И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Отдельно рассматривается случай функции двух переменных.Далее мы переходим к изучению понятия неявнойфункции. Обсуждается понятие неявной функции, достаные условия её существования и единственности, непрерывности и дифференцируемости, а также правила вычисления частных производных неявной функции первого ивторого порядков. Аналогичным образом рассматриваетсявопрос о системе неявных функций, определяемых системой функциональных уравнений. Мы вводим понятие системы неявных функций, определяемой системой функциональных уравнений, рассматриваем достаточные условияеё существования, единственности и дифференцируемости,правила вычисления частных производных системы неявных функций.Затем мы излагаем понятие (гладкой) зависимости инезависимости функций, рассматриваем достаточные условия независимости системы функций в терминах опреде-6Предисловиелителей и миноров соответствующих функциональныхматриц.Последний раздел посвящён понятию условноголокального экстремума функции многих переменных, гдемы рассматриваем понятие условного локального экстремума, приводим необходимые и достаточные условия егосуществования и правила отыскания, в том числе методомнеопределённых множителей Лагранжа.В конце каждого параграфа мы формулируем несколько вопросов и упражнений для контроля усвоения материала параграфа.
Изложение снабжено примерами, облегчающими понимание рассматриваемых понятий и теорем.Мы включили в текст первой части 5 иллюстраций,чтобы облегчить таким образом восприятие наиболее важных вводимых понятий, таких, как локальный экстремум,неявная функция, условный локальный экстремум функциимногих переменных.Каждый параграф имеет свою нумерацию теорем,лемм, примеров, формул, утверждений. Ссылки на них приводятся в таком виде: «теорема 1 из параграфа 5» - и т.п.Во второй части пособия мы предлагаем набор задачк каждому параграфу первой части. При этом часть задачприводится с подробными решениями, а остальные мы даёмдля самостоятельной работы студентов. Подбирая задачи,мы старались не повторять полностью упражнения из известного задачника Б.П.Демидовича, по которому, в основном, проводятся семинарские занятия на факультете ВМКМГУ, а давать задачи также из других источников илиновые, придуманные нами.
Наряду с вычислительнымизадачами, мы приводим довольно много задач надоказательство, полагая их решение одной из наиболееэффективных форм усвоения теоретического материала.Все задачи снабжены ответами, а в некоторых случаяхуказаниями к решению.Предисловие7В конце пособия мы приводим список литературы, гдеперечисляем учебники и задачники, которые использовались нами при составлении данного пособия, а также книгидля дальнейшего знакомства с темой «Функции многих переменных».
Отметим, что первая (теоретическая) часть пособия изложена, в основном, в соответствии с книгой [1].Материалы для практических заданий во второй части взяты нами частично из [2] и [3]. Учебники [4] и [5] предлагаются для тех, кто хочет более подробно и широкоознакомиться с данной темой.Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов первого курса факультета ВМК МГУ, а также для первокурсников других университетов, изучающих математический анализ. Мы надеемся, что оно окажется полезнымкак студентам, так и преподавателям при изучении (илипреподавании) данной темы.И.В.САДОВНИЧАЯ, Т.Н.ФОМЕНКО.§ 1.ПРОСТРАНСТВОВ этом параграфе мы рассмотрим ряд понятий, которыеподготовят читателя к изучению теории функций многихпеременных.
К ним относятся понятие пространства,различные подмножества вRиихтельности вR”и условия их сходимости.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. п-мерным вещественным координатнымпространствомназываетсямножествоR" ={х=(х,,...,х„) |х(. e R , i = 1,...,«}, элементы которогоназываются точками (или n-мерными векторами), а числахк-координатами точки (вектора) еИз курса линейной алгебры известно, что множество R"с заданными в нём операциями сложения двух элементов иумножения элемента на вещественное число, определяемыми по правилам:Х + У =(*,+ у {,...,х п+У„Ах = (где x = (xl,...,xn) , y = (yl, . .
. , y „ ) e R n,-является п-мерным линейным пространством, и наборэлементов:Б={е, = (1,0,...,0),е2 = (0,l,0,...,0),...,en = (0,...,0,1)}является в нём (стандартным) базисом.Линейное пространство R" (с указанными операциямисложения и умножения на скаляры) является п-мернымевклидовым пространством относительно скалярного произведения:(х,у) =х,у, +...+хпу п. В немму элемента х: ||х|| = (х,х) = ^/(х,)2 + ...
