И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 58
Текст из файла (страница 58)
— 1 ... иа главной диагонали. 969. Указан не. Применить задачу 913. 979. Например, нумерация сочетаний влексикографнческом порялке, прн котором сочетание 1, < 11 « ... с р предшествует сочетанию Л < А «... гР если пеРваЯ отличнаЯ от нУлЯ Разность 71 — гь У,— 1ь ..., Ур — ср положительна 97$. Указание.
Локазать предложенное равенство сначала для треугольной матрицы А, пользуясь тем, что изменение порядка нумерации сочетаний не меняет определителя ассоциированной матрицы Ар, и применяя предыдущую задачу. Общий случай свестн к треугольным матрицам при помощи задач 928 и 009. 979. Решение. В силу задачи 036 из АВ=ЕР следует А В Ед, тде Лс= С1„"; отсюда А( .' Р)В( ' Р )= л < 11 < 1, < . л <1 < а Р 1, если ~', (гс — Ьг)'=О ' <сР ~1 < ~л . Р дс < Ьа « ...
ЬР l' О, если ~Ч'~ ~()а — йа)а) О с 1 С другой стороны, по теореме Лапласа находим: с .с с с с ТДЕ 11<гт«.„, с„р ВМЕСТЕ С 11<гз«" ° 1Р И В1 <Ьз« ° ° ° Ьа-р вместе с Ьс < Ьз « ... Ь .„составляют полную систему индексов 1, 2,..., л, Так как система линейных уравнений с неособенной матрицей Ар при задасвсых свободных членах имеет единственное решение и так как правые части равенства (3) отличаются от правых частей соответствующих раиенств (2) только множителем ~ А~, то таким же множителем должны отличаться и .левые части, откуда и вытекают требуемые равенства (1). 976. Указан не. Применить теорему Лапласа и задачу 003.
974. Указание. Применить теорему Лапласа и задачу 9Й 96$. 1 0 0 989. 1 О 0 966. 10 0 01 0 . ОЛ'+Л 0 . ОЛ 0 О О (Л вЂ” 2) l (,О О Ла+2Л1+Лl (О О Лг+ЛГ1 964. Указание. Локазать, что многочлены йа(Л) не изменяются при влементарных преобразованиях и что в случае нормальной диагональной формы Ва(Л)=ДЕ1(Л) (Ь=1, 2, ..., л). 1-1 966. 1 0 0 О Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) 0 о о л(л — 1)(л — 2) / 989. Л 0 0 0 Л 0 0 0 Л (Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2) (Л вЂ” 3) 1ОО О) ОРО О где р — произведение многочлеиов а, Ь, с„ 11, деленное на произведение старших коэффициентов 0 0 0 р" зтнх многочленов. сс (Л) О О у (Л) В (Л), где с( (Л) — наибольший общий делитель ссс (Л) многочленов у (Л) и п(Л), имеющий старший коэффициент, равный единице и с — произведение старших нозффициентов этих многочленов.
наибольшие общие делители длв Р и Л у н М, ковффициентами, равными единице. О 981 — 9921 отвнты 312 992. 1 О О 969. 1 О О 963. 1О О О О (Л вЂ” 2)з О О Лз+2Лт+Л О О Лг+Л 964. У казан не. Доказать„что многочлены,0з(Л) не изменяются при влементариых преобразованиях и что в случае нормальной диагональной л формы Вл(Л) = П Е~(Л) (А 1, Г1 966. 1 О О Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) О О Л 969. Х О О О Л О О О Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) где р=(Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2)(Л вЂ” 3) (Л вЂ” 4). где р — произведение многочленов а, Ь, с, И, деленное на произведение старших коэффициентов этих многочленов.
969. б(Ц О О у (Л) з (Л), где юХ (Л) — наибольший общий делитель сй (Л) многочлеиов г" (Л) и я(Л), имеющий старший козффициент, равный единице и с — произведение старших новффициентов втнх многочленов. азс Π— О УФ аЬс О О Урй а Ь с в соответственн где о наибольшие общие делители для я и .г и л, взятые со старшими козффициентами, равными единице. — О О аЬс И О гРуЬ Ь аЬс 1 О О О ОрОО О О р О О О О р 1 О О О ОрО О ООр О ОООр О О (Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2) (Л вЂ” 3) 318 ЭЭЗ.
