И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Неявная функция.84ее, так кака ,/3 ,у —>0 при |{Дм,Дх1,Дх2}|| —» 0 , топределы коэффициентов при Дх,,Дх2 равны соответственноСледовательно, сами коэффициенты можнопредставить в виде сумм этих пределов и некоторыхбесконечно малых ^,,^2 (при ||{Дг/, Ах,,Лх2}|| —> 0). Получаем:(4)А<р = Аи =( - ^ - + £|)Дх, + ( - - J - + &)Дх2 =г..г..=F'F'(--гг)Ах, + ( - - А-)Дх2 + £ Ах, + 4 2 А х 2 .Fи ' ' ‘FиВеличина £,Дх, + £2Дх2 является бесконечно малой при||{Дх|,Дх2}|| = ^/(Дх,)2 +(Дх2)2 —> 0. (В самом деле, из условия: ||{Дх1,А с2} —>0 следует, в силу непрерывности функции <р, что и А(р = Аи-> 0, а значит, ||{Дц,Дх|,Дх2}||-»0).Учитывая это, заключаем, что:1) равенство (4) показывает, что(р(х], х2)дифференцируема в точке (х01,х02) ;2) из равенства (4) видно, что частные производныефункции<д(х,,х2)вычисляютсяпоформулам:F'i = 1,2.F' ’Теорема полностью доказана.В качестве следствия из теоремы 1 о существованиинеявной функции можно сформулировать следующее утверждение о существовании и дифференцируемости обратнойфункции.§8.
Неявная функция.85СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть функция = / (х)ренцируема в некоторой окрестности точки х0, и еёпроизводная /'( х ) отлична от нуля в точке х0 и непрерывна в этой точке. Тогда для любого е >0 существуеттакая 8 - окрестность точки у 0 —/ ( х 0)), в которойединственным образом определена дифференцируемаяобратная функция х = (р{у) = / " ' (.у), удовлетворяющаяусловиям:1) (р{у0) = / “'2)\<р(у)-х0 \<£, 3)= х0,=1/'О)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим функцию х = ср(у)как неявную функцию, определяемую функциональнымуравнением:F (x,y) = f ( x ) ~ у =0 в окрестностиМ0(х0,у 0).
Из условий следствия ясно, что функция F (x,y)дифференцируема в некоторой окрестности точкиМ0(х0,у0),иF (M 0) = F(x0,y 0)= 0. Кроме того, еёпроизводная F'X(M 0)=/ ' ( х0) ф,0 и F'x{x,yточке М 0(х0,у 0). Таким образом, выполнены все условиятеоремы 1. Из теоремы 1 следует, что для любого s > 0существует такая8окрестность Vs(y0) точки у ()единственным образом определена неявная функциях =<р(у), обращающая равенство:0 втождество: / (<р(у))= у, и удовлетворяющ\<р(у)-х<\<£ всюду в окрестности Vs(y0) .
Это означает,что х = (р{у) = f ~ \ y ) - обратная функция к /( х ) в рассматриваемой окрестности. Кроме того, из теоремы 1 следует,что эта функция дифференцируема в той же окрестности, исё производная (в данном случае не частная, а полная, таккак это функция одной переменной) вычисляется по фор-§8. Неявная функция.86муле:d < p _ d ( f- ') _dydyF ’y _FI\(-1\d x j(Эта формулаdxдля производной обратной функции была получена впервом семестре другим способом). Следствие 1 доказано.8.2.ВЫ ЧИ СЛЕН И Е ЧА СТН Ы Х ПРОИЗВОДНВТО РО ГО ПОРЯДКА ОТ НЕЯВНЫ Х Ф УНКЦИЙ.Пусть задано функциональное уравнение (1), и дляфункции F (u,x) = F ( m, x,,..., x„) выполнены все условия теоремы 1 в окрестности Г(М 0)точки M 0(M0,x|v..,xn) .