+ (хи)2 , - а такжерасстояние(метрику) между элементами х ипо следующему правилу:р(х,у) = I*- у\\ =V(*i - У\+ ••■•+0„- л )2•9§1. ПространствоТаким образом, пространство ” может рассматриватьсякак линейное нормированное пространство размерности п,или как метрическое пространство.Отметим, что скалярное произведение (а следовательно,и норма, и метрика) в R” может вводиться и другимиспособами. Мы в данном пособии будем пользоватьсяуказанными выше способами их задания.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
(шар, сфера, параллелепипед). Открытым п-мерным шаром радиуса R с центром в точке*0 = (*01»• ••>хоп)называется множествоBR(х0= (х е R"\p(x,xQ)< R) . Замкнутым п-мерным шадиуса R с центром в точкеназывается множествоBR(xо) = {хе R ” |р( х, х„) < R } . п-мерной сферой радиуса Rсцентромвточкех0называетсяS R(x0) ={х € R" \р(х,хй)= R} . Множество{х = (х,,...,х„)б R"||х,множествоnrf(x0)=~ x ox\<d....... ,|* „ -*с/, > 0,..., dn 0>, называется открытым п-мерным параллелепипедом размера d = {dv ...,dn) с центром в точке х0.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. (Шаровой) е -окрестностью точких{) еR "называется открытый шар радиуса0 с центромв точке х0. Для обозначения -окрестности часто применяют специальное обозначение U£(x0) (или просто U(x0)).оМножествоU (едс0) = Uе(х0) \ {х0} часто называютой s -окрестностью точки х0 .Следующие понятия внутренней, внешней, граничнойточки, а также открытого и замкнутого множества вполностью аналогичны соответствующим понятиям в R2ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.
Пусть М с Г . Точка х е М называется внутренней точкой множества, если существуетчисло£>0такое, чтоU c{ x ) < z M .Точканазывается внешней точкой множествачислое >0такое, чтоx e R n\Mесли сущ ествуетU c( x ) c z R n \ M .Точках е R”называется граничной точкой множества, если она неявляется ни внутренней, ни внешней его точкой. С овокупность всех граничных точек множества называется егограницей. Точка х 0 называется предельной точкой множ ества М a R " , если для лю бого числа> 0 пересечениеоx e U e (х0) гл М - непусто.О П Р Е Д Е Л Е Н И Е 5. М ножество М a R" называетсяоткрытым, если все его точки - внутренние.
М ножествоМ с R ” называется замкнут ым, если множество R n \ Mоткрыто.Везде ниже (открытой) окрестностью т очки мы будемназывать всякое (открытое) множество, содержащ ее некоторую s -окрестность этой точки.Приведем несколько эквивалентных утверждений, каждое из которых может служить определением замкнутогомножества. В дальнейш ем мы сможем пользоваться тем изопределений, которое нам будет удобно в данный момент.У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е 1. Следующие ут верж дения эквивалентны:1)М нож ест во А замкнут о (по определению 5);2)м нож ест во А содерж ит все свои предельныеточки;3)м нож ест во А содерж ит все свои граничные точки.Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О .
1 )= > 2 ). Пусть x 0 e R " \ A . Тогда сущ ествует число£0> 0 такое, ч(так как дополнение к замкнутому множеству открыто).Значит,Uх(0) Г\ А - 0 . Это означает, что точка х0является предельной точкой множества А(поскольку в§1. Пространство R n11тобой окрестности предельной точки должен содержатьсяхотя бы один элемент множества, отличный от этой точки).Значит, А содержит все свои предельные точки.2) => 3). Пусть х0 - граничная точка множества А .Тогда для любогос >0 пересечение £ -окрестностих0 с множеством А не пусто.
Пусть х0 &А . Тогдаополучаем, что для любого £ > 0 : £/fi(x0) п0 . Этоозначает, что х0 - предельная точка. Но по условию,множество А содержит все свои предельные точки. Мыпришли к противоречию. Значит, А содержит все своиграничные точки.3) 1). Пусть точка х0 е R" \ А . Тогда х0 - внешняяточка множества А (так как по условию, А содержит всесвои внутренние и граничные точки). Значит, существуетчислое0>0 такое, что Uч {хй) a Rn \ А (по определениювнешней точки). Это означает, что множество R" \ Аоткрыто. Значит, множество А замкнуто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