1 0 0 0 0 1 0 0 Ю 0 1 0 ОООЛч 1 0 0 0 О 1 0 Ю 0 0 Ла 0 0 0 О Лс 1000 0 0100 О 0 О 1 0 О, где у(Л)=Лз+БЛ'+4Лз+ЗЛт+2Л+1. 0001 О О О О О У(Л) 1 О 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ((Л+а)т+Щс (! 0 0 0 О 1 О 0 0 О (Л+а)' 0 О 0 0 (Л+а)' если () чЬО, или й-а 1 0 1 где и — порядок данной матрицы. Лл 1666. Эквивалентны. 466$. Н е зквивалентны. й()ЭЙ. Матрицы А и С эквивалеятны межлу собой и не зквивалентны матрице В. 4666. Единичная матрица. хЭЭЭ.
У к а ванне. Воспользоваться тем, что злементарное преобразование строк матрицы А сводится к умножению А слева (а столбцов справа) иа специальную унимодулярную Л-матрицу. Далее, если В = Р Р ... Р,Ат~Дл ... 9* где Рь Яу — специальные унимодулярные Л-матрицы, то положить Р=Р,Р ~ ...Р,Е, и ()=Е,ДЩ...()ь При доказательстве достаточности использовать ответ задачи 1003.
1 1 Л вЂ” — Лт+ — Л вЂ” 1 2 2 1 — Л вЂ” Лс — Л+— 1 3 2" 2 где с( — наибольший общий делитель у, л и Ь; и а, Ь, с в соответственно наибольшие общие делнтелк и и й, У к Ь, У и и, причем старшие козф- фнпиенты всех многочлеиов а, Ь, с, б равны единице. 319 ( 0 Лз+4Л+4) ( — 1 1) ( — Л 1 0 0 ( у — 2Л вЂ” 3 О $666. Е= 0 Л вЂ” 1 0; Р= — 3 — 1 ~О О Лз — Лз 1 О 1 — Лз+Лз — Л+1 О () =( Л вЂ” Л +Лз — Лз+Л+1 О1. 'ч — Л вЂ” 1 Лз — 2 1/ — Лз — 2Л ) Лз+2Л*-»-1/' 2Л+ 4 4 — 1 $йй)В.
Например 1 1 2 4 =(: — Зл +Ой+3 ЗЛз — ОЛ ( 41 — 2Лз+6Л+5 2Лз — бл+3/' 1 0 2 ЮЮ, Например (1 — 1) ( — Л'+Л+1 — 2Л'+Л+2) $6Я. Например, 1 0 0 — 2Л вЂ” 1 — Л вЂ” 1 — Лз+Л Р-(ИЛ+ — И О; ЗЗ=~2Лз+Л+2 Лз (-Л+1 Лз Лз 2Л вЂ” ! — 2 1 0 а 1 Ю$2. Например, 1 О ОЛ ~ Л4 ! Л Лз Р— ЗЛз — 2Л+1 Лз-)-Л 1; () = — Л -(- 2 Л ( ! Лз Л вЂ” бдз — 4Л+4 2Лз+2Л вЂ” 1 2 Л вЂ” 1 Л Л'+1 у — З вЂ” б О~ $6$6. Например, Р=( ); з')=~ 5 8 0 ~, 0 О ! 0 ~О 10~ $6$4 Например, Р=~ — 1 4 0; () ( ). — 1 0 1 2 5 Ю$6 Ез(Л) =1; Ез(л) =Л вЂ” 1; Ез(Л) =(Л вЂ” 1)(Лз — 1). Ю$6, Е,(л)=л+1; Ез(Л)=Лз — 1; Ез(Л) Лз — Л.
$6$7 Е, (Ц=лз+1; Ез(л) Лз Лз+Л 1. Е,(Л) Ез(л) 0 Ю$6. Ез (Л) = 1' Ез (Л) Лз — Л+ 1' Ез (Л) = Лз+ 1' Ез (Л) = О. Ю$6 Ез(Л) = ." =Ел(Л) =1; Ез+з(л) Лл+'. Юй($. Ез (Л) = ... = Е„ ,(Л) = 1; Е„ (Л) = (Л вЂ” и)", если (! ~ 0'. Е,(Л) = ... =Е (Л)=Л вЂ” а, если р=о. У к а а а н и е. При 3 ф 0 показать, что делитель миноров )Зз, (Л) 1. Для етого убедиться, что минор, полученный вычеркиванием первого столбца и последней строки, не обращается в нуль при Л= а.
