И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Д*, + . . . +Ж .М .ьо!хя,.функция f ( x ) дифференцируема вто она непрерывна в этой точке.Т Е О Р Е М А 2. f e wточкеДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя представление i5) янеравенства: (Ахг^| < р , к - 1 - получаем, что JА ==1ох,~ О 0) ■дхпАх,+... +/ . (х0) •я**d.v,Т ~ ( х<) •Дх„>АхП|+1w at*Отсюда ясно, что Н т Л / = 0. Это и означает непрсритич и./9—»0Функции / ( х) в данной точке. Теорема доказана.
. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФ'Н П НЦИ^УЕМОСТИ ФУНКЦИИ ДВУ?* ПЕРЕМЕННЫЕ. К vО тельная плоскость к повермн »< i и4 2о (р )|< ( £36 §4.Дифференцирование функций многих переменных.Из материала первого семестра известно, что дифференцируемость функции одной переменной равносильнасуществованию (в соответствующей точке) касательной кграфику этой функции. Оказывается, понятие дифференцируемости функции двух переменных имеет, как мы увидим ниже, аналогичный геометрический смысл.Пусть задана некоторая поверхность S := 0.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Плоскость Р называется касательной плоскостью к поверхности S :) = 0 в точкеМ 0 = M0(x0;y 0;z0) , если угол между плоскостью Р и всякой секущей L , проходящей через точку М 0 и любуюдругую точку М'= M '(x;y;z) на поверхностистремитсяк нулю при М '-> М 0 (М ’ движется по поверхности S ) .Заметим, что, согласно этому определению, для любойкривой I, I cz S, проходящей через точку М0, касательная кней (если она существует) в точке М 0 обязательно лежит вплоскости Р .На Рис.1 изображена касательная плоскость (плоскостьР) к поверхности S в точке М 0 е S .§4.Дифференцирование функций многих переменных.
37РИС.1ЛЕММА 1. Пусть функция z = f ( x , y ) дифференцируема в точке (х0;у0) , и z0 = f ( x 0;y0). Тогда у поверхностиГ:f ( x , y ) - z = 0 (представляющей собой график даннойфункции) в точке М 0 = М0(х0;y0;z0) имеется касательнаяплоскость, задаваемая следующим уравнением:(5)P = PL0'■/ А х о ' > У о ) ( х - x 0 ) + f y ( x o ; y o ) ( y - y o ) -ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что плоскость Р , задаваемая уравнением (5), удовлетворяет определению касательной плоскости.
Как известно из курса аналитическойгеометрии, вектор пр = {/X'(x0;y0) ; / >'(x0;y0) ; - l ) являетсянормальным к плоскости Р в точке М 0 = M 0(x0;y0;z0) е Р .11усть М = M (x;y;z) - некоторая другая точка графика Г .Гогда |\(М 0М ,пР)\р / 1_cos(M0M |=М 0М пГАхо;у оX* -)+ Л'М 0М(хоI\пДалее, воспользуемся тем, что в силу дифференцируемостифункцииz = f( x ,y ) в точке (х0;у0) , выражение под знамодуля в числителе последней дроби есть б (р ). А также«метим, что\\М°М \\= V(x-A:o)2)2 + (z - z o)2ш \J (x -x 0)2+ ( у - у 0)2 • Поэтому получаем:cos(М 0М ,ЛяР) |=о (р ) |М 0МПемма доказана.п| б(р) IР-\\”м-=>м« * 0 .38 §4.Дифференцирование функции многих переменных.Выясним теперь, каким условиям должна удовлетворятьфункция для того, чтобы она была дифференцируемой.Оказывается, что наличие частных производных у функциив данной точке не является достаточным условием для еёдифференцируемости.
Рассмотрим пример.П Р И М Е Р 2. Рассмотрим следующую функцию:f i x , у)- Д т . г +/ > ох 2+ у 2О,х =у =ОЕё обе частные производные в точке (0;0) равны нули(проверьте!), однако она не дифференцируема в этой точкеXVпоскольку А / = / (х, у) - /(0 ;0 ) =, не имеет пределаX +упри р = л]х2 + у 2 —» 0 (Убедитесь в этом самостоятельно!)(В самом деле, это означает, что данная функция не является непрерывной в точке (0;0), а следовательно, в сил}Теоремы 2, она не дифференцируема в данной точке).Т Е О Р Е М А 3. (Достаточное условие дифференцируемости функции). Еслиф ункцияf,ет все частные производные в некоторой окрестностгточки х0 = (х01,х02,...,х0л), и все они непрерывны вточке х0, то f (х) дифференцируема в точке х0.Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Проведём рассуждения для случаяп= 2.
