде:(8)Rm =-L j(l - t y d m+'f( x 0 +tAx)dt =wy\ "m\= -1T f(1- < r [ ( V , A x r 7 l ( x . + IA x)dl.m !oДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Покажем сначала, что в формуле (6) остаточный член можно представить в интегральной форме:R = р(т+')^ - = — [F (m+,) (0(1 - t)md t .т(т+ 1)!(9)Сосколькуэтойцелью применим к очевидному равенству:1F (l) = F(0) + jF '(t)dt - формулу интегрирования по часоdt=d (-( 1- /)) . Получим: A= 'fF'(t)dt = F'(t)[-(1 - 0]! + J n o o - t)dt = F'(0) +iJ§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.61I'1\F " (t)(\-t)d t. К последнему интегралу |F"(/)(1 - t)dt*Iкт а применим формулу интегрирования по частям, имея в1ииду равенство: (1-t)d t = d(— (1 -/) ).
Тогда пол2AF = F'(0) +=\f]+i"(t)[-UF2F'(0)1о 2х1\ \ F mm=*0+"( ) + - J F W(0(1-F2'иИ так далее, применяя снова и снова формулу интеI рирования по частям к получающемуся интегралу, в итогепридём к формуле:1F (m)(0)10)AF = F'(0) + - F №(0) + ... + - — ^ +2ml+ -Lf / 7 (m+1)(t)(\-t)m loi дс остаточный член выражается как раз формулой (9).Теперь, воспользовавшись равенствами (7), получаемmi формулы (10) искомую формулу (4) с остаточным членим и виде (8). Следствие доказано.ЗАМЕЧАНИЕ. В условиях только что доказанногоI щдпвия из формулы (8) легко получается формула остаюммого члена в форме Лагранжа.
В самом деле, достаточноприменить к правой части формулы (8) первую теорему о| ре днем значении для определённого интеграла (учитывая,пи функция (1 - t)m не меняет знака на интервале (0;1)):lF (m+x\ 6 ) \ { \ - t ) mdt =j F (m+1)( 0 ( i - 0 m<*ml оml0262§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.( т + 1)!о(« 7+ 1)!Теперь рассмотрим разложение функции по формулеТейлора при более слабых условиях, и ещё одну формуостаточного члена - форму Пеано.ТЕОРЕМА 2. (Формула Тейлора с остаточным членомв форме Пеано). Пусть т-целое чисция /(х ) = /(х,,...,хи) «7-1 раз дифференцируема в некоторойшаровой окрестностиU = U (х0)точких0 = (х01,...,х0я), и т раз дифференцируема в самой точкех0 = (х01,...,х0л) .
Тогда для любой точки x , x e U = /У(х0),верна формула:2!«?!где остаточный член имеет вид (называемый остаточнымчленом в форме Пеано):(П )ЗАМЕЧАНИЕ. Прежде, чем доказывать теорему 2,заметим, что формула Тейлора в более подробной записиимеет следующий вид: / (х) =В правой части этого равенства стоит сумма многочленастепенитотппеременных Дх,,,..,Дхл и остаточнRm. Выразим остаточный член Rm из равенства (12) и.рассмотрим (обозначим) его как функцию: Rm= g m(x), задаваемую следующим равенством:§6. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора.(13)g m( x ) = f ( x ) ~ f i x o63)-пкm1i\д/ ч0 1- * o i hfix,r - + ••• + (*« “ *<>«) дх.
f ( x) U 0 •Дня доказательства теоремы 2 теперь достаточно установить, что при выполнении условий этой теоремы имеетместо равенство: gm(x) =б (р т).Сначала сформулируем и докажем две вспомогаи'пьпые леммы.ЛЕММА 1. Если функция /(х ) = /(х,,...,хп) т раз• >ифференцируемав точке х0 = х01,...,х0„, то как сама фунmiioigm(x)>определённая равенством (13), так и все еечастные производные по любым переменным х,,...,хп допорядка т включительно обращаются в нуль в точке х0.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 1. Прифункциящ ( г) принимает в и д :H\(x) = f(x)-f(x0) - ( x lдхх- х 01)-^ -(х 0) дхпЯри равенства: g,(x0) = 0, -^ -(х 0) = 0 при всех i = 1, 2, ..., п dxiпримеряются элементарно.Для проведения индукции предположим, что лемма||фш»сдлива для некоторого номера1, и докажем, что вНКом случает она справедлива и для номера т+1.11усть функцияf(x)т+1 раз дифференцируемН)| ,...,х0я,и рассмотрим функцию:8mJx) =икт+1 1(И)- У — /(х\ - x m)*—f i + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