ЮВ$. Л+ 1, (Л вЂ” !)з. Юйб. Л+ 1, Л вЂ” 1, Л вЂ” 1. ЮИВ Элементариых делителей ие существует. $6Э$. Л+1, (Л вЂ” !)з, Л вЂ” 1, Л+2, Л+2, Л+2. [1028 — 1034 ответы Мйй. Элементарных делителей не существует. в()ИВ. В поле рациональных чисел: Лз + 1, Лх — 3; в поле действительных чисел: Лт+1: Л+73, Л вЂ” т 3; в поле комплексных чисел: Л-[-ю', л — 1, л+р з, л — уз. ййясу. В поле рациональных чисел: Лт — 2, (Л'+4)т, Л'+4; в поле действительных чисел: Л+1 2, Л вЂ” )~2, (Л'+4)', Лт+4; в поле комплексных чисел." Л+)' 2, Л вЂ” т"2, (Л+21)т (Л вЂ” 21)т, Л+2Х, Л вЂ” 2Х.
Щйй. В поле рациональных чисел и в поле лействительных чисел: (Л вЂ” 1)т, (Л+ 1)', Л+ 1, (Лл — Л+1)', Лт — Л+ 1; в поле комплексных чисел: 1)гЗ т 1 ')'3 — ' +' +'1-'+'") 1 — — '' ') ° 1+1~ З 1 — УЗ 2 * 2 0 О 0 0 0 0 Л' — 2лл+ 1 О 0 0 1 0 0 0 0 Л+2 0 0 0 0 Лз+ 2Лэ — 4Л вЂ” 6 0 0 0 0 Ла — 12лт + 48Л' — 64 1 0 0 0 Л вЂ” 1 0 0 0 Л+Л вЂ” 2 0 0 0 0 0 0 Юзй.
У к а з а н и е. Пусть е (Л) — какой-нибудь неприводимый множигель, входящий в разложение хотя бы одного диагонального элемента, т — число диагональных элементов, отличных от нуля, и О~а,~(аз~~ ... ... ~..ал — совокупность показателей степени, с которыми е(л) встречается э этих элементах. Показать, что при л = 1, 2, ....
л делитель миноров Оэ(л) телится точно на [е(Л)[, а инвариантный множитель Нл(Л)— е,+а + ... +аэ точно на [е(Л)[ э. $03$. У к а з а н и е. Элементарными преобразованиями привести квкдую гиаговальную клетку к диагональной (например, к нормальной) форме н юспользоваться предыдущей задачей. 8634. 1 0 0 0 о л(л+ц о 0 О 0 Л(Л+1)(Л вЂ” 1) О О 0 О Л'(Л +1)а (Л вЂ” 1)х 1 О 0 0 Л+1 0 0 0 Лт — 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Лз+ Лт — РР— Лт+ 8Л вЂ” 4 О 0 0 !035 — 1048! 4006. ответы о о о Лз — 4Л 0 0 Лз — 4Л 0 0 0 0 Л' — 4лз 4080. 1 О О О о у(л) о о о о у(л) о О О О (Т(Л))з , где у(л)=Л'+Лз — 63 408В. 1 О О О О Л вЂ” 1 О О О О Лз — 1О о о о о о о 1) О (Лз — 1)з о о пав о о о Л' — 2Лз+ 1 о Мйй Вз=1 Вз 2. Вз=4 Вз=320.
МИЗ Вз 3 Вз = 18 Вз = 324 Вз = 11 664. 4046. Указание. При доказательстве существования представления данного вила воспользоваться предыдущей задачей. При доказательстве единственности из двух представлений данного вида А = РзЕз = Р )гз вывести, что матрица С = Р, ~Рз =)с г)з ~ является унимодулярной и треугольной Л-матрицей, элементы которой на главной диагонали имеют старший коэффициент, равный единице, и, значит, сами равны единице. Затем, приравнивая в равенстве СЕ, = Ез влементы л-й строки и принимая во внимание условие для степеней элементов Й, и Йь показать, что все элементы матрицы С справа от главной диагонали равны нулю, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
