И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 56
Текст из файла (страница 56)
769. Четыре плоскости проходят через одну точку, причем никакие три из них не прокодят через одну прямую. 787. Если не рассматривать несобственные (бесконечно удалениые1 прямые и плоскости, то уравнения аида Ох+Оу = а и Ох+07+Ох= а при а, не равном нулю, не имеют геометрического смысла а при а=о удовлетворяются координатами любой точки плоскости или пространства Исключая уравнения такого вида и обозначая ранг матрицы из коэффициентов прн неизвестных через «, а ранг расширенной матрицы через «ь имеем: Для систем с двумя иеизвестнымш 1. « = 2, «, =3. Система не имеет решений.
Прямые не проходят через одну точку, причем хотя бы две прямые различны и пересекаются. 2. « = «, = 2. Система имеет единственное решение. Прямые проходят через одну точку, причем хотя бы две прямые различны. 3 « = 1, «, = 2. Система не имеет решений. Прямые параллельны вли совпадают, причем котя бы две прямые различны. 4. « = П = 1. Решение зависит от одного параметра. Все прямые совпадают. Для систем с тремя неизвестными: 1. « = 3, «, = 4.
Система не имеет решений. Плоскости не проходят через одну точку, причем хотя бы трн нз них различны и проходят через одну точку. 2. « = «, = 3. Система имеет единственное решение. Плоскости проходят через одну точку, причем хотя бы трн из ннх не проходит через одну прямую. 3. « = 2, «1 = 3. Система не имеет решений. Плоскости не проходят через одну точку, причем хотя бы три плоскости различны и любые три различные плоскости либо не имеют общей точки, либо проходят через одну прямую. 4.
« = «, = 2. Решение зависит от одного параметра. Все плоскости проходят через одну прямую, причем котя бы две из них различны, 5. « = 1, «, = 2. Система не имеет решений. Плоскости параллельны илн совпадают, причем хотя бы две из ник различны. 6. « = «, = 1. Решение зависит от двух параметров. Все плоскости совпадают.
отвн ы УВЭ. (13 — 14~ '121 — 22/' ). ( ) при л четном, ЭЭЙ (соа лв — 21п лп') ЭЭЭ. а121П ЛП СОЗ Лп(' О ааа (1 ) ааа. Л" л"-') 1 3 6 ... ( + ) 2 О 1 3 ... 2 0 О 1... (и — 2) (л — 1) где л †поряд данной матрицы. О О 0 ... 1 1 С1 С2 л-1 л-1 О 1 С„ С2 С'„ 0 0 1 0 0 0 0 ... 1 ЭЭЭ (3197 †126 ЭЭЭ. ° 190 139 †189 ~7335 922/. 126 127 — 126 252 252 — 251 ЭЬЬ. а) Ья и (-я строки произведения поменяются местами; б) к Ой строке произведения прибавится У-я строка, умноженная на с; в) бй и (-й столбцы произведения поменяются местамн; г) к Ому столбцу произведения прибатится у-столбец умноженный на с.
Эйй. а 2Ь 1 +) 1„где а н Ь вЂ” любые числа ЗЬ а+ ЗЬ)" Эйй. а 3Ь' ') , где а и Ь вЂ” любые числа. — 55 а+ 9Ы УЕЬ. (1 О О 2ЭЭ. ~0 2 О 005 1 0 0 0 О 2 0 О 0 О 3 О 0004 ... Си ' и-1 Си-2 и-1 Сл-3 и-1 ~ —.) — 11 ) цри л нечетном. о~ ответи 324-84Ц 1Оооа 2дп 2Ьп 626 с=воз — +тз!и — (Й О, 1, 2, ..., л — 11, и — порядок мал Л 636. У к а э ан ив. Матрицы порядка и считать л'-мерными векторами.
631. У казан не. Применить задачу 814. Замечание. В задаче предполагается, что элементы матриц А я  — числа !!ля поля характеристики р чь 0 результат неверен. Так, для матриц порядка р 0 1 О ... О О 0 1 ... 0 0 0 О ... 0 0 1 0 0 ... О. О О 2 0 ... О 0 О 0 О ... 1 О О О ... О О О О ... р- ! О имеем А — ВА =Е. 633. а Ы ( ), где а„Ь, с — любые числа, удовлетвораощие соотиошес — а/' иию а'+Ьс=о. та Ы 633. Указание. Используя задачу 829. доказать, что если А= ~ 1с а!' тО А" = (а + а!э ~ А.
