И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Функции многих переменных (1113049), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Точнее,для достаточно малых положительных чиселнайдется такая окрестность точкитранства R n+i переменных (итх,) прос, в которой единственным образом определены (т-1) функций:Щ—Ф1(м<ф т - \ = Ф т- 1 ( и т >Х 1 > - > Х » )Um-1 W0m-l < т -1и являющихся единственным и дифференцируемым решением системы первых т-1 уравнений системы (1).Подставим найденные функции (6) в левую часть последнего из уравнений (1). При этом последняя из функций(4) превращается в некоторую функцию у/, зависящуюудовлетворяющих условиям и.только от переменных итх 1,...,хп :§9.
Неявные функции, определяемые системойфункциональных уравнений.(7)= ^ т [ф, (ми X,,..., хп93ф т_, (мт X, ,...,х„ ),мт х, ,...,х„ ] =Таким образом, последнее из уравнений системы (1) превращается в уравнение:y / { u m x v . . . , x „ ) = 0.(8)В силу равенства (7), функциюможно рассматривать как сложную функцию. Тогда, применяя теорему о дифференцируемости сложной функции, мы можемутверждать, что функцияу/(итх1,.диффнекоторой окрестности точки N0(u0m,x0l,...,x0tl) пространства R "+' .
Равенство (7) и последнее из уравнений (1) позвоияют утверждать, чтоy/(N0) = у/(и0тПоэтому для того, чтобы доказать, что к уравнению (8) применима теорема 1 из §8, и оно разрешимо относительно ит,ди/достаточно показать, что частная производная —— непреЭмт1>ывна и отлична от нуля в точке N0. С этой целью вычислим указанную частную производную. Подставим в первыеш I уравнений системы (1) функции (6), являющиеся решением этих уравнений, и продифференцируем полученныемри этом тождества по ит.
Получим систему:ЭР ЭФ,ЭР дФт , ЭР,Эм, дитЭмт_, дит дит{'))------------------------------------------------------------------------------ЭР , ЭФ,dFm , ЭФ„, , ЭРИ , ЛЭм,1 Эм„дитдиттт—1, Эм„ттДалее, продифференцируем по ит равенство (7). Получим:§ еявные функции, определяемые системой9.Нфункциональных уравнений.94dF_т ЭФдФп,+ 1 .
dFm ЪУ+ . . . + dFmЭм, ди тди т - 1. ди тди_.т ди тУмножим теперь равенства (9) и (10) соответственнона алгебраические дополнения A,,A2,...,Am_,,Am элементовпоследнего столбца якобиана (5) и затем сложим эти равентЭФdF,dFства. Получим: > ,— ~[Ai— L+ A2— - + ... + Аw т■]+я..диди,Эм,k=1 ди т( 10),.dF.dF 2dFm .C7ZYтШтOWтду/+ (А, —-^+ А,л —)' = АТП ^/-\/*\ ^- + ... + Ат —J!Lг\тТак как сумма произведений элементов данного столбцаопределителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна определителю (нулю), то каждая квадратная скобка равна нулю, акруглая скобка равна якобиану (5). Таким образом, мы получаем равенство (верное в некоторой окрестности точкиМ 0):(Н)А = Атду/ди тЗдесь символом А обозначен якобиан (5), а Дв - алгебраическое дополнение к последнему элементу его последнегостолбца, которое совпадает с минором, обведенным пунктиром и, по нашему предположению, отлично от нуля вточке Мо.
Из (11), очевидно, следует, что:ду/ . А( 12)ди ттФормула (12), справедливая в некоторой окрестности точки„ ду/вN0, доказывает непрерывность частной производнойди тточке N a , так как А иА тсостоят из§9. Неявные функции, определяемые системойфункциональных уравнений.95функций (4) по и],и2,...,ит, непрерывных в точке М 0.Кроме того, поскольку якобиан А отличен от нуля в точкеду/~А/0, из (12) следует также, что —— в точке N0 отлична отдиттнуля.
Итак, доказано, что к уравнению (8) можно применитьтеорему 1 из §8.По теореме 1 из §8, для любого положительного числанайдется такая окрестность точки тУ0(х01,х02,...,х0и) впространствеR", в которой определена функцияи т = < P m( x v x 1 , . . . , x n )Ю )удовлетворяющая условию:< £т и являющаяся,при наличии этого условия, единственным, непрерывным ишфференцируемым решением уравнения (8).Имея в виду, что функции (6) являются решением перных (- 1) уравнений (1) при любых ит,тиз окити 0трестности точки N0, и подставляя найденную функцию (13)и (6), мы получим функции <р[,...,(рт_1, зависящие только отпеременных х х,...,хп:U\=<&\[(рт(Х\>-’Хп)>Х\’->ХЛ = <Р\(.Х“т-\ = Ф«-1[<Рт(^1, - , Х п ),Хх] = <рт_хПо теореме о дифференцируемости сложной функции, каждии из функций <р],...,<рт^ дифференцируема в окрестностигочки А^0(д:0),...,х0п) .