Тогда,по теореме1, в некоторой окрестностиW(х0) точких0 = (х,,...,хп) существует единственная дифференцируемаянеявная функцияи=ные которой вычисляются по формулам (2). При этомфункцияF (u ,x )и её частные производные, приновке в них вместо переменной и неявной функциии = и(х,,...,хя) , становятся сложными функциями от переменных (х,,...,х„). Для вычисления частных производныхсложных функций такого типа по переменным (х,,...,хп) полезно ввести следующее понятие полной частной производной сложной функции.О П РЕДЕЛЕН И Е 2.
Полной частной производной попеременной хк сложной функции Ф(м(х,,...,х Д х , , . . . ^ )Г>'чназывается выражение ----- Ф (м,х,,...,х„),определяемое изDxkравенства:(5)D _,. ЭФ ди ЭФФ(м,х,,...,хл) = ---------- +ди дхк дхкDxТеперь мы можем сформулировать следующий факт.§8. Неявная функция.87УТВЕРЖДЕНИЕ 1.
Если для некоторой 'функцииF(u,x) = F(u,X\,...,xn) выполнены все условия теоремы 1 вокрестности V(М0) точкии сверM(функцияF(u,x) =F (u,xv ...,xn)дважды диффереокрестностиV(M 0),то неявная функция,,...,х„),существующая согласно теоремеимеет в некоторойокрестности точки х0 вторые частные производные,вычисляемые по формулам:а2*-р:,„юг-к,кк*к,.к,кSxpXj(F„yДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведёмвычисления:д2ид ' д и Л_ D ( F' ^' 1Эх.
1& JDxt 'v F'«7jсоответствующиеК ,£ Л К )(К )2Ю 2-: f X,?..u_' -f ;iXf ; + f ;MfX;U+ f;f;t\ 2т аДалее, подставляя в полученное выражение формулу:F'иу-, окончательно получаем:Fя2,,С/ wdxfixj_F'F" F' -Fr "x j xi \("F^2- F" x' j UF"F'+ F" F' F'r u)U ^ X i ' ”u x , X j UГ и Г x j u r Xji\3т ачто и требовалось. Утверждение 1 доказано.Аналогично, при соответствующих условиях нафункцию F (u ,x ), вычисляются частные производныеIретьего и высших порядков неявной функции и = (р(х).§8.
Неявная функция.88ПРИМ ЕР 2. Найти частную производнуюд гиотдх2дххнеявной функции и = м(х,,х2) , задаваемой функциональнымуравнением: w2 + х,3 + х2 - 1 = 0 . Используя формулы длячастных производных первого порядка и выкладки, привоЗх:Зх;ииX, =дящие к формуле (6), получим: и2и2и( ЗхМ (до (« ;>ЗхЛследовательно, и=ди2и ^ V 2 и jD x29х,2 х 23x1 ( Зх 2 \2иV 2и J4иВО П РО СЫ И УПРАЖ НЕНИЯ К §8.v2)3)Можно ли в приведённом доказательстве теоремы 1опустить доказательство непрерывности неявнойфункции, а оставить только доказательство еёдифференцируемости (ведь из дифференцируемости,как известно, следует непрерывность)?Как вычислить производную 3-го порядка итдлянеявной функции и из примера 2? Напишите соответствующую формулу.Пользуясь формулами (2) и (6), вычислите производные у'х,у"х неявной функции у = у(х), задаваемойX2 у 2уравнением: а) эллипса Е : — += 1;аЪ~б) гиперболы§9.НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕСИСТЕМОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙВ §8 мы рассматривали вопрос о существовании идифференцируемости неявной функции, определяемой одним функциональным уравнением.