/а Ы 634. ~Е нли ~ ), где ат+Ьс=1. !с — а! ' 633. Если ! А ! чь О, .то Х= О; если ! А ! = О, но А+ О, причем отношение элементов первого столбца матрицы А к соответствующим элементам ( х у 2-го столбца = а, то Х=( ! при любых х, у; если оба элемента ! — ах — ау) второго столбца матрицы А разны нулю, но хотя бы один элемент первого /О ОЪ столбца отличен от нуля, то Х ~ ) с любыми х, у; если А = О, то х Х вЂ” любая матрица. 636.~ 2 1) 637.( 7 — 4) 636 1 ~ а — «) 636.
! сова э!па'! 646. у 1 — 1 1т 64% у — 8 29 — 11 ~ — в!и а сов а/' — 38 41 — 34, 5 18 — 7 27 — 29 24 1 — 3 ! 308 /а ' 2 — /а! /а — ! — /а ° -г отвнты (342 — 332 И43. 1 2 2 '/в 2 1 — 2 ° 644. 1 1 1 1 1 1 -1 — 1 '/а 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 22 — 6 — 26 17 — !7 5 20 — 13 — о 4 — 1 — Ь 3 1)и-а — о ... о о ! — 1...о О О 1 ...
О о ! ! !...( !)н р р 1 1 ( !)л-а о о о о ... о о о ... ! л — порядок данной митр»два. о о ... о О 1 — а 0...0 О О 1 — а...О о о о о ... ! о о о — и 1 ав — и о ... о о о ... о о о ... о о о о )и ( )и-1 ( а)и-2 (,а)л-з,а 1 2 ! О...О О О 1 — 2 1...0 О О О ! 2 ... О О о о о о о о О...! — 2 О...О 1 л — 2 2 (и — 2) 3(л — 2) 3 (» — 3) 1 и+ 1 2 3 1 ... 1 о.. о о л — 1 и — 2 п — 3 2 — л 1 1 -1 о и — 1 2 (л — 1) 2 (и — 2) 2 (и — 3) л — 3 ... 1 2(л — 3) ...
2 3(» — 3) ... 3 4(л — 3) ... 4 853 — 859) 853. ОТВЕТЫ 2 — л 1 1 ... 1 1 2 — и 1 ... 1 1 1 2 — и ... 1 ... 2 — и 1 — и — а 1 1 1 1 — л — а 1 а (и+ а) 1 1 — л-а 1 1 — л — а 1 йлаг 1 йлаз 1 — а„з л 1 1 где з* 1+ — + — + а, а, — 7 5 12 — 19 3 — 2 — 5 8 41 — 30 — 69 111 — 59 43 99 — 159 1 — з 1+3 1 .. ° 1 1 1 1 — з 1+з ... 1 1 1 1 1 — з ... 1 1 и(л+1) где а=в 2 1 лз 1+з 1 1 ... 11 — з Указание. В системе уравнений дая элементов И-го столбца обрат ной матрицы из каждого уравнення от первого до (и — 1)-го вычесть следующее н полученные л — 1 уравнений сложить.
Все неизвестные выразить. через И-е. И вЂ” з И+з И ... И И И вЂ” 3 И+3... И И И И вЂ” з ... И 1 лйз где з иа+ И. л (л — 1) 2 — сумма алементов какой-нибудь строки (или. столбца) данной матрицы. 1 — ант й', 1 азаг 1 азат 1 1 аГаз 1 — атз а2 2 1 йэйз 1 алйз 1 + —. аз 1 1 агав 1 1 — азз 1 а,ал 1 '! а2йл 1 й,й„ ответы 1 1 1 1 -2 1 зз зс 1 зз зе ! ... е -(п-1! С-2(п-1) -е е 1 и е -9 З-З(п-1) -(и Ц -2(п-1) З(п-1) (и )Р з з з з 667. Общий вид решения 2+Зс~ 3+Зст ) 2 к, где с1 и ст — любые числа. С, Ст 666. Общий вид решению 2 — Зс, С1 4 , где с1 н сз — произвольные числа.
