И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтому дляпоиска точек возможного условного экстремума следуетрешить систему (13) и исключить из полученных решенийпараметры Л0 =(Л0],...,Я0т) . Тогда оставшиеся координатыUo»To) = (^oiv-,^o„>>;oiv-,Tom) и есть координаты возможного условного экстремума.ВЫВОД. Система (13) представляет собой совокупность необходимых условий (по методу Лагранжа) суще| твования условного локального экстремума.(Можно отметить, что система (13) получается как раlu iiCTBO нулю всех частных производных функции Лагранжа, если формально рассматривать эту функцию как функцию п + 2т независимых переменных. В этом и состоитидея симметризации переменных в методе Лагранжа).118§11.
Условный локальный экстремумДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА ПО МЕТОДУ ЛАГРАНЖА.Рассмотрим теперь вопрос о достаточных условияхдля существования условного локального экстремума.Пусть в точке М 0(х01,...,х0п,у 0[,...,у0т) выполнены необходимые условия существования условного экстремума (тоесть её координаты удовлетворяют системе (13)). Пусть также функции и = / ( * , , . .
у,,...,у т) и FJ(xt,...,xn, y ],...,ym),(j=дважды дифференцируемы в некоторой окрестности точки М 0, и их частные производные второго порядка непрерывны в самой точке М 0.Заметим, что в силу условий связи (1), приращенияА/ = / ( х , у ) - / ( х 0, у 0) и AL = L (x,y,A 0) - L ( x 0,y 0,A0) Функций / иLсовпадают, гдеЛ0есПоэтому наличие условного локального экстремума приусловиях связи (1) в точке М 0 у функции f { x , y ) равносильно наличию (при тех же условиях связи) локальногоэкстремума в точке М 0 у функцииФункцияЬ(х,у,Л0) является сложной, так как условия связи (1)задают неявную зависимость переменных у = (у ,,...,у т ) отпеременных х=(х,,...,х„). Однако, в силу системы (10), всееё первые частные производные по переменным y it...,y,„равны нулю при Л = Л0, поэтому второй дифференциалфункции Ь{х,у,Л{)) в точке М 0 имеет такой же вид квадратичной формы, как второй дифференциал функции независимых переменных.
А именно:f ддd 2L =ax,+...H-----дх.V& iддЛ|ахп+ —+... +ду тУТеперь ещё раз напомним, что мы ищем условныйэкстремум, поэтому на множестве, где осуществляется этот(14)§11. Условный локальный экстремум .119поиск, тождественно выполняются уравнения (1). Поэтомумы можем продифференцировать их и получить систему,аналогичную системе (6) в начале параграфа. Следуетоднако отметить, что здесь, в методе Лагранжа, мы не пользуемся представлением у х,...,ут как неявных функций отх х,...,хп, и вместо тождества (5) пользуемся непосредственно тождеством (1). Итак, получаем систему:8FXdFx8FX8FX~ —dxx + ...
+ - — dxn + — dyx + ... + —— dym = 0dxxdx„dyx(15)8F8F8F.dx,i +...Ч-----—dx. н---- —dyx + ...H-----—dy m 08xdx.8y\В силу ранее наложенного условия, что в точкеякобианD(FF )— р'" ’—^ о ; из системы (15) дифференциалыD(vx, . . . , yJоднозначно, по формулам Крамера, выражаются через дифференциалы независимых переменных dxx,...,dxn в виде ихлинейных комбинаций. Подставляя эти выражения в (14),получим квадратичную форму:(16)d 2L = K (dxx,...,dxn) ,зависящую уже только от дифференциаловОтсюда следует, что если квадратичная форма (16) являетсяположительно (отрицательно) определённой, то в рассматриваемой точке М 0 имеется условный локальный минимум(максимум).
Если же форма dлзнакопеременна, то условного экстремума в точке М 0 нет.11одытожим теперь наши рассуждения.ВЫВОД (Достаточные условия существования условного локального экстремума). Пусть координаты точкиМХ)(х0 \,...,х 0 п,уох,...,у0т) удовлетворяют системе (13), и120§11. Условный локальный экстремум .кроме того, функция и =\,.и все фуf(XFj(xl,...,xn,y i,...,ym), ( j = \,...,т), дважды дифференцируемы в некоторой окрестности точкии их частныепроизводные второго порядка непрерывны в самой точкеМ0. Тогда достаточным условием для существования условного экстремума функции и=в этойточке при условиях связи (1) является знакоопределённостьквадратичной формы (16) второго дифференциала d 2f вточке М 0. Если же квадратичная форма (16) знакопеременна, то условного локального экстремума в точке М 0нет.Добавим, что в случае квази-знакоопределённостилквадратичной формы d L = K(dxi,...,dxn) ответ неясен.ПРИМ ЕР 2. Рассмотрим функцию трёх переменных2,х3) = х,2 + х2+ х].
Требуется найти её условныйлокальный экстремум при наличии условия связи:F (xt, х2, х3) = х, + х2 + х3+1 = 0. Используем метод Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид:О О О*Ц х ,, х2, х3,Л)-х, + х2 + х3 + /1(х, + х2 + х3 +1). Соот2Х| + Л —02х, 4- Л = 0ющая система (13) следующая:2ху + А = 0х, + х2 + х3 +1 =: 02Отсюда находим: х(01 —^02 —^03зом, М 0(Aq ——.3. Таким обра- точка возможного экстремума npiДифференцированиеусловиясвязидаёт§11.
Условный локальный экстремум121dF = dx]+dx2 +dx2-0 . Второй дифференциал ‘фЛагранжа,имеетследующийвид:d 21*L3 (M0)=2[(dx§)2+ (dx2)2+ (t&3)2]. Полученнтичная форма, очевидно, положительно определена, следо1 1имеется условный локальвательно, в точке М 0(3 i _3 >АМАный минимум заданной функции /(х ,,х 2,х3) = х, + х2 + х3.ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ К §11.1) Подробно напишите второй дифференциал сложнойфункции L(x,y,A0) в точке М 0 и объясните, почему онимеет вид (16).2) Найдите координаты всех точек возможных условныхлокальных экстремумов функции и = х - 2 у + 2z приОООусловии: х + у + z = 1, непользуясь мжа.3) Пользуясь методом Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции+ 2z при уелоО О Овии: х + у + z = 1..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