В общем случае доказательство проводитсявершенно аналогично. Итак, пусть задана функция f { x , y )удовлетворяющая условиям теоремы в точке (х0;у0) . Рассмотрим её приращение А/ = / (х0 + Ах;у 0 + Ау) - Д х 0; у0) =[Д х 0 + Ах;у 0+ Ау)f(х0Применяя теорему Лагранжа к разностям в квадратныскобках, получаем:§4.Дифференцирование функций многих переменных. 39А/ = /,'(*о +Лх;Уо + ^А у)Ау + ЛЧ*о + ^2Ах; / 0)Аг.Далее, в силу непрерывности частных производных в точке (х0; у 0), имеем следующие равенства:/ ; О 0 + Ах;у0 +/хх0( +вхАу) =вгАх; у о) =fЧx *0; у0) +где «,/? стремятся к нулю при р - у Ах2 + Ду2 -> 0 . ПоэгомуА/ = [/>' (х0;у0) +а ]Ау) + Ах =/ ' Оо; у о)Ау +xf хо( ;у0)Д*+«4 у + /?Ах.оАу + /?Дх | | аЛу | + 1ДАх |<| а | + | р |-> 0 при1осколькуРР/» 0 , то есть аАу + /?Дх = о ( у ) , то окончательно получаем:А/ = /у(х0;у0)Ау + Д (х 0;у0)Ах + о(р).>то означает дифференцируемость функции f( x ,y ) в точке( v„;y0) .
Теорема доказана.ЗАМЕЧАНИЕ. Мы рассмотрели необходимые и досм точные условия дифференцируемости функции. Сделаемещё одно простое замечание по поводу представленияшфференциала. Поскольку для независимых переменных,/( = 1верны равенства: Дх* =dxk, то дифференциалФ у н к ц ии /(х ) = /(х,,...,х„) от п независимых переменныхн точке х можно представлять в виде:К.)(х0;d f = ~ -{ x )-d x x+... +^ - { x ) - d x n.ох,дхп4.3.ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.I (усть F(t) = / (<p(t)) сложная функция, где / (х) =40 §4.Дифференцирование функций многих переменных.ТЕО РЕМ А4.Пустьфункции(Pj{t) = <рДх,...,0)>г' = 1,...,и, - дифференцируемы в точкефункция=/ ( х ) = /(х ,,...,х п)д и ф ф ер ен ц и р уем ахо =(xoi’—’xon)> г^ ефункцияF (t) = / (^ (0 )ивточкеxoi=<P)i(*o, / = 15—>W- Тдифференцируемавточке^0 = (^01»-**>^ол) •ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим приращение:АТ7 = F (t) ~ F (t0) = / М О ) - /О Ф о )) =(7)= /*, -Дх1+ ••• + Л .
' А** + 0(||Д фВ силу дифференцируемостифункцийх, = (pt (t) == ^ ,(/,,...,0), z = l,...,и, приращения Ах, имеют вид:А*,- = % (0 “ <Р>Оо ) =( 8)- A/i++о,(||Аф, / = 1Подставляя выражения (8) в (7), получаем:{ < P i)\дf = ( £~+<Z 4л : - ( дг,);,)- д ' , +'-+ 2 д -« д 1 М )+ * < н > /=11=1пДалее, поскольку в (7) о(|Дх||) = Vrr.Ax,. (см.
формулу (2)),1=1$то с учётом (8), имеем:о(||Ах||) = |> , . - Д х (. = ( £ а ,( 10)ы\Ж +•••/=1п- + ( Z a . ' М ч )д /* + S a - -° Л АФ = °(1АФ/=11=1Последнее равенство в (10) следует из того, что| А/А/ , у = 1и кроме того, «, —>0 при |Д? -> 0 .§4.Дифференцирование функций многих переменных. 41(Действительно, из условияД/|| —» О в силу дифференцируемости, а значит, и непрерывности, функцииследует, что ||Дх|| —= <p,(t)>0, а следовательно, и ог(.
—> 0.11гак, из (9) и (10), учитывая также, что Д/у =j =получаем:A /r= ( Z /,;■(*,);,)•<*.+••■,wноI- .+ < £ д • « ) • < * , + 5 < м > .i=iчто и означает дифференцируемость данной сложной функции F (t)=)) в точке t0 =. (Напомним здесьещё раз, что все частные производные вычислены в заданных точках t0,x0 соответственно). Теорема доказана.ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРЕМЕ 4.I) Из формулы (11) видно, что дифференциал функцииF(() имеет вид:( 12)д -а д ;,) л » ,+ - + < Х д •ц ,):.) д /,./=1/=1а её частные производные вычисляются по формулам:a,/=1д •(*,);,, у = i.... *•dF.’) В частности, если t скаляр, то — = ^ / ' •(х,)' .i=i4.4.ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ЗАПИСИ11ЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА.Из теоремы 4 вытекает также следующий важный факт.УТВЕРЖДЕНИЕ 1.