Таким образом, мы доказали, что тфункцийЩ=<Р\(.Х\>-96§9. Неявные функции, определяемые системойфункциональных уравнений.удовлетворяют в окрестности точки 7V0(x0условиям: и ,—м01Um~ U0m < £т - и являются, при наличии этих условий, непрерывным и дифференцируемым внекоторой окрестности точки) решением системы (1).Покажем, что функции (14) представляют собой единственное решение системы (1), удовлетворяющее условиямЩ- ит < £, U UОт < £т (при достаточно малых положительных£1,...,£т ).Фактически это следует из ихения.В самом деле, предположим, что кроме функций (14)существует другой набор из т функций\(-'"lФ*6 =(15)’ *2>•••>•*•„ )>........................... ,й т = Ф т(хх,х 2 ,...,х„также являющихся решением системы (1) и удовлетворяющих условиям и , - и01 < £,Um ~U0m <£т.
Тогда, попредположению индукции, первые (1) функций (15),рассматриваемые как функции от переменных ит,х 1,...,хп,представляют собой при заданном ит = йт единственное идифференцируемое решение системы первых т-1 уравнений (1). Но при заданном ит единственное решение системы т-1 уравнений (1) дается равенствами (6). Такимобразом, справедливы соотношенияЩ =Ффйт,х 1,...,хп)(16)....................................мт_,в которых 0 |v ..,0 m_, - те же функции, что и (6).= Ф т_1(§9. Неявные функции, определяемые системойфункциональных уравнений.97В таком случае, последнее уравнение (1) и соотношение (7) позволяют нам утверждать, что йт является единственным решением уравнения (8), т.е. йт=ит.При наличии равенства йт - ит из соотношений (6) и(16) сразу же вытекает, что м, = и ,,...,найденное решение (14) является единственным.Теорема 1 полностью доказана.то есть9.2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ( ИСТЕМЫ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ.Пусть выполнены условия теоремы 1, и требуется вычислить частные производные функций (14).
Подставимфункции (14) в систему уравнений (1), решением которойони являются, и продифференцируем получившиеся тождества по х/(I= 1, 2, .... п). Получим систему:9F.1_____ _|_ди,_|________8F. 1______ди т_ _|______18F. ^____дих дх,дит дх, дх,>dFm ди.dFm дит dFm———— - — - +—dui дх,дит дх,дх,)Iо система линейных уравнений относительно т неизди,дитностных. Определитель этой системы, то естьдх,дх,икобиан (5), отличен от нуля в окрестности точки М 0.Значит, система (7) имеет единственное решение, опредеi ieMoe формулами Крамера:98(18)§9. Неявные функции, определяемые системойфункциональных уравнений.дикD (u{,дх1= 1п.Выражения для частных производных второго ипоследующих порядков можно получить посредствомдифференцирования этих формул.ВОПРОСЫ И УПРАЖ НЕНИЯ К §9.1) Останется ли формулировка теоремы 1 эквивалентнойисходной, если заменить в ней набор произвольныхположительных чисел (£ ],£ 2,...,£т) на набор (£,£,...,£)- одинаковых положительных чисел, то есть простозадать одно положительное число £ ?2) Напишите подробное выражение для определителя,стоящего в числителе формулы (18).3) Почему определитель системы (17) отличен от нуля вокрестности точки М 0 ?§ 10.ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬФУНКЦИЙ.Понятие зависимости и независимости функций, расматриваемое в этом параграфе, является обобщением известного из линейной алгебры понятия линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства.В курсе линейной алгебры рассматривается понятиелинейной зависимости элементов линейного пространства.I [апример, в линейном пространстве функций п переменных, определённых на области,> 1) функций называютсялинейнозависимыми, если хотя бы одна изэтих функций представляется в виде линейной комбинации(то есть линейной функции) остальных, и это равенство| ождественно на области G .Сейчас мы рассмотрим более общее понятие зависимости функций, чем линейная зависимость.
Пусть в некоюрой области G, G c R ", определены и дифференцируемыт( т> 1) функций:ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция ик =(рк{х) из набора (1)называется (гладко) зависящей от остальных функций этогонабора, если для любого x&G верно равенство:«I >(ui(x),...,uk_l(x),uk+{(x),...,um(x)),где Ф = ®(w„...,wm_1),некоторая функция, определённая и дифференцируемая в1оо Iвегствующей области изменения своих аргументов.Функции набора (1) будем называть (гладко) зависимыми в>чпасти G , если хотя бы одна из них зависит от остальных100§10.Зависимость и независимость функций.в области G . В противном случае функции набора (1)называются независимыми в области G .Рассмотрим простые примеры зависимых и независимых функций.ПРИМ ЕР 1. Рассмотрим функции двух переменныхФ\(х>у) = х + у> (Рг(х >У) = хУ>Функции(рх,(р2,<Р] зависимы во всём пространстве R 2, посколькуЛравенство:<р3(х,у) = [#>,(х,у)] .
верно для всех(х,у) е R 2ПРИМ ЕР 2. Функции щ (х,у) =х —уЛявляются независимыми в любой области Q, Q a R , такой,что (0;0) е Q .В самом деле, если взятьто м,(х,х) = 2х,и2(х,х) = х - х =0. Следовательно, в этом случае, то есть напересечении области Q с прямой Ц=функция и, невыражается черези2.А налогично, на перQ с прямой Ь2 : х - - у , функция и2 не выражается черезщ , так как в этом случае м, (х,-х) 0, и2( х - х ) = 2 х . Еслиобласть Q.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