В этом параграфе мырассмотрим аналогичный вопрос для совокупности т(т> 1) неявных функций, определяемых системой т ф у н кциональных уравнений.Итак, пусть задана система функциональных уравнений:F](ul,u2,...,umx l,x 2,...,xn= 0,F2(и, , и2,...,их, ,х 2,...,х„) = 0,О)Fm(ul,u2,...,umxl,x 2,...,xn) = 0.и требуется найти её решение в виде набора функцийи{ = ^iO ,,x2,...,x„),(2)и2 =<р2 (х 1,х 2ит=<РЛХ1’Хчоращающих эту систему в систему тождеств в некоторойыданной области G c iJ " , где- пространство переменныхХх,Х2 ,...,Хп .9.1УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИСТЕМЫНЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ.Изучим вопрос о разрешимости системы функциональных уравнений (1) относительноРешение(2) системы (1) мы будем называть непрерывным и диффе-90§У.
Неявные функции , опреоеляемыс сиитеми ифункциональных уравнений.ренцируемым в некоторой области G изменения переменныхх],х 2,...,хп,если каждая из функций (2) непреи дифференцируема в области G.Рассмотрим т функций Fи F 2 , .... Fm, стоящих в левыхчастях системы (1), и составим из частных производныхэтих функций определитель:(3 )d F x 5F,aF,d u , dw 2 ’ d u mdF2sf2А = d u , du 2 " d u mdF m dFd u , Эн 2d F т,.тБудем называть определитель вида (3) определителемЯкоби (или кратко якобианом) функций F 1 , F 2 , ..., Fm попеременным и{,и 2,...,ит и кратко обозначать его символомD (FF ...
F)------1■’..2. Теперь мы можем сформулировать важноеD (ul,u 2,...,um)обобщение теоремы 1 из §8 .ТЕОРЕМ А 1. (о существовании системы неявныхфункций, определяемых системой функциональных уравнений). Пусть т функцийFJ(Р\ ?U25. ..5 UШ'Х\, Х25* •>?Хп),(4)F2(U\,U2,...,и X1,х2X ),Fm(U\ >^2’"’’FnFl ’^2дифференцируемы в некоторой окрестности точки М 0 =(Wq| ,Hq2, . . . , , Xq| ,Xq25* . * ? ), причем частные§9. Неявные функции, определяемые системойфункциональных уравнений.91производные этих функций по переменным и1,и2,..:,ит непрерывны в точке Мо.
Тогда, если в точкевсе функцииD(F ,F ,...,F )(4) обращаются в нуль, а якобиан ----- ——2’" ’отличенот нуля в Мо, то для любых положительных чисел/,\,е2,...,£т найдетсятакаяокрестностьточкиNu(лс01,...,х0я) в пространстве R", в которой существуетединственный набор из т функций (2), удовлетворяющийусловиям: Щ и0, <£„Н2и02< < т£_ , - и ЯвЛЯющийся решением системы уравнений (1), причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окрестности точки N 0.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Во-первых, заметим, что прит-1 теорема 1 совпадает с доказанной выше теоремой 1 из§8, поскольку в этом случае якобиан (3) совпадает с частнойпроизводнойПроведём рассуждения методом матемадихгической индукции.
При т=1 теорема уже доказана. Поэтому для проведения индукции достаточно предположить еёсправедливой для системы т-1 функциональных уравненийпри некотором т>2 и доказать её справедливость длясистемытфункциональных уравнений.Итак, по условию теоремы, якобиан92§9. Неявные функции, определяемые системойфункциональных уравнений.ГdFxdFx Sap,дихди т-1, ииг1 т1А D(F„F„...,FdFт-1, dFт-1 г'6Fш-1,(5)D(ux,u 2,...,um) |дих ди т-1, !ди11 тdFт dFтBF,дих ди /77—,1 ди тотличен от нуля в точке Мо. Тогда хотя бы один из миноров(m -l)-ro порядка этого якобиана также отличен от нуля вточке Мо. Не ограничивая общности, будем считать, что вточке Мо отличен от нуля обведенный пунктиром минор,стоящий в левом верхнем углу функциональной матрицы.Тогда, по предположению индукции, первые т-1 уравненийсистемы (1) разрешимы относительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