ст 4* 669. Решения не существует. 676. Общий вю( решения: < 7 — Зс1 5 — Зсз 7 — Зсп ) С, Е, С,, ГДЕ СЬ Сз, Сп-ПРОНЗШМЬНЫЕ Чяеаа 5с1 — 9 5с2 — 3 5сс — 7 67$ 1 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 О 0 1 ... 1 0 0 О ... 1 676. В матрице А ' соответственно: а) поменяютси местамн )-й и /-й 1. столбцы; б) ай столбец умножится на —; в) из,/-го столбца вычтется )-й, с' умноженный на с. При преобразовании столбцов матрицы А аналогично указанному ме мяются строки матрицы А 676., ) На, — и) 1О Е) /' Указание. Написать уравнения с неизвестными хь х, ..., хп для .определения элементов а-го столбца обратной матрицы. Каждое уравйенне помножить на такую степень.а, чтобы коэффициент при определенном неизвестном х) обратился в единицу.
Полученные уравнения сложить. ба ~-1 -1~ 6м. ~з -2~ 666. ~1 2~ 931 — 9271 ОТВЕТЫ 3И ЭЭФ, При умножении А слева иа Н~ все строки А сдвигаются на одно место вверх, причем первая строка исчезает, а последняя заменяется нулевой. При умножении А справа на Н, аналогичное изменение происходит со сдвигом столбпрв впРано. При умножении на Н, слева (справа) происходит такой же сдвиг строк вниз (соответственно столбцов налево). 890. Условие АВ= — ВА удовлетворяется, например, для матриц: 0 1 0 0 — 1 0 0 О 0 0 0 — 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 — 1 0 0 0 0 — 1 0 0 В У к а з а н и е.
При построении матриц А и В воспользоваться указанием к задаче 1747. 897. У к а з а н и е. Использовать значение взаимного определителя (задача 506) и свести задачу к предыдущей. 898. У к аз а н не. Использовать указание к предыхущей задаче.
099. Указание. Использовать тождество аадачи 502 или формулу Бина — Коши в задаче 499. 900. У каза нне. Испольэовать тождество задачи 504. 909. Указание. Использовать формулу Бина — Коши в задаче 499- ЭЭЙ. У к аз а н не. Использовать формулу Бина — Коши в задаче 499. 903. У к аз а н не. Испольэовать задачи 396 и 507. 904. У к а э а н и е. Использовать задачу 507. 909. Диагональные элементы равны ш1. 909. Диагональные элементы по мцаужо равны единице. 913. Указание. Испольэовать формулу Бина — Коши, данную в задаче 499, или указание к той же задаче.
919. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей. ЭЙЭ. У каза н не. Воспользоваться задачей 913. 931. Указание. Применить теорему Лапласа, неравенство Коши— Буняковского н формулу Бина — Коши (см. задачи 503 и 499). 9ЙЙ. У к а з а н и е. Пусть и — число строк А, В, С; й — число столбцов В, ! — число столбцов С. Проверить выполнение неравенства в случаях й+! > л и ранг А < й+!.~л. Показать, что при й+ ! = л задача совпадает с предыхущей Проверить. что неравенство обращается в равенство при а+!~я и дополнительном условии В'-С = О.
Наконен, в случае. когда ранг А = э+! < л, дополнить А до квадратной матрицы (А, 5!) = Р = (В, (;)), где (;> = (С, В), при помощи л — й — ! линейно независимых столбцов так, чтобы А'В=О (это можно сделать путем построения фундаментальной системы решений однородной системы уравнений с матрицей А'):, применить предьц~ущий случай к матрицам Р=(А, 1)) и (,)=(С, Р) и принять во внимание, что Р=(В, (~) и ~ хг'1) ! > О. 933 Указание. Нескольно раз применить неравенство предылущей задачи. 994.
Указание. Применить повторно неравенства задачи 92ь 999. У к а з а н и е. Применить рассуждения, аналогичные приведенным в указании к задаче 922. ЭЙЭ. У к а з а н и е. Повторно применить неравенство предыдущей задачи и использовать ответ задачи 532. ЭЙT. Перестановка 1-й и /-й строк или 1-го и 7-го столбцов получается при умножении на матрицу, элементы которой рэа 1 длй Й не Равного й л, РВ=РЛ= 1, а все остальные нули. ОТВЕТЫ Умножение 1-й строки (столбца) на число с чь 0 получается при умножении на матрицу, отличающуюся от единичной лишь тем, что 1-й злемент главной диагонали ап равен с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