Первый дифференциал функциимногих переменных имеет инвариантную форму записи:42 §4.Дифференцирование функций многих переменных.(13)дХ\d f=дхп•dxx+... +независимо от того, является ли эта функция простой (тоесть х,,...,хп - независимые переменные) или сложной (тоестьxj(t) = <pi( t / = 1,---,п.)При этожений dxj различен. В первом случае,когда х: - независимые переменные, dxi = Ах; - фиксированные приращенияпеременных; во втором случаеdxj = dcp^t) — это дифференциалы функций х Д ) =/ = 1,...,п.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Перегруппировав слагаемые вкформуле (12), получим: dF = d f = / д' • [ £ (x,)J.) •Д/у] + .../=iк...+ £ • £С О ; ).Л ^ .] + о ( ||д ф , где выражения в квад-У=1ратных скобках представляют собой дифференциалы функций х Д ) = % {(,...,tk) , i = \,...,n .
Отсюда сразу следует равенство (13). Утверждение доказано.Инвариантная форма первого дифференциала позволяетустановить следующие правила его вычисления:2)d(c ■f ) =сd ( f ± g ) = d f ± dg;3)d ( f ■g ) = d ( f ) •g + f ■d(g)\1)4)■d.f,;g*o.gg(Проверьте эти равенства самостоятельно!)§4.Дифференцирование функций многих переменных. 43«ОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ К §4.1. Является ли функция f (х) дифференцируемой в даннойточке х0, если известно, что / (х) = о(||х||) при —>х02. Каков геометрический смысл дифференциала функцииодной переменной?У Каков геометрический смысл слагаемого о{р) в выражении для приращения дифференцируемой функции вслучае функции одной или двух переменных?§5.
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ .ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ. ЧАСТНЫ Е ПРОИЗВОДНЫЕВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.В этом параграфе мы рассмотрим некоторые обобщения понятия частных производных функции несколькихпеременных. К ним относятся, с одной стороны, понятиепроизводной функции по заданному направлению, а с другой стороны, понятие о частных производных высших порядков. Кроме того, будет рассмотрено понятие кратнойдифференцируемости функции.5.1.ГРАДИЕНТ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРЛЕН ИЮПусть х0 = (х01,...,х0я) - фиксированная точка, внутренняя для области определения функции f ( x ) = /(х ,,...,х „), ипусть задан векторе,ееЛ ",||е|| = 1. В эдинаты вектора е равны его направляющим косинусам:е= (cosa,,...,cosa„), где а ,- угол между осьюи вектороме,i= 1,...,«.
Рассмотрим функцию/ ( 0 == / ( х 0| + / c ° sх0„ + / c ° s a:„), где t e R - вещественныйпараметр.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции f ( x ) понаправлениюе= (cos a,,..., cos а я) в точке х0производная сложной функции / ( / ) в точкечисло( 1)0 , то есть^ - Ы = ПтД х “+ ,е )- / Ыде 0 '-оtt-*0tЕсли функция f ( x ) = f ( x l,...,xn) дифференцируема вточке х0 =(л:01,...,х0я) , то производная (1) легко вычис-§5.Производная по направлению. Градиент функции. 45Частные производные высших порядков.ляется по правилу дифференцирования сложной функции.11олучаем формулу:(2 )(* 0)= /*' (*о ) • cos « , + • • • + Д О о) •cos а„ ■Из формулы (2) видно, что производная по направлению есть скалярное произведение вектора е и векторачастных производных функции / (х ).ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. ВекторД х 0) = (Д (х0),..„...,Д (х0)) называется градиентом функции /( х ) в точкех.■о•Таким образом, из (2) получается равенство:д/ (x0) = (g ra d f(x Де).(3)деГрадиент часто представляют в виде: grad/ = V/Л(читается: «набла f>>), где V =- так называемый\ dxi ’ ’дх*;абстрактный вектор-оператор градиента.Отметим, кстати, что формулу (13) из §4 можнозаписать и в следующем виде: d f == (V/, Дх).Что характеризует градиент функции? Какими свойствами обладает? Выясним это подробнее.ЛЕММА 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
